第5节 空间直线、平面的垂直-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第七章 立体几何与空间向量 第5节 空间直线、平面的垂直 【知识梳理】 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__________垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是________． (2)范围：____________. 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作____________的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：____________. 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的__________，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【真题呈现】 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 二、解答题 2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； 4．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； 5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； 6．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； 7．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； 8．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； 9．（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； 10．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； 【专项训练】 一、单选题 1．在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 2．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 4．如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 5．已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 6．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 7．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 8．已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（    ） A．若，，，则 B．，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．在正方体中，下列选项中，正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C．二面角 的平面角为 D．与平面所成的角为 11．如图所示，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上异于A，的一点，，分别是点A在，上的投影，则（    ） A． B． C． D．平面 三、填空题 12．如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为 ． 13．如图，在四边形ABCD中，，，，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成四面体ABCD，在四面体ABCD的四个面中，与平面ADC垂直的平面为 写出满足条件的所有平面 14．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是PC上的一动点，当点满足 时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）    四、解答题 15．如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 16．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 19．在中，，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将翻折至的位置，使得平面平面ABE． (1)当时，证明：平面； (2)是否存在λ，使得DF与平面所成角的正弦值是?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 立体几何与空间向量 第5节 空间直线、平面的垂直 【知识梳理】 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. (2)范围：0°≤θ≤90°． 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【常用结论】 1．三垂线定理 平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 3．直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【解析】在正方体中，且平面， 又平面，所以，因为分别为的中点， 所以，所以，又， 所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则，， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量为，则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 二、解答题 2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 【解析】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面，故； 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； 【解析】（1）因为平面平面，所以，同理， 所以为直角三角形，又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，，所以平面. 4．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； 【解析】（1）证明：因为平面，平面,所以, 又因为，即，平面，, 所以平面，又因为平面, 所以平面平面. 5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； 【解析】（1）连接，设，则，，，则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 6．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； 【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 7．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； 【解析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． 8．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； 【解析】（1）由于，是的中点，所以. 由于，所以，所以，故， 由于，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面. 9．（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； 【解析】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为，所以四边形为等腰梯形， 所以，故，，所以， 所以，因为平面，平面， 所以，又，所以平面，又因为平面， 所以 10．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； 【解析】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【专项训练】 一、单选题 1．在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【解析】对于A：由正方体的性质可知， 显然，与不平行，所以与不平行，故A错误； 对于B：由正方体的性质可知，，所以， 由A可知与不平行，且、平面， 所以与不垂直，则与不垂直，故B错误； 对于C：设，则为的中点，连接，又为的中点， 所以，又平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D：若平面，平面，则， 又，所以，又四边形为矩形， 所以四边形为正方形，所以， 又为正方体，所以，显然不满足， 故假设不成立，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：C 2．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解析】在A中，，，，则与β相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与β相交或平行，故B错误； 在C中，，，则， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，，，，由面面平行的判定定理得，故D错误. 故选：C. 3．在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【解析】平面平面，又平面平面， 平面，，则平面， 又平面，故平面平面，取的中点，连接，如图所示， 平面平面，平面平面， 为等边三角形，则，故平面， 则直线AC与平面所成角即为， 令，则，，， 故.故选：A 4．如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【解析】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面，且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 5．已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【解析】由以及可得故,进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, ，故选：B 6．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 【解析】如图所示，因为平面，平面,所以，则是直角三角形，故，所以当时，最小，此时也最小． 由条件知，，则，故的最小值为， 又，则的最小值为． 故选：A. 7．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【解析】对于B，如图①，因为， 所以，又因为，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面，因为平面， 所以平面平面，故C正确; 对于D，如图②过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 显然平面，所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：D. 8．已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解析】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则，因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以，故选：B 二、多选题 9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（    ） A．若，，，则 B．，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【解析】A. 若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误； B.若，，则，又，所以，故B正确； C. 若，，则，又，所以，故C正确； D. 若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确. 故选：BCD 10．在正方体中，下列选项中，正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C．二面角 的平面角为 D．与平面所成的角为 【解析】对于A中，在正方体，可得， 在正方形中，可得，所以，所以A正确； 对于B中，在正方体，可得， 所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，即， 因为为等边三角形，所以，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，在等腰直角中，可得， 即二面角的大小为，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，所以，所以D错误. 故选：AB. 11．如图所示，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上异于A，的一点，，分别是点A在，上的投影，则（    ） A． B． C． D．平面 【解析】因为平面，平面，故， 又，平面，故平面， 又平面，从而，故C正确； 因为，平面，故平面， 又平面，所以，故A正确； 由选项A知，而，平面， 从而平面，又平面，故，故B正确； 由上面过程可知，与平面不垂直，故D不正确． 故选：ABC 三、填空题 12．如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为 ． 【解析】连接,由于直三棱柱中，平面，平面， 故,又,平面， 故平面,由于,所以平面, 故为与平面所成的角， 由于，所以, ，由于为锐角，所以 13．如图，在四边形ABCD中，，，，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成四面体ABCD，在四面体ABCD的四个面中，与平面ADC垂直的平面为 写出满足条件的所有平面 【解析】如图，在四边形ABCD中，，，，， 可得，即 平面平面BCD，且平面平面，，平面BCD， 平面ABD，平面ACD，则平面平面ABD； 又平面ABD，则， 又，，平面ADC，平面ADC， 平面ADC，又平面ABC，平面平面 假设平面平面BCD，，且平面平面，平面BCD， 平面ACD，平面ACD，则，与矛盾； 在四面体ABCD的四个面中，与平面ADC垂直的平面有：平面ABD，平面 故答案为：平面ABD，平面 14．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是PC上的一动点，当点满足 时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）    【解析】连接，    因为底面各边都相等，所以， 因为底面，底面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以当（或时，则PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有平面，而平面，平面平面． 故答案为：（或等）． 四、解答题 15．如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故,又底面，底面，故, 平面，故直线平面 （2）由，可得, 所以, 设到平面的距离为，则 16．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以，在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，又平面,故，因为，平面，故⊥平面． （2） 如图，取的中点为，连接，则， 则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直， 故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，． 由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量． 因，，则，， 设平面的法向量为，则， 故可取． 则平面与平面夹角的余弦值为． 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以，因为， 所以，所以平面平面． （2）由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 19．在中，，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将翻折至的位置，使得平面平面ABE． (1)当时，证明：平面； (2)是否存在λ，使得DF与平面所成角的正弦值是?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明  在中，，即， 则，取BF的中点N，连接CN交BE于点M，如图， 当时，F是AN的中点，而E是AC的中点， ∴EF是的中位线，∴．在中，N是BF的中点， ∴M是BE的中点，在中，， ∴，则． 又平面平面ABE，平面平面平面ABE， ∴平面DEB．又平面DEB，∴．而， 平面DEF，∴平面DEF． （2）假设存在λ，使得DF与平面ADE所成角的正弦值是． 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，∴， 取BE的中点G，连接DG，则，而平面平面ABC， 且平面平面， ∴平面ABC，则，则． 由，可得，则． 设平面ADE的法向量为，则即 则，令，所以， 设DF与平面ADE所成的角为θ，则，解得或(舍去)． 综上，存在，使得DF与平面ADE所成角的正弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$