第1章有理数 全章复习（教学课件）（3个考点+4个易错+10个技巧总结)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024）

全章复习（3个考点+4个易错+10个技巧总结） 浙教版（2024） 七年级数学上册 第一章 有理数 目录/CONTENTS 易错易混 考点梳理 知识导图 技巧总结 知识导图 考点一：有理数的概念及分类 1. 下列各数中：5，－ ，－3，0，－25.8，＋2，负数有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 考点梳理 2. [2024·杭州上城区月考]下列说法正确的是(　D　) A. 整数分为正整数和负整数 B. 正分数、负分数统称有理数 C. 零既可以是正整数，也可以是负整数 D. 所有的分数都是有理数 D 3. [立德树人·深海科技]近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10 907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇升空高度至海拔9 050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录.如果把海平面以上9 050米记作“＋9 050米”，那么海平面以下10 907米记作 ⁠ ⁠. －10 907米 4. 把下列各数写在相应的横线上： －5，10，－4 ，0，＋2 ，－2.15，0.01，＋66，－ ，15％， ，2 019，－16. 正整数： ；负数： ； 负分数： ⁠；既不是正数又不是负数： ⁠. 10，＋66，2 019　 －5，－4 ，－2.15，－ ，－16　 －4 ，－2.15，－ 　 0　 考点二：数轴、相反数、绝对值的相关问题 5. 下列各对数中，互为相反数的是(　D　) A. －(－2)和2 B. ＋(－3)和－(＋3) C. 和－2 D. －5和｜－5｜ D 6. 下列说法正确的有(　C　) ①a的相反数是－a；②所有的有理数都能用数轴上的点表示； ③－1的绝对值等于它的相反数. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 C 7. 数轴上将一个点从点A处先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度，到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是(　D　) A. 4 B. 3 C. －3 D. －2 D 8. 如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示－3的点与表示1的点重合，则与表示－5的点重合的点表示的数是(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. －1 A 9. [立德树人·低碳环保]近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加.小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程(如下表).以40 km为标准，多于40 km的记为正数，不足40 km的记为负数. 第一 天 第二 天 第三 天 第四 天 第五 天 第六 天 第七 天 路程/km －6 －5 ＋8 ＋2 －5 ＋11 ＋15 (1)请求出小明家的新能源纯电汽车这7天一共行驶了多少千米. 【解】由题意，得这7天行驶路程分别为(单位：km)： 34，35，48，42，35，51，55. 34＋35＋48＋42＋35＋51＋55＝300(km). 答：小明家的新能源纯电汽车这7天一共行驶了300 km. (2)已知小明家原来的汽油车每行驶100 km需用汽油5.5升，汽油价为8.2元/升，而新换的新能源纯电汽车每行驶100 km耗电量为15度，每度电为0.56元，小明家换成新能源纯电汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【解】用汽油的费用： ×5.5×8.2＝135.3(元)， 用电的费用： ×15×0.56＝25.2(元)， 135.3－25.2＝110.1(元). 答：小明家换成新能源纯电汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元. 10. 已知a是最小的正整数，b是－7的相反数，c＝－｜－2｜，且a，b，c的对应点分别是A，B，C. (1)a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. (2)数轴上A和B两点之间的距离是 ，B和C两点之间的距离是 ⁠. (3)如果表示数m的点和点A之间的距离是3，那么m＝ ⁠. 1　 7　 －2　 6　 9　 －2或4　 (4)若数轴上表示数n的点位于A与C之间，求｜n－ (－2)｜＋｜n－1｜的值. 【解】因为｜n－(－2)｜＋｜n－1｜可以理解为表示n的点到表示－2的点和表示1的点的距离之和，－2＜n＜1， 所以｜n－(－2)｜＋｜n－1｜＝2＋1＝3. 考点三：有理数的大小比较 11. 下列有理数的大小关系正确的是(　D　) A. －1＞－0.01 B. 0＞｜－10｜ D C. ｜－3｜＜｜＋3｜ D. － ＞－ 12. 在数轴上表示数3，－｜3.5｜，2 ，0，－ ，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”连接. 【解】－｜3.5｜＝－3.5， 如图， 故－｜3.5｜＜－ ＜0＜2 ＜3. 13. [2023·杭州拱墅区月考]已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点. (1)请在数轴上表示出数－a，－b对应的点的位置； 【解】在数轴上表示出数－a，－b对应的点的位置如图所示： (2)请按从小到大的顺序排列a，－a，－b，b，－1，0的大小. 【解】a＜－b＜－1＜0＜b＜－a. 14. [新考法·分类讨论法]我们已经学过：当a≥0时，｜a｜＝a；当a＜0时， ｜a｜＝－a，这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想，请解答下列问题： (1)比较大小：｜－7｜ 7，｜3｜ －3(填“＞”“＜”或“＝”)； ＝　 ＞　 (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析｜a｜与－a的大小关系. 【解】当a＞0时，｜a｜＝a＞－a， 当a＝0时，｜a｜＝－a＝0， 当a＜0时，｜a｜＝－a. 易错点一 对有理数的相关概念理解有误而出错 例 1.下列说法正确的是（ ） A.正数和负数统称为有理数 B.符号不同的两个数互为相反数 C.绝对值等于本身的数只有正数 D.互为倒数的两个数的乘积等于1 错解剖析： 对有理数的相关概念的辨析： 1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误； 2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误. D 易错易混 易错点二 数的正负性不确定而漏解 例 2. 已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 易错点三 数轴上点的位置不确定而漏解 例 3.在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 正解： 当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时， -3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时， -3-10=-13. 故答案为7 或-13. 错解剖析： 在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 易错点四 数轴上点的位置不确定而漏解 例 4.某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？ 正解： （2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 = 66（km）， 66×0.06 =3.96（L） 即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L. 错解剖析: 出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向 题型一：利用数轴比较大小 【例1】有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是(　B　) B A. a＞0 B. ｜b｜＝｜c｜ C. a＜－d D. a＞c 技巧总结 技巧总结：利用数轴比较大小时，通过数形结合的方式，观察有理数对应的点在数轴上的位置，确定有理数a，b，c，d的大小关系，再判断各选项是否正确. 【变式1】有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则a、－a、｜b｜的大小关系为(　B　) A. －a＜a＜｜b｜ B. a＜－a＜｜b｜ C. ｜b｜＜a＜－a D. a＜｜b｜＜－a B 题型二:利用数轴求点表示的数 【例2】在数轴上，点A表示的数为－2，则到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数为(　C　) C A. 2 B. －6 C. 2或－6 D. －4或4 技巧总结：已知一个点的位置和两个点之间的距离时，另一个点的位置可能在该点的左边，也可能在该点的右边，需分类讨论. 【变式2】如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？ 【解】移动后，点B表示的数为－6，因为－6＜－3＜2，所以点B表示的数最小，是－6. (2)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？ 【解】移动后，点C表示的数为－4，所以点B表示的数比点C表示的数大2. (3)怎样移动A，B，C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？ 【解】有三种移法：①点A向右移动1个单位长度，点C向左移动4个单位长度；②点A向右移动5个单位长度，点B向右移动4个单位长度；③点B向左移动1个单位长度，点C向左移动5个单位长度. 题型三： 绝对值与相反数的综合应用 【例3】已知｜a－6｜＋｜b－3｜＝0，x的相反数为－3，求3x＋a＋2b的值. 【解】因为｜a－6｜＋｜b－3｜＝0， 且｜a－6｜≥0，｜b－3｜≥0， 所以a－6＝0，b－3＝0，解得a＝6，b＝3. 因为x的相反数为－3， 所以x＝3. 所以3x＋a＋2b＝3×3＋6＋2×3＝9＋6＋6＝21. 技巧总结：利用绝对值的非负性和相反数的概念进行解答. 【变式3】已知｜a－3｜＋｜2b－4｜＝0. (1)求a与b的值； 【解】因为｜a－3｜＋｜2b－4｜＝0. 所以a－3＝0，2b－4＝0，解得a＝3，b＝2. (2)若｜x｜＝2a＋4b，求x的相反数. 【解】因为a＝3，b＝2， 所以｜x｜＝2a＋4b＝2×3＋4×2＝14.所以x＝±14. 当x＝14时，x的相反数为－14； 当x＝－14时，x的相反数为14. 题型四：利用绝对值解决实际问题 【例4】正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定.下面是6个足球的质量检测结果(用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.单位：g)： －25，＋10，－20，＋30，＋15，－40. 请指出哪个足球的质量最好，并用绝对值知识进行说明. 【解】质量检测结果是＋10 g的足球质量最好.因为｜－25｜＝25，｜＋10｜＝10， ｜－20｜＝20，｜＋30｜＝30，｜＋15｜＝15，｜－40｜＝40，且10＜15＜20＜25＜30＜40 ，所以｜＋10｜＜｜＋15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜＋30｜＜｜－40｜. 所以质量检测结果是＋10 g的足球质量最好. 技巧总结：本题用绝对值的大小表示足球质量与规定质量的接近程度.由绝对值的几何意义可知，一个数的绝对值越小，距离原点越近.在这个实际问题中，绝对值越小表示足球质量与规定质量的偏差越小. 【变式4】[情境题 生活应用] 某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 直径/mm ＋0.5 －0.3 ＋0.1 0 －0.1 ＋0.2 (1)找出哪件橡胶垫的质量最好，怎样用学过的绝对值知识来说明这件橡胶垫的质量最好？ 【解】编号为4的橡胶垫的质量最好.因为｜＋0.5｜＝0.5，｜－0.3｜＝0.3， ｜＋0.1｜＝0.1，｜0｜＝0，｜－0.1｜＝0.1，｜＋0.2｜＝0.2. 且0＜0.1＝0.1＜0.2＜0.3＜0.5， 所以｜0｜＜｜＋0.1｜＝｜－0.1｜＜｜＋0.2｜＜｜－0.3｜＜｜＋0.5｜. 所以编号为4的橡胶垫的质量最好. (2)如果规定与标准直径相差不大于0.2 mm的为合格产品，那么6件产品中有几件不合格产品？ 【解】因为｜＋0.5｜＝0.5＞0.2，｜－0.3｜＝0.3＞0.2， ｜＋0.1｜＝0.1＜0.2，｜0｜＝0＜0.2，｜－0.1｜＝0.1＜0.2， ｜＋0.2｜＝0.2， 所以有2件不合格产品. 题型五： 凑数法 【例5】阅读下面的解题过程并解决问题. 计算：5 －(－8)＋(－31)－ －19＋31. 解：原式＝5 ＋8－31＋4 －19＋31(第一步) ＝ ＋(－31＋31)＋(8－19)(第二步) ＝10＋0－11(第三步) ＝－1. (1)在计算过程中，第二步应用了 ⁠，目的是简便计算； 加法交换律和加法结合律 (2)请根据以上的解题技巧计算：－0.5－2＋ ＋(－1.75)－ －18. 【解】－0.5－2＋ ＋(－1.75)－ －18 ＝－0.5－2－3 －1.75＋5 －18 ＝ ＋ ＋(－2－18) ＝5－5－20＝－20. 技巧总结：将相加可得整数的数凑整计算，将相加得零的数(如互为相反数)结合计算. 【变式5】计算： ＋5 ＋ －9 . 【解】原式＝( － －9 )＋( 5 －4 ) ＝－10＋1 ＝－9. 题型六: 巧用运算律 【例6】 计算：2 ×1 ＋2.6÷ － × . 【解】原式＝ × ＋ × － × ＝ × ＝ ×2＝ . 【变式6】计算： (1)(－999)×12； 【解】原式＝(1－1 000)×12 ＝1×12－1 000×12 ＝12－12 000 ＝－11 988. (2)999×118 ＋333× －999×18 . 【解】原式＝999×118 ＋999× －999×18 ＝999×(118 － －18 ) ＝999×100 ＝99 900. 题型七：拆项法 【例7】计算：－88 ＋ ＋166 ＋ . 【解】原式＝ ＋ ＋(166＋ )＋ ＝(－88－77＋166－1)＋(－ － － )＝0＋ ＝－1 . 技巧总结：将一个数拆分成两个或两个以上数的和的形式，再利用加法交换律和加法结合律使计算变得简便. 【变式7】 计算：9 ＋99 ＋999 ＋9 999 ＋99 999 . 【解】原式＝9＋ ＋99＋ ＋999＋ ＋9 999＋ ＋99 999＋ ＝10＋100＋1 000＋10 000＋100 000－5＋ ×5 ＝111 109. 题型八: 组合法 【例8】 计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99. 【解】原式＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(97－99) ＝(－2)×25 ＝－50. 技巧总结：找出规律，将数分组.分组时，一般会使每组的结果相同或为0，从而使计算简便. 【变式8】计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋2 021－2 022－2 023＋2 024. 【解】原式＝(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(2 021－2 022－2 023＋2 024) ＝0＋0＋…＋0＝0. 题型九：裂项相消法 【例9】阅读材料，回答下列问题. 通过计算容易发现： ① － ＝ × ；② － ＝ × ； ③ － ＝ × ； (1)观察上面三个算式，请写出一个类似的算式： ⁠ ⁠； (答案不唯一) － ＝ × 　 (2)计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ . 【解】原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＝1－ ＝ . 技巧总结：当一个分数的分母是两个自然数的积，而分子又是这两个自然数的差时，可以将这个分数分解成两个分数的差，这两个分数的分母分别是这两个自然数. 【变式9】观察下列等式： 第1个等式： ＝ × ；第2个等式： ＝ × ； 第3个等式： ＝ × .请解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式： ⁠； (2)利用以上规律可得 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠； ＝ × 　 　 (3)计算： ＋ ＋ ＋…＋ . 【解】原式＝ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ) ＝ × ＝ × ＝ . 题型十：倒数法 【例10】请你认真阅读下列材料： 计算： ÷ . 将原式的除数与被除数互换，得 ÷ ＝( － ＋ － )×(－30) ＝－20＋3－5＋12＝－10， 故原式＝－ . 根据你对所提供的材料的理解，选择适当的方法计算下面的算式： ÷ . 【解】将原式的除数与被除数互换，得 　 ÷ ＝ ×(－42) ＝7＋9－28＋24＝12， 则原式＝ . 技巧总结：将原式的除数与被除数互换，根据乘法分配律求出值，然后求倒数确定出原式的值. ÷ . 【变式10】 计算： ÷ . 【解】将原式的除数与被除数互换，得 　 ÷ ＝ ×(－56) ＝ ×(－56) ＝－8－7＋46＝31， 则原式＝ . $$