精品解析：四川省凉山州宁南中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

宁南中学 2024-2025 学年度上学期高二 2026 届入学考试 数学 一、单选题 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知三条不同的直线与三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 4. 下面选项中方差最大的是（ ） A. 8，8，8，8，8，8，8，8，8 B. 6，6，6，5，5，5，4，4，4 C. 7，7，6，6，5，4，4，3，3 D. 8，8，8，8，5，2，2，2，2 5. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取，，） A. 56米 B. 69米 C. 71米 D. 73米 8. 在直三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥 10. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若，则 D. 函数的图象关于点成中心对称 11. 如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 与平面所成角为 D. 球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 三、填空题 12. 若角α的终边上有一点，则______． 13. 已知向量与的夹角为，，，则向量与向量的夹角=____________. 14. 现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和不全被选中的概率为______________. 四、解答题 15. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？ 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求三棱锥的体积. 18. 已知函数. （1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象，并写出图象的对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，若函数经过点，求的值. 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁南中学 2024-2025 学年度上学期高二 2026 届入学考试 数学 一、单选题 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的除法运算化简，进而可得在复平面对应的点为. 【详解】由得，故在复平面对应的点为，该点在第三象限. 故选：C 2. 已知平面向量，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，根据向量乘法坐标公式列出方程可求解. 【详解】根据题意知，则， 解之可得. 故选：B 3. 已知三条不同的直线与三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行、面面垂直和线面垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，由线面平行的性质可知：若，，，则，A正确； 对于B，若，，则或，B错误； 对于C，若，，则或与相交，C错误； 对于D，若，，，，当与相交时，；当时，与未必垂直，D错误. 故选：A. 4. 下面选项中方差最大的是（ ） A. 8，8，8，8，8，8，8，8，8 B. 6，6，6，5，5，5，4，4，4 C. 7，7，6，6，5，4，4，3，3 D. 8，8，8，8，5，2，2，2，2 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差公式求出各选项方差即可. 【详解】对于A：， 对于B： ； 对于C： ； 对于D： ； 故选：D. 5. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆台的表面积公式求解即可. 【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台， 则该圆台的表面积. 故选：C. 6. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向量，所以， 又在方向上的投影向量为，所以， 所以. 故选：D 7. 位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取，，） A. 56米 B. 69米 C. 71米 D. 73米 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，从而可得结论. 【详解】由余弦定理可得． 依题意得，则， 所以， 则， 故佛像全身高度约为71米． 故选：C. 8. 在直三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、交于，取的中点，连、，可得（或其补角是直线与所成的角），计算可得答案. 【详解】连接、交于，取的中点，连、， 则，则或其补角是直线与所成的角， 在直三棱柱中，，因为，， 所以，， 在直三棱柱中，，因为，， 所以，， 因为，所以，， 在中，. 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】列举法表示，再逐项分析判断即得. 【详解】{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，{(正,正),(正,反)}，{(正,正),(反,正)}，{(正,正)}， 对于A，{(正,正),(正,反),(反,正)}，，A错误； 对于B，{(正,正)}，，B正确； 对于C，{(正,正)}，， 与相互独立，C正确； 对于D，{(反,正),(反,反)}，与不可能同时发生，因此与互斥，D正确. 故选：BCD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若，则 D. 函数的图象关于点成中心对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的部分图象得到，再逐项判断. 【详解】解：由函数的部分图象知： ，则，， 所以，又点在图像上， 则，即， 因为，所以，故A正确； 则，因为，所以，故B错误； 因为，所以，，则，故C错误； 又，所以函数的图象关于点成中心对称，故D正确； 故选：AD 11. 如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 与平面所成角为 D. 球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，将展开图还原成正方体，然后逐一判断即可得到结果. 【详解】 将题中的展开图还原成正方体的图形，如图所示， 连接，显然与是异面直线，故A正确； 连接，显然，故B正确； 连接相交于，因为平面，且平面， 所以，又因为，且，平面， 所以平面，则与平面所成角为， 又因为，，, 所以，即，故C错误； 与正方体的六个面均相切的圆的半径为，则体积为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12. 若角α的终边上有一点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解. 【详解】由题意得，故. 故答案为： 13. 已知向量与的夹角为，，，则向量与向量的夹角=____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的公式求解即可. 【详解】由题意； ； ，故， 由于，故. 故答案为： 14. 现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和不全被选中的概率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 列出从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名所有样本点，求出满足事件的样本点个数，即可求出结论. 【详解】从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名， 所有可能的结果组成的12个样本点为， ，，，， ，，，， ，，. “和全被选中”有2个样本点，， “和不全被选中”为事件共有10个样本点，概率为. 故答案为:. 【点睛】本题考查古典概型的概率，列举样本点是解题的关键，属于基础题. 四、解答题 15. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？ 【答案】（1），83.5kg （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 方法1：依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在，设为， 则，解得． 所以，每天应该进苹果． 方法2：依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明：，连接， 因为E为中点，O为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 证明：连接，因为，O为中点，所以， 又底面为菱形，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （3）4 【解析】 【分析】（1）连结，由E为中点和O为中点得，再由线面平行判定定理即可得证平面. （2）先由题意得以及，进而推出平面，再结合面面垂直判定定理即可得证平面平面. （3）先由题意求证面，进而由E为中点得到底面的距离为并求出，再由已知和锥体体积公式结合等体积法即可求解. 【小问1详解】 ，连接， 因为E为中点，O为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为，O为中点，所以， 又底面为菱形，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 由（2）得，若，则由O为中点可得， 而平面，所以面， 因为E为中点，所以到底面的距离为， 因为底面是边长为4的菱形，， 所以是边长为4的正三角形，则，， 所以， 所以. 18. 已知函数. （1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象，并写出图象的对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，若函数经过点，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数用辅助角公式进行化简，然后根据“五点作图法”作图即可；令整体即可求出对称中心的横坐标，纵坐标为1； （2）先根据题意求出的图象，再依题意计算即可. 【小问1详解】 因为，所以 0 1 1 3 函数的图象如图所示 令,则, 所以的对称中心为 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位，得到函数 再向下平移1个单位，得到函数 然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数 因为函数经过点所以即 因为，所以因为所以 所以 所以 . 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示 由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $