专题03 轴对称（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题03轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 2．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有 个． 3．如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．    类型二、轴对称的折叠问题 【解惑】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B），沿翻折得到，，，则 ． 3．中，，点M、N分别在边上，将沿折叠，使点B落在直线上的点处，当为直角三角形时，的度数为 ． 类型三、轴对称图形中的阴影周长与面积 【解惑】将一张长 9 厘米，宽 5 厘米的长方形纸沿对角线对折后如图所示的图形，图中阴影部分的周长是（    ） A．23厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．32厘米 【融会贯通】 1．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 2．如图，三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的直角边对折到斜边上去，与斜边相重合，则图中阴影部分的面积是( )平方厘米． 3．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，，则重叠部分（阴影）的面积是 ． 类型四、等腰、等边三角形的手拉手 【解惑】如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，．当点落在边上时，交于点，若，则的大小为（     ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，中，，将旋转到，连接并延长交于点F，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 3．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 类型五、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图，在长方形中，在上分别截取，使，分别以E、F为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线；又分别以A、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线；射线和直线交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在△中，分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段的上方和下方相交于点，，作直线，与，分别交于点，，再以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与，分别交于点，，再分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，交于点，则下列结论不一定成立的是(   ) A． B． C． D． 2．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 类型六、等腰三角形动点求t 【解惑】如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 2．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 3．如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒（）．    (1)的长为 ；（用含的代数式表示） (2)在整个运动中，当 是以为顶角的等腰三角形时，的值为 秒； (3)若点在的角平分线上，直接写出的值 秒． 类型七、等腰三角形的新定义 【解惑】定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 【融会贯通】 1．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．    (1)如图1，中，，求证：是倍角三角形； (2)如图2，的外角平分线与的延长线相交于点D，延长到点E，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 2．【阅读】定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 如图②，在中，已知且，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数． 【应用】在中，，和分别是的“好好线”，点D在边上，点E在边上，且，，请你根据题意画出示意图，并求的度数． 3．我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． （1）如图1，，在射线上找一点，过点作交于点．　　，　　（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如图2，∠BDC为钝角，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使，，若是“完美三角形”，求的度数． 类型八、无刻度尺作图 【解惑】操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使； (2)在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积． 【融会贯通】 1．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．请在图1、图2、图3中只用无刻度的直尺分别按要求画图． (1)在图1中找出格点D（不与点B重合），画出，使得； (2)在图2中找出格点E，画出，使得； (3)在图3中找出格点F，画出，使得是一个轴对称图形． 2．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点与点关于格点所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)直接写出________； (2)画的高； (3)在上找一点，使； 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若A，B，C三点是格点． (1)请在图1中画所有点D，使与全等； (2)请在图2中的线段上画点E，使． (3)如图3，点P为上不在格点与格线上的任一点，画点Q，使P、Q点关于所在直线对称． 【一览众山小】 1．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图是螳螂的示意图，已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 5．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 6．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 7．已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 8．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03轴对称思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】为等腰三角形，但没有说明哪条边为腰，故分，，三类讨论，确定点的位置，再根据与轴正半轴的夹角为，去掉重合的点，问题得解． 【详解】解：当时，如图，共有2个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 其中、、点重合， 符合条件的点有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类思想，等边三角形的性质，根据题意分别确定符合条件的点，并根据等边三角形的性质，确定出重合的点是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】C 【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案． 【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件； ②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件； ③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点 ∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 2．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有 个． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB． 【详解】如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆， 交x轴有一点，交y轴有两点， 此时AB = AM， 为等腰三角形； ②以B为圆心，BA为半径画圆， 交直线x轴有两点，交y轴有一点， 此时BM = BA， 为等腰三角形； ③作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点， 此时MA = MB， 为等腰三角形， 是等边三角形，故重合 符合条件的点有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏． 3．如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．    【答案】10°或80°或20°或140° 【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题． 【详解】解：如图，    在中，， ①当时，，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 类型二、轴对称的折叠问题 【解惑】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应角相等可得，，结合可得答案． 【详解】解：由折叠知，， 又， ． 故选A． 2．如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B），沿翻折得到，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线翻折问题，涉及到平行线性质和翻折性质，灵活运用所学知识是关键． 过点F作，则 ，分点F在之间，点F在上方，点F在下方三种情况讨论，由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：过点F作，则 ， 如图，点F在之间时， ， 由翻折性质可得：， ， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：； 如图，当点F在下方时， 同理得：，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ； 如图，当点F在上方时，设交于点G， ， ， ， ， 与矛盾，不符合题意； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线翻折问题，涉及到平行线性质和翻折性质，三角形内角和定理与外角的性质，灵活运用所学知识是关键． 3．中，，点M、N分别在边上，将沿折叠，使点B落在直线上的点处，当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识．分情况求解是解题的关键．由题意知，当为直角三角形时，分①，②，两种情况计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，，， 当为直角三角形时，分①，②，两种情况求解； ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 类型三、轴对称图形中的阴影周长与面积 【解惑】将一张长 9 厘米，宽 5 厘米的长方形纸沿对角线对折后如图所示的图形，图中阴影部分的周长是（    ） A．23厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．32厘米 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，据折叠的性质，将折纸后阴影部分周长的所有边找出来，其实就是长方形的两个长与两个宽，据此可得答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得阴影部分的周长长方形的两个长与两个宽，即厘米， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故选：D． 2．如图，三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的直角边对折到斜边上去，与斜边相重合，则图中阴影部分的面积是( )平方厘米． 【答案】9 【分析】此题主要根据等高的两个三角形的面积比等于底的长度的比，由此求面积的比．此题很明显，原直角三角形被分成了三部分，因它们都是直角三角形，依据题目条件可以先找出它们的面积比，再根据总面积是：平方厘米，然后求解即可． 【详解】解：由题意可以知道：（平方厘米） ， 和等高， 所以， 所以，； （平方厘米） 答：图中阴影部分面积是9平方厘米． 故答案为：9 3．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，，则重叠部分（阴影）的面积是 ． 【答案】78 【分析】根据折叠的性质得到，根据可得，得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵长方形纸片按图中那样折叠， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握折叠的性质． 类型四、等腰、等边三角形的手拉手 【解惑】如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，．当点落在边上时，交于点，若，则的大小为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等等知识，求得是解题的关键． 由，，求得，由旋转得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 由旋转得， ， ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，中，，将旋转到，连接并延长交于点F，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 通过旋转的性质即可判断①④，通过可证明，即可判断②③； 【详解】解：如图，由旋转可知：， ，故①正确； ， ， 即， ， ， 即， ，故④正确； 在和中， ， ，故③正确； ，故②正确； 故选：D． 2．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键． ①根据即可证明；②根据即可证明，从而判断；③根据即可求出；④根据及可知为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知． 【详解】解：①∵和都是等边三角形 ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，则； ③∵， 而， ∴， ∴， ∴； ④∵， ∴， 而， ∴为等边三角形； ⑤过C点作于H，于Q，如图 ∵， ∴， ∴平分； 故答案为：①③④⑤． 3．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理． （1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可； （2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， ， ． （2）解：， ， 等边三角形， ， ， ， （3）证明：， ，，， 又点、分别是线段、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， 是等边三角形． 类型五、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图，在长方形中，在上分别截取，使，分别以E、F为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线；又分别以A、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线；射线和直线交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得，由角平分线的定义得，求出，然后根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由作图知，平分， ∴． 由作图知，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，尺规作图，直角三角形两锐角互余，以及对等角相等，理解作图的含义是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在△中，分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段的上方和下方相交于点，，作直线，与，分别交于点，，再以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与，分别交于点，，再分别以，为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，交于点，则下列结论不一定成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到平分，垂直平分，则根据角平分线的定义可对选项进行判断；根据线段垂直平分线的性质可对、选项进行判断；由于不能确定，于是可对选项进行判断． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， ，，，所以A选项、B选项不符合题意， ，所以D选项不符合题意， 不能确定，则不能确定与相等，C选项符合题意． 故选：C． 2．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)的周长为10 (2)点到的距离为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和角平分线的性质， （1）根据垂直平分的性质得，则的周长为即可； （2）过点分别作于点，于点，角平分线的性质得，利用三角形面积求得，结合比例得，即可求得，由即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长 ， ∵，， ∴的周长， 的周长为10． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， 平分， ．   ，， ， ．   ， ， ， 解得， ， 即点到的距离为． 类型六、等腰三角形动点求t 【解惑】如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)t为4秒 (3)能，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒 【分析】此题考查等边三角形性质与全等三角形的判定和性质，以及通过题目所给信息，合理设置未知数建立方程，并求出对应的解． （1）写出点与点的运动距离公式，并写出两点重合的表达式，解出方程即可； （2）因为为等边三角形，则为，结合为等边三角形的性质、列式计算，即可作答． （3）结合等腰三角形的性质，进行分类讨论，即点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形；当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形；当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点第一次到达点时，、同时停止运动，且点第一次到达点需要运动 运动时间． 点的运动距离设为， 则； 设点的运动距离为， 则． 、两点重合， 可表示为：，即 解得：； （2）解：设经过秒后，为等边三角形 ∵ ∴当时，为等边三角形 ， ， 解得： 即为等边三角形时，为4秒． （3）解：由（2）得，点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形； 当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形． 假设是等腰三角形，则， ， 又， 是等边三角形，， 在和中， ，， ， ， 解得：， 即当为8秒，为以为底边的等腰三角形； 同理可得，当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形， 此时，，可得： 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，， 由题意得，， 解得： 综上所述，点、能否与中的某一顶点构成等腰三角形，、运动的时间为4秒或8秒或16秒． 【融会贯通】 1．如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 【答案】(1)①2；②见解析；③见解析 (2) (3)秒或4秒或13秒 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定及性质，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． （1）①当时，cm，即可得到的长度； ②根据题意即可作图； ③当时，由①可知，，，进而可知，，得，，再由即可得结论； （2）由题意可知，点运动的路程为，分两种情况：当在上时， 当在上时，即可求解； （3）分三种情况讨论，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，点P走过的路程为：， ∵cm， ∴， 故答案为：2； ②如图所示： ③当时，，理由如下： 由①可知，，， 在长方形中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知，点运动的路程为， 当在上时，即时，，则； 当在上时，即时，，则； 即：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或4秒或13秒时，是等腰三角形． 2．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【详解】（1）出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． （2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． （3）①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 3．如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒（）．    (1)的长为 ；（用含的代数式表示） (2)在整个运动中，当 是以为顶角的等腰三角形时，的值为 秒； (3)若点在的角平分线上，直接写出的值 秒． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）根据题意列代数式可求得答案； （2）分当 是以为顶角的等腰三角形时，据此计算即可； （3）根据角平分线的性质到角两边的距离相等，可得，由此解答即可． 【详解】（1）解：∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P运动的长度为：； 故答案为：； （2）解：当 是以为顶角的等腰三角形时，如图，   ，此时； 当 是以为顶角的等腰三角形时，t的值为． （3）解：过点P作于点M，如图所示：   点P在的角平分线上，，， ， ∵，， ∴，即 ∴ ， 即若点P在的角平分线上，则t的值为． 类型七、等腰三角形的新定义 【解惑】定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 【融会贯通】 1．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．    (1)如图1，中，，求证：是倍角三角形； (2)如图2，的外角平分线与的延长线相交于点D，延长到点E，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)和是倍角三角形，见解析 【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出，得到即可； （2）根据证明，得到，证明，得出，可得出．则结论得证． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， 即是倍角三角形； （2）解：和是倍角三角形，证明如下： 平分， ， ∴， ． 又，，即． ． ． 是倍角三角形． ， ， ， ，． 是倍角三角形 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了“倍角三角形”的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用等知识点，注意数形结合思想的应用． 2．【阅读】定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 如图②，在中，已知且，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数． 【应用】在中，，和分别是的“好好线”，点D在边上，点E在边上，且，，请你根据题意画出示意图，并求的度数． 【答案】理解：见解析；应用：44°或16°，见解析 【分析】理解：如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可； 应用：设∠B＝x，①当AD＝DE时，如图1（a），②当AD＝AE时，如图1（b），③当EA＝DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】解：理解：如图①中，线段CD即为所求； 如图②中，线段AE，BF即为所求； 应用：设∠B＝x， ①当AD＝DE时，如图1（a）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝24°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠DAE＝2x， ∴24°×2＋2x＋x＝180°， ∴x＝44°， ∴∠B＝44°； ②当AD＝AE时，如图1（b）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝24°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠ADE＝2x， ∴2x＋x＝24°＋24°， ∴x＝16°， ∴∠B＝16°． ③当EA＝DE时， ∵90°−x＋24°＋24°＋x＝180°， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：∠B的度数的所有可能值为44°或16°， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的“二分等腰线”，三角形的“三分等腰线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 3．我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． （1）如图1，，在射线上找一点，过点作交于点．　　，　　（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如图2，∠BDC为钝角，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使，，若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】（1）18；是；（2）． 【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB=90°， ∴∠ABO=90°-∠MON=90°-72°=18°， ∵∠MON=4∠ABO， ∴△AOB为“完美三角形”， 故答案为：18；是； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“完美三角形”，且∠BDC为钝角 ， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 类型八、无刻度尺作图 【解惑】操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使； (2)在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图：作三角形的高、中线，作直线的平行线，作轴对称图形，掌握格点图的特点是解题的关键． （1）取格点D，连接即得高；取格点F，连接即可； （2）取格点P，连接即可；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则必满足题意． 【详解】（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示； （2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积． 【融会贯通】 1．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．请在图1、图2、图3中只用无刻度的直尺分别按要求画图． (1)在图1中找出格点D（不与点B重合），画出，使得； (2)在图2中找出格点E，画出，使得； (3)在图3中找出格点F，画出，使得是一个轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查根据轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质作图． （1）作出点B关于的对称点，即为所求； （2）取格点E，使得，即可得到； （3）作出以为腰的等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D为所求． ∵点B与点D关于对称， ∴， ∴点D为所求． （2）解：如图，点E为所求． 连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E为所求． （3）解：如图，点F与为所求． ∵由图可得， ∴是等腰三角形， ∴是轴对称图形． 2．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点与点关于格点所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)直接写出________； (2)画的高； (3)在上找一点，使； 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）由网格特点可得，，从而可得； （2）取格点，，满足，连接，延长交于，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得； （3）如图，上取格点，另外取格点，结合网格特点满足直线是的垂直平分线，而是的垂直平分线，交点刚好是D，则满足． 【详解】（1）解：∵的三个顶点都是格点，点A与点C关于格点M，N所在的直线对称． ∴，， ∴． （2）解：如图，即为所求作的高； （3）解：如图，即为所求作的点， 【点睛】本题考查的是复杂作图，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，难度中等，熟悉等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若A，B，C三点是格点． (1)请在图1中画所有点D，使与全等； (2)请在图2中的线段上画点E，使． (3)如图3，点P为上不在格点与格线上的任一点，画点Q，使P、Q点关于所在直线对称． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形的性质以及全等三角形的判定画图即可； （2）由全等三角形的性质画图即可； （3）由轴对称的性质，等腰三角形的性质画图即可． 【详解】（1） （2）取格点，，，可使与全等； 取格点F，连接交于点E，则点E，使； （3） 取格点M，连接，，连接交于点N，连接并延长交于点Q，则图中点Q，使P、Q点关于所在直线对称． 【一览众山小】 1．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，，再利用角平分线的定义求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 由题意得，平分， ， 故选：B． 【点睛】本题考查作图作角平分线，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图是螳螂的示意图，已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，首先结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理可解得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”可解得的角度，然后证明，进而可得的角度，利用求解即可． 【详解】解：如下图，过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则． 【详解】解：连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 5．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 6．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 7．已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析；①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． （1）过点C作，交的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得，再结合得出，证明，，再证明，从而结合全等三角形的性质使问题得证； （2）①如图，过点B作，交于点N，由（1）已证，，得出，，从而得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，再证出，即可求解； ②取中点H，连接，证明为等边三角形，再证明为等边三角形，从而证出，得出，即可得出，即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点； （2）解：①补图如图，过点B作，交于点N， 由（1）已证，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴； ②取中点H，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵点E、H分别为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据与的运动时间相等，利用的路程的路程列方程，可得结论； （2）根据列方程，可得结论； （3）先证明，得，列方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， 为12时，、两点第一次重合； （2）解：如图1所示： 是等边三角形， ， 当时，是等边三角形， ， ； （3）解：存在以为底边的等腰， 如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$