专题03 轴对称（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题03轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称的性质求解 【解惑】如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【融会贯通】 1．等边的两条角平分线和交于点I，则的度数是（    ） A．60° B．115° C．120° D．130° 2．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 3．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 类型二、轴对称台球、共线问题 【解惑】如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【融会贯通】 1．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 3．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 类型三、轴对称的镜面对称问题 【解惑】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 2．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ． 3．小李在镜子中看到背后电子钟的数字显示为，实际时间是 . 类型四、线段垂直平分线的判定 【解惑】如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【融会贯通】 1．如图所示，相交于点． (1)求证：； (2)说明点O在的垂直平分线上． 2．如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、． (1)吗？为什么？ (2)是的垂直平分线吗？为什么？ 3．如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 类型五、等腰三角形的判定 【解惑】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点A作于点E，若的周长是20，求的长． 【融会贯通】 1．如图所示，在中，，在的延长线上取点E，使得，求证：． 2．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 3．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的周长． 类型六、等边三角形的判定 【解惑】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 2．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 3．如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 类型七、尺规作垂线、中垂线 【解惑】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【融会贯通】 1．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 2．尺规作图：已知钝角． (1)作的平分线，交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)作边上的高，垂足为点E．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，在中，是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）    (1)作的角平分线； (2)作边上的中线； (3)作边上的高． 类型八、30°角的直角三角形 【解惑】如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 【融会贯通】 1．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 3．已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【一览众山小】 1．等腰三角形的顶角是，则该等腰三角形的底角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，，是边上的高．若， ，则与之间的距离为（    ） A．1 B．3 C．4．5 D．6 3．如图，在中，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为14，则的周长是（   ） A．14 B．19 C．21 D．23 4．如图，在中，，，分别以点A，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接，则的度数是 ． 5．如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． 6．如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 7．如图，在中，，点在边上，过点作直线交延长线于点，交于点，且，求证：点在线段的垂直平分线上． 8．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称的性质求解 【解惑】如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线定义、等腰三角形和平行线的性质，解题的关键是证明．根据，，根据直角三角形30度角的性质即可求得的长，再根据角平分线的性质即可得到，根据平行的，从而可推出，即得到了的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴（根据直角三角形30度角的性质）， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．等边的两条角平分线和交于点I，则的度数是（    ） A．60° B．115° C．120° D．130° 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，根据等边三角形性质得出，根据角平分线性质求出和，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 【答案】40 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：40． 3．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 类型二、轴对称台球、共线问题 【解惑】如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 【融会贯通】 1．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】673 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为673． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 类型三、轴对称的镜面对称问题 【解惑】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 【融会贯通】 1．小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．解决此类题应认真观察和有空间想象力． 根据镜面对称的性质，求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：C． 2．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质．由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， ∴电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 3．小李在镜子中看到背后电子钟的数字显示为，实际时间是 . 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：由镜面对称的性质分析可得，墙上的实际数字是12:05． 故答案为12:05． 【点睛】本题考查了镜面对称的性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 类型四、线段垂直平分线的判定 【解惑】如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 【融会贯通】 1．如图所示，相交于点． (1)求证：； (2)说明点O在的垂直平分线上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）在和中，利用定理判定即可． （2）根据，证出，即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：∵， ， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 2．如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、． (1)吗？为什么？ (2)是的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】(1)．见解析； (2)是的垂直平分线．见解析 【分析】此题考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质． （1）．由于点是平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件首先容易证明，从而得到，由（1）有，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论． 【详解】（1）解：． 理由：是的平分线， 且，， ， ； （2）解：是的垂直平分线． 理由：， 在和中， ， ， ， 由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点， 是线段的垂直平分线． 3．如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 类型五、等腰三角形的判定 【解惑】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点A作于点E，若的周长是20，求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，等角对等边，三线合一． （1）根据垂直平分线的性质得出，进而推出．则，得出，即可得出结论； （2）根据三线合一得出，则，即可解答． 【详解】（1）解：为等腰三角形． 理由：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∵的周长是20， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图所示，在中，，在的延长线上取点E，使得，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，过D作交于F，由平行线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，再证明，即可得证． 【详解】证明：过D作交于F， ∵， ∴，（平行线的性质）， ∵（已知）， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 3．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】（1）证明：， ，， 平分， ， ， ． 是等腰三角形． （2）解：是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中 ≌． ． ， ． ． 的周长． 类型六、等边三角形的判定 【解惑】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在中，，，易得，，又由平分，，，即可证得，继而证得：为等边三角形． 【详解】证明：在中，，， ，， ，， 平分， ， ，， ， ， ， 为等边三角形． 2．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（）先证明，再推出是等腰三角形，由三线合一可证； （）先证明，再根据，即可证明是等边三角形； 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 3．如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】根据线段垂直平分线和角平分线的性质可得，，，然后利用证明，从而可得，再根据等量代换可得，即可解答． 【详解】解：是等边三角形，理由： 设交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，， 是的角平分线， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 类型七、尺规作垂线、中垂线 【解惑】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题主要考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可； （2）由线段的垂直平分线的性质可得：，从而将的周长转化为：，即，依此可求． 【详解】（1）解：如图所示：直线为所求． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等． （1）由可得点D在的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作出的垂直平分线，与的交点D即为所求； （2）由（1）可得，从而，根据等角的余角相等得到，从而，根据即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D为所求． （2）解： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 2．尺规作图：已知钝角． (1)作的平分线，交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)作边上的高，垂足为点E．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查的是作三角形的角平分线，作三角形的高，熟练的作图是解本题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作答即可； （2）根据过作的垂线作图即可． 【详解】（1）解：如图，为的平分线； （2）解：如图，即为上的高， ； 3．如图，在中，是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）    (1)作的角平分线； (2)作边上的中线； (3)作边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作平分； （2）利用基本作图作的垂直平分线即可； （3）过点B作于F． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 类型八、30°角的直角三角形 【解惑】如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 【答案】(1)运动4秒或8秒时为等腰三角形 (2)运动2秒或5秒时为直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质； （1）由于点在线段上时，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，然后求出，再根据时间路程速度计算即可得解；根据有一个外角是时可得出的长，故可得出结论； （2）分和两种情况求出，再求出的长，然后根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】（1）当点在线段上时，如图1， ，为等腰三角形， ∴是等边三角形， ， ， 运动时间为：秒， 当点在线段外时，如图2， ， ， 此时，， 时间等于． 故运动4秒或8秒时为等腰三角形； （2）时，， ， 运动时间为：秒， 时，， ， 运动时间为：秒， 故运动2秒或5秒时为直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ，， 在与中， ， ∴； （2）由（1）知，，则， ， ； （3）如图，由（2）知． ， ， ， ，即． 3．已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 【一览众山小】 1．等腰三角形的顶角是，则该等腰三角形的底角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟记三角形的内角和是解题的关键． 【详解】解：， 故该等腰三角形的底角是， 故选：B． 2．如图，在等腰中，，是边上的高．若， ，则与之间的距离为（    ） A．1 B．3 C．4．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，平行线间的距离，如图，过作于，由，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴与之间的距离为； 故选B 3．如图，在中，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为14，则的周长是（   ） A．14 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义．由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，因此，推出，同理：，于是得到，由的周长，即可求出的周长． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， 同理：， ， 的周长， 的周长． 故选：C． 4．如图，在中，，，分别以点A，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查作图一基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种． 故答案为：3． 6．如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等．根据全等三角形的性质，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，继而得到，可得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 7．如图，在中，，点在边上，过点作直线交延长线于点，交于点，且，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据两角互余的性质得出，，再由对顶角相等可得出，因为可知，故，由此可得出结论． 【详解】证明：， ，． 与是对顶角， ． ， ， ，即， 点在的垂直平分线上． 8．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$