专题03 轴对称拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题03轴对称拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小) 【解惑】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【融会贯通】 1．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交、边于点E、F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 3．如图，在等边中，是边的中点，是边上的中线，是上的动点，若，则最小值 ． 类型二、三点共线(最大) 【解惑】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 2．在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 3．如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．    类型三、两动一定 【解惑】如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 类型四、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，等边三角形的边长为8，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 °． 3．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 类型五、周长最小——双对称 【解惑】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【融会贯通】 1．如图，四边形中，， 在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    3．如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ． 类型六、面积最大 【解惑】如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形CDFE的面积随D、E的运动而变化；④面积的最小值为4；⑤面积的最大值为8．其中正确的结论是（      ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【融会贯通】 1．如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（      ） A．6 B．4.5 C．3 D．2 2．如图，△ABC中，BC=10，，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BCD的面积最大值为 ． 3．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 类型七、手拉手最值 【解惑】如图，是等边的中线，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是2 B．有最大值 C．的最小值是4 D．没有最小值也没有最大值 【融会贯通】 1．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 2．四边形中，，，，，则的最大值为 ．    3．如图，已知等边，点D为平面内任意一点，且，，则的最大值是 ． 类型八、其他最值 【解惑】已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（    ） A． B． C． D．4 【融会贯通】 1．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 2．如图，四边形中，，，若且，则对角线长的最大值为 ． 3．如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；    (1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数． (2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由． (3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． (4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______； 【一览众山小】 1．如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 3．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 4．如图，，以为圆心，4为半径画弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交弧于点，为上一动点，连接，．那么的最小值是 ． 5．如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 6．如图，在四边形中，，，，连接、交于点，点为上一动点，连接，点为的中点，连接、，则的最小值为 ． 7．如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 8．【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03轴对称拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小) 【解惑】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 【融会贯通】 1．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交、边于点E、F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为6． 故选：C． 2．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 【答案】30 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 3．如图，在等边中，是边的中点，是边上的中线，是上的动点，若，则最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，由等边三角形的性质可得，，进而得到为的垂直平分线，即得，得到，可知当点三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长，又由等边三角形的性质可得，由三角形的面积可得，即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值即为线段的长， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 类型二、三点共线(最大) 【解惑】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 2．在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答． 【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点， ∴， ∴， 当在同一条直线上时，有最大值， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为；    【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键． 类型三、两动一定 【解惑】如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点， 平分， ， ， 当点与点重合时，的值最小，等于的值， ，的面积为8， ， ， 的最小值为4， 故选：B． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短线段问题及线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，根据面积法求得，再根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】如图，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3．如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 又， （等腰三角形的三线合一）， ， 则在中，， 即的最小值为4， 故答案为：4． 类型四、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题此题考查了轴对称的最短路线问题，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 【详解】如图所示，连接， 的垂直平分线分别交，于点E，F， ， 的周长， 当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长， 的周长的最小值为， ，， 的周长的最小值为：， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵边的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长， ∴的周长的最小值为， 故选C． 2．如图，等边三角形的边长为8，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．过E作，交于M，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，则此时的值最小，的周长最小，根据等边三角形性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过E作，交于M，交于N，连接交于F，连接， ∴， ∵是等边三角形， E是边的中点． ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 则此时的值最小，的周长最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵，   ∴，， ∴ 由轴对称的性质可得：， ∴， 故答案为：． 3．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称的最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 类型五、周长最小——双对称 【解惑】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°， ∴∠ADC＝180°﹣32°， 由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣32°） ＝32°， ∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°， ∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′） ＝180°﹣32°-32° ＝116°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，四边形中，， 在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与、的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接与、的交点即为所求的点、， ，， ， 由轴对称的性质得：，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点、的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 2．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    【答案】150 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．   ， ， ，，且，， 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 3．如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ． 【答案】3 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是3， 周长的最小值是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键． 类型六、面积最大 【解惑】如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形CDFE的面积随D、E的运动而变化；④面积的最小值为4；⑤面积的最大值为8．其中正确的结论是（      ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形CDFE为三角形面积的一半，即可判断④⑤⑥． 【详解】（1）连接CF， 在等腰中，F是AB边上的中点 ， 在和中 （ 故①正确． （2）由（1）可知， ， 是等腰直角三角形 故②正确． （3） 四边形CDFE的面积是定值 故③错误． （4） 最小时，面积有最小值． 当时，此时 故④错误． （5）由（3）可知 由（4）可知 故⑤正确． 故选：B 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值． 【融会贯通】 1．如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（      ） A．6 B．4.5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【详解】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH， ∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．如图，△ABC中，BC=10，，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BCD的面积最大值为 ． 【答案】15 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为15． 【详解】解：如图：延长，交点于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， ， 当时，面积最大， 即最大面积． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到进行求解． 3．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 类型七、手拉手最值 【解惑】如图，是等边的中线，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是2 B．有最大值 C．的最小值是4 D．没有最小值也没有最大值 【答案】A 【分析】取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，因此根据含角的直角三角形的性质可得出答案． 【详解】如图，取中点K，连接， ∵是等边的中线， ∴，， ∵以为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ， ∴当最小时，最小，当时，最小， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题是几何最值问题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 【答案】D 【分析】延长，交于点，可证，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10． 本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， ， 当时，最大， 即最大． 故选：D． 2．四边形中，，，，，则的最大值为 ．    【答案】19 【分析】在的上方作等边，证明，求出的取值范围，可得结论． 【详解】解：在的上方作等边，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形三条边的关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．如图，已知等边，点D为平面内任意一点，且，，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型八、其他最值 【解惑】已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是运用排除法进行解题．连接，由轴对称的性质可得，，在中，可有，即，结合均为定值，可知当与重合时，取最小值，此时，结合题意可得，然后根据三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵，点是关于直线的对称点， ∴，， 在中，可有，即， ∵均为定值， ∴当与重合时，取最小值，此时， ∵的最小值是2，即有， ∴， 如下图， ∵为锐角， ∴为钝角， ∴，即， ∵， ∴选项A错误，不符合题意； 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴选项C、D错误，不符合题意． 综上所述，选项B符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 2．如图，四边形中，，，若且，则对角线长的最大值为 ． 【答案】5 【详解】如图，在的右侧作等边三角形，连接． ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵，，， ∴当、、共线时，的值最大，最大值为， 故答案是:． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题． 3．如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；    (1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数． (2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由． (3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． (4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______； 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)4 (4) 【分析】（1）证明，由对应角相等即可得出； （2）过E作交的延长线于G，过D作于F，证明，则，从而可得与面积相等； （3）过点E作交的延长线于点N，由点F是中点可证明，则，再证明，可得；由与面积相等及等积关系可求得的长； （4）的面积为定值，且与面积相等，则的面积最大时，四边形的面积最大；由于为锐角，过D作于M，则，当点M与点C重合时，最大，从而可求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵、是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：面积相等， 理由如下： 过E作交的延长线于G，过D作于F，如图， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与面积相等；    （3）解：过点E作交的延长线于点N，如图， 则，； ∵点F是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵与面积相等 ∴， 即， ∴；    （4）解：∵，， ∴， 即的面积为定值， 由（2）知，与面积相等， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大； 过D作于M，如图， ∴， 当点M与点C重合时，最大，此时， 而这时， ∴四边形面积的最大值为． 故答案为：．    【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余关系，四边形内角和为等知识，其中全等三角形的判定与性质的应用是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查线段最值问题，涉及等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用等知识，根据题意得，且，，则，那么，，且，当P、C、E共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：如图，连接． ∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为， 故选：B． 2．如图，在中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查点到直线的最短距离，涉及含30度角的直角三角形的性质和折叠的性质，当，点P到边距离的值最小．由翻折的性质可知：．由含30度角的直角三角形的性质得，利用线段之间的关系即可． 【详解】解：如图所示：当，点P到边距离的值最小． 由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点P到边距离的最小值是． 故选：A． 3．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂线段最短，且两点之间线段最短， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， 周长的最小值． 故选：D． 4．如图，，以为圆心，4为半径画弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交弧于点，为上一动点，连接，．那么的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造的最小值，是解题的关键．先作点D关于的对称点，连接交于点，连接O，则，此时，的最小值，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴， 作点D关于的对称点，连接B交于点，连接， 则，此时，的最小值， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值， 故答案是：4． 5．如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，，连接，．此时，的周长最小，最小值为线段的长．证明是等边三角形，从而可得结论． 【详解】解：如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，， 连接，． 此时，的周长最小，最小值为线段的长． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为2． 6．如图，在四边形中，，，，连接、交于点，点为上一动点，连接，点为的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是解题关键． 过点作的平行线分别交、于点、，由点为上一动点，点为线段的中点可得到点在线段上运动，为的中位线，求证，用等腰三角形“三线合一”证明，所以，即点与点关于对称，所以，同时证明是等边三角形，，即的最小值为． 【详解】解：过点作分别交、于点、， ∵点为上一动点，点为线段的中点 ∴点在线段上运动，且为的中位线， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴点与点关于对称， ∴， 又∵ ∴的最小值为． 7．如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】(1)，原因见解析 (2)，原因见解析 (3)最小值为15 【分析】（1）利用等角的补角相等即可证得； （2）过点作，，分别交于，，通过证得，即可得到结论； （3）易证得为等边三角形，则，求最小值即为求的最小最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，求得的长即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形， 平分， ，， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， 为等边三角形， ， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值， 最小值为的长度， 则最小值为的长度， 由对称的性质可得． ，，， 为等腰三角形，， ， ， 为等边三角形， 由等边三角形对称性可得， 是线段的中点， ， ， ，， ， 最小值为15． 【点睛】本题考查了邻补角定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称最短路线问题，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键． 8．【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 6 学科网（北京）股份有限公司 $$