第2章 有理数的运算 单元测试-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第2章 有理数的运算 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（有理数的运算）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的倒数是（    ） A．2023 B． C． D． 2．我市某天的最高气温为，最低气温为零下，则计算温差列式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．中国空间站是唯一一个由单一国家自主拥有全面主权的空间站，2024年4月26日，神舟十八号航天员乘组叶光富、李聪、李广苏成功入驻中国空间站，与神舟十七号乘组汤洪波、唐胜杰、江新林顺利会师太空，空间站的飞行速度约为万公里/小时．将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 5．已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 6．用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 8．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店（    ） A．不盈不亏 B．盈利10元 C．亏损10元 D．盈利50元 9．定义新运算：对任意非零实数，有，则（ ） A． B．1 C． D． 10．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算： ． 12．电影14：50分开演，16：10分结束，这部电影放映了 ． 13．比大，比小的所有整数的和为 ． 14．比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 15．一个点从数轴上的原点出发，向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度到达点P，则点P表示的数是 ． 16．如图，大长方形是由六个相同的小长方形组合而成的，其中每个小长方形的长为4，则大长方形的周长为 ． 17．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．则 ． 18．若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 20．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 21．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 22．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 23．十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 24．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 25．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是　　，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为　　． (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则　　． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是　　； 当时，x的值为 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 26．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（有理数的运算）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的倒数是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，掌握定义是解本题的关键．利用两个数乘积为1，这两个数互为倒数，即可得出答案． 【详解】解：， 是的倒数． 故选：B. 2．我市某天的最高气温为，最低气温为零下，则计算温差列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数与加减法在实际生活中的应用，掌握生活中以零上温度为正，零下温度为负，是解题的关键．最高温度表示为，最低气温表示为，用最高减最低列式即可． 【详解】由题意得，计算温差可列式为， 故选：B． 3．中国空间站是唯一一个由单一国家自主拥有全面主权的空间站，2024年4月26日，神舟十八号航天员乘组叶光富、李聪、李广苏成功入驻中国空间站，与神舟十七号乘组汤洪波、唐胜杰、江新林顺利会师太空，空间站的飞行速度约为万公里/小时．将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万． 故选：B． 4．同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键. 根据乘法分配律计算即可. 【详解】解： 故选：C. 5．已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可知，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， 故选：D． 6．用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的确定方法是解题关键．近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的，由于的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得的取值范围，即看万分位上的数． 【详解】解：由题意得，当满足时，得到的近似数为0.270． 故选：D． 7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 【答案】B 【分析】此题考查了用数字表示事件，以及有理数的乘方，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据图1的计算方法，表示出图2中的天数，计算即可得到结果． 【详解】解：根据图1的方法得： 图2中孩子出生后的天数是（天． 故选：B 8．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店（    ） A．不盈不亏 B．盈利10元 C．亏损10元 D．盈利50元 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，分别计算出两个商品的进价，再用总的营业额减去总进价即可得到答案． 【详解】解：盈利的进价为元， 亏损的进价为元， ∵， ∴这家商店盈利10元， 故选：B． 9．定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 10．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．利用乘法的结合律进行求解即可． 【详解】， ， 故答案为：． 12．电影14：50分开演，16：10分结束，这部电影放映了 ． 【答案】1小时20分 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握经过时间的计算是解题的关键．经过时间=结束时间一开始时间，代入数据计算即可． 【详解】16时10分时50分（小时）20（分） 则这部电影放映了1小时20分． 故答案为：1小时20分． 13．比大，比小的所有整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法及有理数的加法，正确把握整数的定义是解答本题的关键．根据整数的定义结合已知得出符合题意的所有整数，再求和即可得到答案． 【详解】解：比大，比小的所有整数有：， 故答案为：7． 14．比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘方的运算，有理数的大小比较，先计算各数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ，， 而， ∴； 故答案为： 15．一个点从数轴上的原点出发，向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度到达点P，则点P表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点左移减，右移加是解题关键． 根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ， 故答案为：． 16．如图，大长方形是由六个相同的小长方形组合而成的，其中每个小长方形的长为4，则大长方形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出式子是解题的关键． 由图可看出一个小长方形的长等于两个宽，从而求出宽，然后根据大长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵六个小长方形完全相同， ∴每个小长方形的宽相等， 由图可看出一个小长方形的长等于两个宽，每个小长方形的长为4， ∴宽为2， ∴大长方形的周长为， 故答案为：28． 17．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．则 ． 【答案】 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，先计算，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； ∴ ； 故答案为： 18．若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ，，， ， ∵m、n、p、q为正整数， ∴q的最小值为8，则，，， ∴， 的最小值为65． 故答案为：65 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)3 (4)2 【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）先化简绝对值，再把除法化为乘法，最后运算乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先算乘方，再算乘法，最后运算加减，即可作答． 本题考查了有理数的乘方的混合运算，化简绝对值，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 20．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】8或 【分析】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握相反数，倒数，绝对值等概念，得到，，． 由a，b互为相反数，c，d互为倒数，，得到，，，分两种情况代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，， ，，， 当 时， ； 当时， ． ∴的值为8或． 21．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 22．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元； (2)元． 【分析】（1）先求出基本价，然后再求出调节价即可； （2）根据基本价和调节价列式计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． 【详解】（1）解： “基本价”： （元； “调节价”： （元 答：该市水费的“调节价”每立方米3.6元； （2）解：依题意 （元； 答：6月份的水费是元． 23．十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 【答案】(1)10月3日外出旅游的人数是万人； (2)最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； (3)m的值为1.6． 【分析】本题考有理数加减的实际应用； （1）根据题意可以用用含的代数式表示10月3日外出旅游的人数； （2）根据表格和题意可以用含的代数式分别表示出这七天每天外出旅游的人数，从而可以得到这七天内外出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，它们相差多少万人； （3）根据第（2）中的数据可以知道哪天人数最多和最多一天有出游人数4.5万人，可以计算出9月30日出去旅游的人数有多少． 【详解】（1）由题意可得， 10月3日外出旅游的人数是：万人， 即10月3日外出旅游的人数是万人； （2）由题意可得， 10月1日外出旅游的人数：； 10月2日外出旅游的人数：； 10月3日外出旅游的人数：； 10月4日外出旅游的人数：； 10月5日外出旅游的人数：； 10月6日外出旅游的人数：； 10月7日外出旅游的人数：； 万人， 即这七天内外出旅游人数最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； （3）由（2）可知10月4日外出旅游人数最多为万人， ， 解得． 即9月30日出去旅游的人数有1.6万人． 答：如果最多一天的出游人数为4.5万人，m的值为1.6． 24．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 25．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是　　，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为　　． (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则　　． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是　　； 当时，x的值为 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)； (4) 【分析】（1）根据距离公式即可解答； （2）利用距离公式列方程求解即可； （3）分为，和去绝对值求解即可； （4），和，去绝对值求解即可. 本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性. 【详解】（1）数轴上表示与两点之间的距离是, 数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为, 故答案为: ，； （2）解：， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，，解得全部满足， 故整数为； 当时，， 解得； 当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，，无解， 故x的值为； 故答案为：；； （4）当时，； 当时，；； 当时，； 故最小值为． 26．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)， (2) (3)，， (4)的值是定值，不随着时间的变化而改变，理由见详解 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）根据折叠的性质，中点的计算方法“”即可求解； （3）根据数轴上点的运动规律和数的表示方法“点的移动规律是左减右加，两点之间的距离是用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数”即可求解； （4）根据（3）中的值进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：点表示数，点表示数，点表示数，折叠使得点与点重合， ∴折点为， ∴， ∴点与数表示的点重合， 故答案为：． （3）解：点表示的数为，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，运动时间为t秒， ∴运动后点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，平方数的非负性，数轴上有理数的表示，折叠的性质，中点的计算，两点之间距离的计算方法，理解并掌握数轴的特点，中点的计算，两点之间距离的计算方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$