专题1.2 空间向量基本定理9种常见考法归类-2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题1.2 空间向量基本定理9种常见考法归类（66题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量基本定理基底的判断 题型二 用基底表示空间向量 题型三 利用空间向量基本定理求参数 题型四 空间向量的正交分解 题型五 用向量法证明平行、共面问题 题型六 用基底法求空间向量的数量积 题型七 用向量法解决立体几何的垂直问题 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 题型九 用向量法解决立体几何的夹角问题 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 3．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 题型一 空间向量基本定理基底的判断 解题策略：1.正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2.基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 注：(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 1．【多选】（2024·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 2．【多选】（2024·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．【多选】（2024·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 5.【多选】（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 6.（2024·河北邯郸）设，，，且，，是空间的一个基底．给出下列向量组：①，，．②，，．③，，．④，，．其中可以作为空间的基底的向量组的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 7.（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 9.（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 10．（2024·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 题型二 用基底表示空间向量 解题策略：用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 注：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 11.（23-24高二上·天津·月考）如图，在三棱柱中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 14.（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 15．（2024·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 17．（2024·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 18.（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示） 20．（2024·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.    题型三 利用空间向量基本定理求参数 21.（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 22．（2024·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________． 24.（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 25．（2024·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 26．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 27．（2024·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______． 28．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 29．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 30．（2024·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______. 31.（2023·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______． 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型四 空间向量的正交分解 32.（23-24高二上·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 33.（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 34.（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 35.（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 题型五 用向量法证明平行、共面问题 解题策略：证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 36．（2024·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点． (1)试证：与，共面； (2)，，，试用基底{，，}表示向量． 38．（2024·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 39．（2024·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且 平面ABC，则实数________． 40．（2024·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 41．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 题型六 用基底法求空间向量的数量积 42．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 43．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________． 44．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型七 用向量法解决立体几何垂直问题 45.（23-24高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 46.（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 47.（22-23高二上·陕西榆林·月考）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：. 48.（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 49.（2024秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 50．【多选】（2024·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 51．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 52．（2024·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 53.（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体中，，，，. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 54.（2023·高一单元测试）如图，三棱柱中，，分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求的长． 55．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. (1)将空间向量与用表示出来； (2)求线段BM的长. 56．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设 （1）以为基底表示，则＝________； （2）若且则________. 57．（2024·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. 58.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 题型九 用向量法解决立体几何夹角问题 解题策略：利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 59．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________. 60．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 61.（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值． 62．（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 63．（2024·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 64．【多选】（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 65．（2024·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，. (1)用表示，并求的长； (2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值. 66．（2024·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题1.2 空间向量基本定理9种常见考法归类（66题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量基本定理基底的判断 题型二 用基底表示空间向量 题型三 利用空间向量基本定理求参数 题型四 空间向量的正交分解 题型五 用向量法证明平行、共面问题 题型六 用基底法求空间向量的数量积 题型七 用向量法解决立体几何的垂直问题 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 题型九 用向量法解决立体几何的夹角问题 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 3．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 题型一 空间向量基本定理基底的判断 解题策略：1.正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2.基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 注：(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 1．【多选】（2024·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 【答案】ABD 【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确； 因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 故选：ABD 2．【多选】（2024·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答. 【详解】构成空间的一个基底， 对于A，，因此，，共面，A正确； 对于B，，因此，，共面，B正确； 对于C，假定，，共面，则存在使得 ，而不共面，则，解得， 于是，共面，与不共面矛盾，因此，，不能共面，C错误； 对于D，，因此，，共面，D正确． 故选：ABD 3．【多选】（2024·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理判断即可. 【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误； 因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得， 若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确； 故选：ACD 4.（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量基底的意义判断即得. 【解答过程】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是； 假定向量与向量共面，显然不共线，即存在实数，使得， 即有，所以共面，与已知矛盾，因此向量与向量不共面， 所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错. 故选：C. 5.【多选】（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】如图所示，令，则，又， 由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面， 同理和也不共面. 故选：BCD 6.（2024·河北邯郸）设，，，且，，是空间的一个基底．给出下列向量组：①，，．②，，．③，，．④，，．其中可以作为空间的基底的向量组的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】，故共面，故不能作为空间向量的一组基底； 假设共面，则存在，，使得， 即， ，显然方程组无解，故假设不成立，故不共面， 可以作为空间向量的一组基底， 同理可得，，，，，均可作为空间向量的一组基底，故选：． 7.（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A 8．（2024·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 9.（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【解题思路】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【解答过程】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B. 10．（2024·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值. 【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：D. 题型二 用基底表示空间向量 解题策略：用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 注：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 11.（23-24高二上·天津·月考）如图，在三棱柱中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C 12．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】   如图所示，， 故选：C 13．（2024·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答. 【详解】在平行六面体中，M为与的交点， . 故选：B 14.（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 15．（2024·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】由题知，在正四面体中， 因为平面， 所以是的中心， 连接，则， 所以 .    故选：B 16．（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，    因为Q是的中点，所以， 因为M为PQ的中点，所以， 故选：A. 17．（2024·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又， 所以. 故选：D    18.（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， ，则， 由题设，， 所以. 故选：A 19．（2024·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意，为的重心，则， 所以 . 故答案为：    20．（2024·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.    【答案】 【分析】由已知得，，可得； 由可得可得答案. 【详解】由已知得，， 因为G是的重心，D为BC的中点， 所以，， 所以； 又因为H是的重心， 所以， . 题型三 利用空间向量基本定理求参数 21.（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案. 【详解】， 又，所以， 故. 故答案为：4 22．（2024·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答. 【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则， 于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足. 故选：A 23．（2024·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________． 【答案】 / / 【分析】用表示出，从而得出，的值． 【详解】由于， 所以，， 故答案为：；．    24.（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以，所以，所以 ， 所以， 故选：A. 25．（2024·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果. 【详解】根据向量加法法则可得：， 即， 因为， 所以，，， 所以，，，所以. 故选：B. 26．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解. 【详解】矩形中，,所以.      因为，所以. 因为,，所以. 所以. 所以，所以. 故选：A 27．（2024·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案. 【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以， 又，由空间向量基本定理可得，，故. 故答案为：. 28．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答. 【详解】正方体，点是上底面的中心，如图， 则， 不共面，又，于是得， 所以. 故选：C 29．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 30．（2024·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______. 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出. 【详解】因为，所以， 即，， 下面证明：已知，若三点共线，则， 因为三点共线，所以存在非零实数，使得， 即，整理得， 故，，所以， 因为三点共线， 故，解得：. 故答案为： 31.（2023·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______． 【答案】 【详解】因为 ， 所以． 故答案：. 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型四 空间向量的正交分解 32.（23-24高二上·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正交分解的概念，进行求解即可. 【解答过程】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 33.（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 34.（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标. 【解答过程】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 35.（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据 ，可得，从而求出答案. 【解答过程】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 题型五 用向量法证明平行、共面问题 解题策略：证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 36．（2024·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案. 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到， 则， 设，若点与点共面， 则， 只有选项中符合题意. 故选：. 37．（2024·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点． (1)试证：与，共面； (2)，，，试用基底{，，}表示向量． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量与，共面； （2）直接利用向量的加减法运算得答案． 【详解】（1）   证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF． ∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF． 又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF． ∴AD∥平面PEF． 同理可证，BC∥平面PEF． ∴向量与，共面. （2）解： . 38．（2024·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 【答案】证明见解析. 【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答. 【详解】在正方体中，令， ，BD与AC交于点M，即点M是的中点， 于是 ， ， 因此，即，而直线与直线有公共点， 所以三点共线. 39．（2024·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且 平面ABC，则实数________． 【答案】 /0.75 【分析】运用空间向量的线性运算法则，将 用基底 表示出来，延长OP与AM交于D，当 时， 平面ABC. 【详解】 由条件可知： ； 延长 与AM交于D，连接BD，则当 时， 平面ABC， 平面ABC， 平面ABC； 令 ，则有 ， ， 根据向量基底表示法的唯一性，有：  ，解得 ， ， . 故答案为：， 40．（2024·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 【答案】 【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度. 【详解】设，其中，， ， ， 因为平面，则、、共面，显然、不共线， 所以，存在、，使得， 即 ， 因为为空间中的一组基底，所以，，解得， 因此，. 故答案为：. 41．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 题型六 用基底法求空间向量的数量积 42．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积. 【详解】（1）； （2） . 43．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________． 【答案】/-0.5 【分析】，，两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算. 【详解】 根据题意ABCD为正四面体， ，，两两成角，, 由， ， 所以 ． 故答案为： 44．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果； （2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果. 【详解】（1）因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以， 所以； （2）由（1）得， 因为，， 所以 . 题型七 用向量法解决立体几何垂直问题 45.（23-24高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可. 【详解】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 46.（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】在空间四边形OABC中，令，则， 令，G是MN的中点，如图， 则，， 于是得 ， 因此，， 所以OG⊥BC. 47.（22-23高二上·陕西榆林·月考）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】由题意，连接，如下图： ， 同理， 故 由，，，，则， 故. 48.（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时， 【详解】（1）解：因为是中点，所以， 所以 ； （2）解：假设存在点，使，设，， 显然，， 因为，所以， 即， ，，， 即， 解得，所以当时，. 49.（2024秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 50．【多选】（2024·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断. 【详解】如图， 由题意得，， ， ， ， 对于选项A， 所以，即. 故选项A正确. 对于选项B， 故选项B正确. 对于选项C， 所以即 故选项C错误. 对于选项D， 故选项D错误. 故选：AB 题型八 用向量法解决立体几何的距离问题 51．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. 【详解】解：记，，， 由题意可知，， 所以， ， 所以，即的长为， 故选：D. 52．（2024·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长. 【详解】以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故选：C. 53.（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体中，，，，. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在四面体中，设，，，则，， ，，， . （2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图， 于是得， 因此 ，即有， 所以线段EF的长为. 54.（2023·高一单元测试）如图，三棱柱中，，分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， 即MN的长为. 55．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. (1)将空间向量与用表示出来； (2)求线段BM的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可； （2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果. 【详解】（1） （2）由题可知因为， 又因为， 所以. 易得， 所以， 所以，即的长为. 56．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设 （1）以为基底表示，则＝________； （2）若且则________. 【答案】 【分析】利用空间向量的加减法运算和基底的定义表示，再根据向量的数量积的运算律求解. 【详解】(1) . (2) ，所以， 故答案为: ，. 57．（2024·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. 【答案】 【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案. 【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即. 因为，为对角线的中点，所以. 因为为对角线靠近点的三等分点，所以， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以线段. 故答案为：. 58.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模和数量积的运算律即可得解； （2）先将用表示，根据，可得，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）， 因为， 所以， 则 ， 所以的长为； （2）， 因为，所以， 即，即，解得. 题型九 用向量法解决立体几何夹角问题 解题策略：利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 59．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值. 【详解】由题设，可得如下示意图，    ∴， 设，则，又， 所以，，， 所以以 . ， 所以 故答案为：. 60．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解. 【详解】设，，， 因为向量不共面，故可构成空间的一组基底， 结合，，，，， 所以=0，，， 则，， 可得 ， ， ， 所以， 又因为异面直线所成角的范围是， 所以与所成角的余弦值为. 故选：B. 61.（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求与的夹角的余弦值． 【答案】 【详解】设，，， 由已知可得. 因为， ， 所以，， ， ， 所以，， 所以，， 故直线与的夹角的余弦值为. 62．（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 【答案】 【分析】以为基底，，即可求解. 【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则 , 所以 ， 所以, 故答案为： 63．（2024·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到，即可证得； （2）根据平面向量转化基底，求出、、，再利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵，， ∴ ， ， ， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 64．【多选】（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角. 【详解】 不妨设，则，且， ， 所以， 因为，且， 所以 ，则， 所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为 故选：BC 65．（2024·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，. (1)用表示，并求的长； (2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解； （2）用表示，计算，由向量法求异面直线所成的角． 【详解】（1）， ， ， ， 即，解得； （2）由（1）知 设异面直线与所成角为，则. 66．（2024·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答. （2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答. 【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 因为，，且， 则， ， 所以 . （2）由（1）知，，则， 又，所以向量与夹角的余弦值. $$