专题01 有理数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题01 有理数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 正负数的意义 题型二 正负数的实际应用 题型三 有理数的概念 题型四 有理数的分类 题型五 带“非”字的有理数 题型六 数轴的三要素及其画法 题型七 用数轴上的点表示有理数 题型八 相反数的定义 题型九 化简多重符号 题型十 绝对值的意义 题型十一 求一个数的绝对值 题型十二 有理数大小比较 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点三：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 知识点四：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点五：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点六：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【经典例题一 正负数的意义】 【例1】某种零件标准长度为，若比多记作，则比少记作（   ） A． B． C． D． 1．有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C． D．7 2．如果小明向东走28米记作米，那么小明向西走50米记作 米． 3．在，，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【经典例题二 正负数的实际应用】 【例2】已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 1．微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 3．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【经典例题三 有理数的概念】 【例3】在， 5， ，， ，中，有理数有（　　）个 ． A．1 B．2 C．3 D．4 1．七万零三十写作（    ）． A．7030 B．70003 C．70030 D．700030 2．王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打 次． 3．将下列各数的序号填在相应的集合里． ，，，，， 正分数集合： ；   负整数集合： ； 自然数集合： ． 【经典例题四 有理数的分类】 【例4】下列语句中正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．有理数和无理数统称为实数 C．开方开不尽的数和π统称为无理数 D．正数、0、负数统称为有理数 1．在，，，这四个数中，最小的负分数的是（    ） A． B． C． D． 2．把下列各数分别填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 负整数集合：{_________}； 非负数集合：{_________}； 正分数集合：{_________}； 负分数集合：{_________}． 3．把下列各数填入相应集合的括号内：，，0.5，0，，13，，，，． (1)正数集合：{______…}； (2)整数集合：{______…}； (3)非负数集合：{______…}； (4)分数集合：{_______…}． 【经典例题五 带“非”字的有理数】 【例5】在下列选项中，所填的数正确的是（    ） A．分数 B．非负数 C．正数 D．整数 1．在中，非负数的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．不小于且不大于4的所有非负整数是 ．（一一列出） 3．把下列各数填在相应的集合内： ，，，，0，，， (1)负有理数集合：{__________________…} (2)正分数集合：{__________________…}． (3)非负整数集合：{__________________…}． (4)非负数集合：{__________________…}． 【经典例题六 数轴的三要素及其画法】 【例6】下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 3．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【经典例题七 用数轴上的点表示有理数】 【例7】如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 1．已知数轴上的点A到原点的距离是3，那么在数轴上到点A的距离是3的点所表示的数有（　　）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是 ． 3．如图，在数轴上，点向右移动1个单位得到点，点向右移动个单位得到点（为正整数），点分别表示有理数． (1)若这三个数的和与其中最大的数相等，则______； (2)若这三个数中只有一个数为正数，且这三个数的和等于6，则正整数的最小取值为多少？ 【经典例题八 相反数的定义】 【例8】数的相反数是，则数为（　　） A． B． C． D． 1．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是（　　） A． B． C． D． 2．的相反数是 ，的相反数是 ． 3．数轴上有A，B，C三点．已知点A，B表示的数互为相反数，点A在点B的左边，且点A，B相距6个单位长度，点A，C相距2个单位长度．问：点A，B，C表示的数各是多少？ 【经典例题九 化简多重符号】 【例9】下列数：，，，，，，，，其中负分数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 3．化简下列各数，其中负数有几个？ （1） （2） （3） （4） 【经典例题十 绝对值的意义】 【例10】2的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 1．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．若，则x的值为 ． 3．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？ 【经典例题十一 求一个数的绝对值】 【例11】多项式是四次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．0 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2． ． 3．写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【经典例题十二 有理数大小比较】 【例12】下列有理数的大小比较，错误的是（   ） A． B． C． D． 1．下列各数中，最小的是（    ） A．2024 B．1 C．0 D． 2．在中，最大的数是 ，最小的数是 ． 3．比较下列各组数的大小 (1) 与 (2)与 (3)0与 (4)与 1．下列各数中：，负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法正确的是（    ） A．有理数都可以化成有限小数 B．在任何一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 C．在数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大 D．两个数中，较大的那个数的绝对值较大 3．我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 4．若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A． B． C． D． 5．六（3）班4名男同学的身高（单位：）分别是：小涛161；小冬148；小烨156；小辉163．以他们平均身高的厘米数为标准，记作，高于此标准的部分为正，低于此标准的部分为负，则小烨的身高记作（    ）． A． B． C． D． 6．比较大小： （填“”，“”或“”）． 7．如果高于正常水位5米记作米，那么低于正常水位5米记作 米． 8．在数轴上，把表示1的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是 ． 9．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )． 10．如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． 11．在数轴上表示下列各数：1，0，，2.5，，4并用“”把它们连接起来． 12．把下列各数填入它所在数集的大括号内： ，3，7.004，，，，0，，14， 正有理数集合：{                          …} 非负整数集合：{                          …} 负分数集合：{                            …} 13．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)若数对应的点与其相反数对应的点相距个单位长度，求的值； (3)在（）的条件下，若数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求的值． 14．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 15．操作与探索： (1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数：，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 正负数的意义 题型二 正负数的实际应用 题型三 有理数的概念 题型四 有理数的分类 题型五 带“非”字的有理数 题型六 数轴的三要素及其画法 题型七 用数轴上的点表示有理数 题型八 相反数的定义 题型九 化简多重符号 题型十 绝对值的意义 题型十一 求一个数的绝对值 题型十二 有理数大小比较 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点三：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 知识点四：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点五：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点六：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【经典例题一 正负数的意义】 【例1】某种零件标准长度为，若比多记作，则比少记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数是表示具有相反意义的两种量进行求解即可． 【详解】解：由题意得，比少记， 故选：D． 1．有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子都是1． 本题是信息给予题，认清规律是解题的关键． 【详解】解：∵第7个数，7是奇数， ∴应该是负数，即． 故选A． 2．如果小明向东走28米记作米，那么小明向西走50米记作 米． 【答案】 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负；负数用负号 “-”和一个正数标记，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写． 正数与负数表示意义相反的两种量，把向东走28米，记作米，那么向西走50米，就记作米． 【详解】解：小明向东走28米，记作米，那么向西走50米，可记作米． 故答案为：． 3．在，，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：，，，；负数有：，，，，． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． 正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得正数有：，，，； 根据负数的定义可得负数有：，，，，． 【经典例题二 正负数的实际应用】 【例2】已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，理解题意是解题的关键．根据高于中位数1分记作分，即可得到答案． 【详解】解：高于中位数1分记作分， 故于中位数1分应记作分， 故选B． 1．微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可解题． 【详解】解：收入200元显示为， 支出50元将显示为， 故选：B． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 3．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 【经典例题三 有理数的概念】 【例3】在， 5， ，， ，中，有理数有（　　）个 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的判断，掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的概念判断即可解答，整数和分数统称有理数，无限不循环小数不是有理数． 【详解】解：，5，，是有理数，共4个． 故选：D． 1．七万零三十写作（    ）． A．7030 B．70003 C．70030 D．700030 【答案】C 【分析】本题考查了关于大数的读写问题，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，由此即可得出答案． 【详解】解：七万零三十写作70030， 故选：C． 2．王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打 次． 【答案】6 【分析】本题考查了整数的认识，解题的关键是根据题意得出□的数字只能是1、2、3． 【详解】解：∵最大数字是7，各个数字又不重复， ∴□的数字只能是1、2、3， ∴剩下两个数字可能是12、13、21、23、31、32， 共6种情况， ∴最多要试打6次， 故答案为：6． 3．将下列各数的序号填在相应的集合里． ，，，，， 正分数集合： ；   负整数集合： ； 自然数集合： ． 【答案】，；；， 【分析】本题考查了正分数、负整数、自然数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正分数、负整数、自然数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，， 则正分数集合：，；   负整数集合：； 自然数集合：，； 故答案为：，；；，． 【经典例题四 有理数的分类】 【例4】下列语句中正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．有理数和无理数统称为实数 C．开方开不尽的数和π统称为无理数 D．正数、0、负数统称为有理数 【答案】B 【详解】试题分析：根据正整数、0、负整数统称为整数，故A不正确；根据实数分为有理数和无理数，故B正确；根据无理数为无限不循环小数，故C不正确；根据正数、0、负数统称为实数，故不正确. 故选B. 1．在，，，这四个数中，最小的负分数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可求解，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】解：在，，，这四个数中，和是整数，是正分数，只有是负分数， ∴最小的负分数的是， 故选：D． 2．把下列各数分别填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 负整数集合：{_________}； 非负数集合：{_________}； 正分数集合：{_________}； 负分数集合：{_________}． 【答案】，；，，，，；，； 【分析】本题考查了负整数、非负数、正分数、负分数的定义，根据多重符号化简，绝对值化简，有理数乘方运算再根据定义即可求解，解题的关键是熟悉负整数、非负数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，，，， 根据有理数的分类及定义有： 负整数集合：{， }； 非负数集合：{，，，， }； 正分数集合：{， }； 负分数集合：{， }； 故答案为：，；，，，，；，；． 3．把下列各数填入相应集合的括号内：，，0.5，0，，13，，，，． (1)正数集合：{______…}； (2)整数集合：{______…}； (3)非负数集合：{______…}； (4)分数集合：{_______…}． 【答案】(1)，0.5，13，， (2)0，13，，， (3)，0.5，0，13，， (4)，，0.5，，， 【分析】此题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键： （1）根据正数定义解答即可； （2）根据整数定义解答即可； （3）根据非负数定义解答即可； （4）根据分数定义解答即可 【详解】（1）解：正数集合：{，0.5，13，，…}； （2）解：整数集合：{0，13，，，…}； （3）解：非负数集合：{，0.5，0，13，，…}； （4）解：分数集合：{，，0.5，，，，…}． 【经典例题五 带“非”字的有理数】 【例5】在下列选项中，所填的数正确的是（    ） A．分数 B．非负数 C．正数 D．整数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类方法进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是分数，故此选项不符合题意； B．都是负数，故此选项不符合题意； C．0不是正数，故此选项不符合题意； D．都是整数，故此选项符合题意． 故选：D． 1．在中，非负数的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的定义，解题的关键是掌握非负数的定义．根据“零和正数统称为非负数”，即可求解． 【详解】解：非负数有：，共个， 故选：B． 2．不小于且不大于4的所有非负整数是 ．（一一列出） 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了非负整数的定义，根据非负整数的定义解题即可． 【详解】解：不小于且不大于4的整数有，，，，，，，， 其中非负整数有，，，，， 故答案为：，，，，． 3．把下列各数填在相应的集合内： ，，，，0，，， (1)负有理数集合：{__________________…} (2)正分数集合：{__________________…}． (3)非负整数集合：{__________________…}． (4)非负数集合：{__________________…}． 【答案】(1)，，， (2)， (3)，0 (4)，0，， 【分析】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据负有理数的意义进行解答即可； （2）根据正分数的意义进行解答即可； （3）根据非负整数的意义进行解答即可； （4）根据非负数的意义进行解答即可． 【详解】（1），，，， 负有理数集合：{，，，，…} （2）正分数集合：{，…}． （3）非负整数集合：{，0，…}． （4）非负数集合：{，0，，…}． 故答案为：，，，；，；，0；，0，， 【经典例题六 数轴的三要素及其画法】 【例6】下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【详解】解：A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】解：A．没有正方向，错误，不符合题意； B．单位长度不相等，错误，不符合题意； C．有正方向，原点，单位长度相等，正确，符合题意； D．选项没有原点，错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 3．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    【经典例题七 用数轴上的点表示有理数】 【例7】如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A． 1．已知数轴上的点A到原点的距离是3，那么在数轴上到点A的距离是3的点所表示的数有（　　）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点、数轴上两点间的距离等知识点，掌握数轴上两点间距离的意义成为解题的关键． 根据数轴上两点间距离的意义确定点A的距离是3所表示的数即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点A到原点的距离是3， ∴A点表示的数为3或． 又∵与3表示的点距离是3所表示的数有0和6；与表示的点距离是3所表示的数有0和； ∴在数轴上到点A的距离是3所表示的数有，共3个． 故选：B． 2．如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，在数轴上正确表示数进行准确计算是解题的关键；根据表示的数为，通过点距离为进行有理数加减运算即可； 【详解】解：根据图示，表示的数为， ∵，， ∴与点距离为的点表示的数为或， 故答案为：或． 3．如图，在数轴上，点向右移动1个单位得到点，点向右移动个单位得到点（为正整数），点分别表示有理数． (1)若这三个数的和与其中最大的数相等，则______； (2)若这三个数中只有一个数为正数，且这三个数的和等于6，则正整数的最小取值为多少？ 【答案】(1) (2)正整数的最小取值为6． 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴，关键是根据题目的等量关系和不等关系列出方程和不等式求解． （1）根据、、这三个数的和与其中最大的数相等，列出方程求解即可； （2）根据三个数的和等于6，列出方程得到，再根据、、这三个数中只有一个数为正数得到且，依此即可求解． 【详解】（1）解：依题意有 ， 解得； 故答案为：； （2）解：依题意有 ， ， 、、这三个数中只有一个数为正数， 且， 则且，即， 解得， ， 是正整数， 正整数的最小取值为6． 【经典例题八 相反数的定义】 【例8】数的相反数是，则数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义即可求解．只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：数的相反数是，则数为， 故选：A 1．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相反数的定义及互为相反数的两个数在数轴上的位置特点，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数，在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离的相等． 【详解】解：表示的相反数的点在原点的右侧，且到原点的距离为个单位长度的点，如图： 根据点，，，在数轴上的位置，可得点符合题意， 故选：C． 2．的相反数是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数，正确理解相反数的定义是解题的关键，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：的相反数是，的相反数是， 故答案为：，． 3．数轴上有A，B，C三点．已知点A，B表示的数互为相反数，点A在点B的左边，且点A，B相距6个单位长度，点A，C相距2个单位长度．问：点A，B，C表示的数各是多少？ 【答案】点，，表示的数为，3，或，3，． 【分析】本题考查了数轴，关键是掌握相反数的定义．因为点，表示的数互为相反数，点在点的左边，且点，相距6个单位长度，可得点、点表示的数，因为点，相距2个单位长度，可得点表示的数． 【详解】解：设点表示的数分别为， 点，表示的数互为相反数，点在点的左边， ，且， 点，相距6个单位长度， ，， 点表示的数是，点表示的数是3， 点，相距2个单位长度， ， 解得：或， 点表示的数是或， 答：点，，表示的数为，3，或，3，． 【经典例题九 化简多重符号】 【例9】下列数：，，，，，，，，其中负分数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查负分数的识别．解题的关键是理解：小于零的分数是负分数；整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：下列数：，，，，，，，， 其中负分数有，，共个． 故选：A． 1．下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据多重符号的化简方法化简即可． 【详解】解∶A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选∶B ． 2．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 【答案】 3 【分析】该题主要考查了相反数的定义，去括号．解题的关键是根据相反数的定义去括号． 根据相反数的定义去括号即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：3；；；． 3．化简下列各数，其中负数有几个？ （1） （2） （3） （4） 【答案】化简见解析，3个 【分析】对这类式子进行化简，非0数的正负与前边的正号的个数无关，而与负号的个数有关，当有奇数个负号时，值是负数，当有偶数个负号时，值是正数． （1）的前面是正号，去括号时不变号； （2）的前面是正号，去括号时不变号； （3）有奇数个负号，去括号时结果为负； （4））有奇数个负号，去括号时结果为负． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． ∴负数有3个 【经典例题十 绝对值的意义】 【例10】2的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值意义，根据正数的绝对值是它本身求解，即可解题． 【详解】解：2的绝对值是2， 故选：A． 1．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 2．若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值和数轴上两点间的距离．根据绝对值的意义及数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：表示数轴上数表示的数到的距离，表示数轴上数表示的数到1的距离，表示数轴上数表示的数到2的距离， ， ①当时：，，， ， 化简得：（不符合题意，舍去）； ②当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，，，， ， 解得：（符合题意）； ④当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑤当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑥当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑦当时，，，， ， 解得：（符合题意）； 或， 故答案为：或． 3．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？ 【答案】5，C点 【分析】本题考查了相反数的定义和数轴，绝对值的意义，解题的关键是根据题意找出原点的位置．据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵点B、E表示的数是互为相反数 ∴点C表示的数为0，点D表示的数为， ， 的绝对值是0为最小， 点表示的数绝对值最小． 【经典例题十一 求一个数的绝对值】 【例11】多项式是四次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， 即， ∴， 故选：C． 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 2． ． 【答案】6 【分析】本题考查绝对值化简：根据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】 故答案为：6． 3．写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【答案】（1）1.5；（2）；（3）6；（4）；（5）3 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 【经典例题十二 有理数大小比较】 【例12】下列有理数的大小比较，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，此选项错误，符合题意； 、∵，， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； 故选：． 1．下列各数中，最小的是（    ） A．2024 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可. 本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握. 【详解】解：， 那么最小的数为：. 故选：D. 2．在中，最大的数是 ，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，解题的关键是学生对是无限不循环小数的掌握情况，学生有时认为就是，这是不正确的． 先把百分数化成小数，再根据小数大小的比较方法解答． 【详解】解：，是无限不循环小数， 即； 故最大的数是，最小的数是， 故答案为：；． 3．比较下列各组数的大小 (1) 与 (2)与 (3)0与 (4)与 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数比较大小，通过去绝对值和负数比较方法是解题的关键 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可对（1）（4）作出比较； 对于（2）（3）直接去绝对值比较大小即可； 【详解】（1）解：， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得： （2）解：， （3）解：， （4）解：，， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得： 1．下列各数中：，负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】 ∴负有理数有 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．有理数都可以化成有限小数 B．在任何一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 C．在数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大 D．两个数中，较大的那个数的绝对值较大 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，相反数，数轴，绝对值的概念，根据有理数，相反数，数轴，绝对值的定义进行排除即可，正确理解有理数，相反数，数轴，绝对值的 定义是解题的关键． 【详解】解：、有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，原选项说法错误，不符合题意； 、在任何一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，原选项说法正确，符合题意； 、若在原点左边时，数轴上表示数的点离原点越远，这个数越小，若在原点右边时，数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大，原选项说法错误，不符合题意； 、两个正数中，较大的那个数的绝对值较大，两个负数中，较大的那个数的绝对值较小，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3．我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出80元， 故选：D． 4．若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系求解即可得． 【详解】解：A、由数轴可知，，则此项不符合题意； B、由数轴可知，，则此项不符合题意； C、由数轴可知，，则此项不符合题意； D、由数轴可知，，则此项符合题意； 故选：D． 5．六（3）班4名男同学的身高（单位：）分别是：小涛161；小冬148；小烨156；小辉163．以他们平均身高的厘米数为标准，记作，高于此标准的部分为正，低于此标准的部分为负，则小烨的身高记作（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得他们的平均身高是解题的关键．先求得他们的平均身高，然后根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【详解】解：它们的平均身高为， 则小辉的身高记作， 故选：A． 6．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先求出，再根据正数大于一切负数比较即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．如果高于正常水位5米记作米，那么低于正常水位5米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际应用，熟练掌握正负数是表示相反意义的量，分清规定哪一个为正是解答的关键．根据正数和负数表示相反意义的量，即可解答． 【详解】解：如果高于正常水位5米记作米，那么低于正常水位5米记作米． 故答案为：． 8．在数轴上，把表示1的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的运用，根据数轴上的点表示数的方法，作出数轴，分析可得答案．熟知数轴的知识是关键． 【详解】解：根据题意，作出数轴如图： 则与此位置相对应的数是；， 故答案为：． 9．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )． 【答案】 棵 0棵 【分析】本题考查了正数和负数．解决问题的关键是熟练掌握超过标准的部分记作正数，不足的部分记作负数，有理数的减法计算． 根据“以8棵为标准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数”，7、8分别减去8计算出它们的值即可． 【详解】解：∵，， ∴7棵记作棵，8棵记作0棵． 故答案为：棵， 0棵 10．如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键． 根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； 【详解】解：由题意可知：， ∴以B为原点时，点A表示的数是，点表示的数是3， 若A，表示的两个数互为相反数，则的中点（如图，设为D）为原点， ∴，且D在B的右边， ∴点B表示的数是； 故答案为：；3；． 11．在数轴上表示下列各数：1，0，，2.5，，4并用“”把它们连接起来． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．先在数轴上表示各数，再利用右边的点表示的数比左边的大写出结果即可． 【详解】解：数轴如下： ∴． 12．把下列各数填入它所在数集的大括号内： ，3，7.004，，，，0，，14， 正有理数集合：{                          …} 非负整数集合：{                          …} 负分数集合：{                            …} 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正有理数、非负整数、负分数及有理数的定义，结合所给数据进行判断即可． 【详解】解：，， 正有理数集合：{3，7.004，，14 } 非负整数集合：{3，0，14 } 负分数集合：{，，} 13．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)若数对应的点与其相反数对应的点相距个单位长度，求的值； (3)在（）的条件下，若数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求的值． 【答案】(1)表示点见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据相反数的几何定义可直接得出结论； （）由相反数的定义可知，再结合数b所对应的点的位置可得的值； （）先根据数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求出可能的值，再由数轴可知，由此可得出的值； 本题主要考查了数轴上表示数，两点间距离，相反数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）的相反数为，的相反数为，在数轴上表示如图所示：    （2）根据题意可知，， ∴， ∴； （3）由（）可知，则， ∵数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度， ∴或， 由数轴可知， ∴． 14．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 15．操作与探索： (1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数：，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，1 【分析】本题考查数轴、有理数，关键是能利用数轴表示各数的大小． （1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的点A、B、C、D表示的数； （2）根据数轴上数的特点，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，准确的画出数值，3在数轴上的位置； （3）①根据数轴的知识，从数轴上找到大于并且小于3的整数；②到表示的点的距离等于2个单位长度的点可能在的左边也可能在的右边，从而找到这些点表示的数． 【详解】（1）解：A、B、C、D表示的数分别是； （2）解：如图所示： （3）解：①由数轴得，大于并且小于3的整数有5个：； ②在数轴上到表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是；． 学科网（北京）股份有限公司 $$