第07讲 等腰三角形（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第07讲 等腰三角形（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2023秋•奉化区校级期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是　　 A．15 B．12 C．12或15 D．9 2．（2023秋•义乌市校级月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若的周长等于7，则的长为　　． 3．（2023秋•萧山区校级月考）已知中，为边上一点，． （1）试说明； （2）过点作的平行线交的延长线于点，若，求证：平分． 题型二、等边对等角 4．等腰三角形的一个外角度数为，则其顶角的度数是 ． 5若，则（    ）° A．66 B．92 C．96 D．98 6．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 题型三、根据等边对等角证明 7．如图，在中，，点在边上，的中垂线交于点，若，，则等于（    ）    A．3 B．4 C． D．6 8．如图，点P为内部一点，使得，，且，求的度数是 ．    9．已知中，D为边上一点，． (1)试说明； (2)过点B作的平行线交的延长线于点E，若，求证：平分． 题型四、等腰三角形的定义 10．如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是 ． 12．如图，的三个顶点均在小方格的顶点上．请在图中画出符合条件的三角形，且三角形的顶点均在小方格的顶点上．    (1)在图1中画，要求与全等． (2)在图2中画等腰，要求与面积相等． 分层练习 一、单选题 1．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知一等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．22 4．如图，在中，，作高线，角平分线，中线，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　）    A．一定为等腰三角形 B．一定为等腰三角形 C．一定为等腰三角形 D．一定为等腰三角形 5．数学课上有这样一道作图问题：如图1，P，Q是直线l同侧的两点，请你在直线l上确定一点R，使的周长最小．小明的作法如图2： （1）作点Q关于直线l的对称点； （2）连结交直线l于点R； （3）连结，那么点R就是使的周长最小的点． 小明的作法运用了我们学过的定理，在下列四个定理中，小明没有运用到的是（    ） A．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 B．等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线 C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D．两点之间，线段最短 6．如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点D是等腰的边上的一点，过点B作于点E，连接，若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在一块含45°的三角板（∠ABC＝90°）右侧作以AC为斜边的Rt△ACD，过点B作AC的垂线，分别交AC、AD于点E、F，连接DE．设∠BFD＝α，∠BED＝β，则（      ） A．3α＋2β＝600° B．3α－2β＝90° C．2α－β＝90° D．2α＋β＝360° 二、填空题 11．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是 ． 12．如图，，，于，则 ． 13．如图，等腰中，，是的平分线，，则的长为 ．    14．如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E，连接，若，，则的度数 ．    15．如图，等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别为腰AC，BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围是 ． 16．如图，在中，，是中点，点、、是线段上的三个点，若，则图中阴影部分的总面积为 ． 三、解答题 17．如图所示，在钝角中，为最长边．在边上找一点D，连接，使为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹，画出所有的情况）． 18．如图所示，在中，，点是上一点，于点， (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，证明． 19．如图，，分别是的中线和角平分线，． (1)若的面积是20，且，求的长． (2)若，求的度数． 20．如图，与中，与交于点，，． (1)求证：； (2)当，求的度数． 21．如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，，点D在边上，，交于点F． (1)求证：； (2)求证：平分． 23．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，，求长． 24．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图1中画出以BC为一边，面积为12的等腰三角形． (2)在图2中画出△ABC的角平分线BE．（△ABC的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 等腰三角形（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2023秋•奉化区校级期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是　　 A．15 B．12 C．12或15 D．9 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 2．（2023秋•义乌市校级月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若的周长等于7，则的长为　1　． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出的长，即可得出答案． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，的周长等于7， ， ， ， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，得出的长是解题关键． 3．（2023秋•萧山区校级月考）已知中，为边上一点，． （1）试说明； （2）过点作的平行线交的延长线于点，若，求证：平分． 【分析】（1）由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到，即可推出． （2）由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，，得到，即可证明平分． 【解答】（1）解：， ，， ， ． （2）证明：， ， ， ，， ， 平分． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，，由三角形外角的性质得到；由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，． 题型二、等边对等角 4．等腰三角形的一个外角度数为，则其顶角的度数是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出 的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键． 三角形内角与相邻的外角和为，三角形内角和为，等腰三角形两底角相等，只可能是顶角． 【详解】解：等腰三角形一个外角为 ，那相邻的内角为 ，三角形内角和为，如果这个内角为底角，内角和将超过，所以只可能是顶角． 故答案为： ． 5若，则（    ）° A．66 B．92 C．96 D．98 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即，同理得出，因为，运用平角性质算出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 【详解】解：， ， 如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， 故选：B． 6．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答 (2)的度数是 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证； （2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，D是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数是． 题型三、根据等边对等角证明 7．如图，在中，，点在边上，的中垂线交于点，若，，则等于（    ）    A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据等边对等角证明 【分析】根据等腰三角形的性质得到，推出，根据线段垂直平分线的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质得到，由，即可得到结论． 【详解】解：， ， ，，， ， 的中垂线交于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ∵，即， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．如图，点P为内部一点，使得，，且，求的度数是 ．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】作辅助线，在的延长线上截取，连，，延长交于，交于，则可证得，则为的垂直平分线，结合可得，，可得平分，进一步可求出的度数． 【详解】解：在的延长线上截取，连，，延长交于，交于，    ∴， 在和中， ， 则， 垂直平分，， ， ，， 垂直平分， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形“三线合一”的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 9．已知中，D为边上一点，． (1)试说明； (2)过点B作的平行线交的延长线于点E，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、根据等边对等角证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． （1）根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据平行线性质得出，，说明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分． 题型四、等腰三角形的定义 10．如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形的定义可得或，然后根据三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴可有或， 当时，的三边长分别为2，2，3，符合题意； 当时，的三边长分别为2，2，4， ∵， ∴不能构成三角形，不符合题意． 综上所述，对角线的长为3． 故选：B． 11．已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是 ． 【答案】/40度 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和．分100°角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是， ∴这个角是顶角时， ∴底角的度数是， 当这个角是底角时， 则，不能构成三角形； 故答案为：． 12．如图，的三个顶点均在小方格的顶点上．请在图中画出符合条件的三角形，且三角形的顶点均在小方格的顶点上．    (1)在图1中画，要求与全等． (2)在图2中画等腰，要求与面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、等腰三角形的定义、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查全等三角形的作图，等腰三角形作图，掌握作全等三角形需满足的条件是解题关键． （1）以为公共边，结合“”所需条件作图即可； （2）利用等底等高的两个三角形面积相等进行等面积变形作图． 【详解】（1）如图，即为所作；    （2）如图，即为所作；    分层练习 一、单选题 1．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 【详解】解：当这个内角就是底角时，它的底角为； 当这个内角是顶角时，则它的底角为：； 故选C． 2．如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵，D为中点， ∴， 故选：D． 3．已知一等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分情况讨论并利用三角形的三边关系是解题的关键； 根据腰为4或8分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：若4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、8，，不能组成三角形， 若4是底边长，则三角形的三边分别为4、8、8，，能组成三角形，周长， 综上所述，三角形的周长为20． 故选：B． 4．如图，在中，，作高线，角平分线，中线，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　）    A．一定为等腰三角形 B．一定为等腰三角形 C．一定为等腰三角形 D．一定为等腰三角形 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义．根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得，，推出，即可判断选项D符合题意． 【详解】解：∵是高线， ∴， 若为等腰三角形，则， ∴， 而题设中并不一定是，故选项A不符合题意； ∵， 若为等腰三角形，则， ∴， ∵角平分线， ∴，， ∴， ∴， 而题设中并不一定是，故选项B不符合题意； 同理选项C不符合题意； ∵，中线， ∴， ∵角平分线，是高线， ∴，， 即， ∴， ∴一定为等腰三角形，故选项D符合题意．    故选：D． 5．数学课上有这样一道作图问题：如图1，P，Q是直线l同侧的两点，请你在直线l上确定一点R，使的周长最小．小明的作法如图2： （1）作点Q关于直线l的对称点； （2）连结交直线l于点R； （3）连结，那么点R就是使的周长最小的点． 小明的作法运用了我们学过的定理，在下列四个定理中，小明没有运用到的是（    ） A．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 B．等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线 C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，直线l垂直平分线段， ∴， ∴的周长， 根据两点之间线段最短得：此时的周长最小， 故选项A，C，D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A、根据等边对等角即可得出；B、利用角平分线及三角形外角的定义即可证明；C、利用垂直平分线的性质及三角形外角的性质即可证明；D、由作图方法无法得出相应结果． 【详解】解：A、由作图得，， ∴，不符合题意； B、由作图得，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； C、由作图得，， ∴， ∴，不符合题意； D、由作图无法得出， ∴不一定成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线及垂直平分线的性质，等边对等角的性质及三角形外角的定义，理解题干中的作图方法是解题关键． 7．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 8．如图，点D是等腰的边上的一点，过点B作于点E，连接，若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形吗，三角形的面积，过作于，由是等腰直角三角形， 得到， 由余角的性质推出， 由推出， 得到，即可求出面积 【详解】解：过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故选：B． 9．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①正确．证明△FBD≌△NAD（ASA）即可判断． ②错误，根据AB＞BM，对应边不相等，即可判断． ③正确．根据等腰三角形的性质得BD＝CD，由直角三角形斜边上的中线即可判断． ④正确，证明AF＝CN，AE＝AF即可判断． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝BD＝CD，③正确； ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE， ∵M为EF的中点， ∴AM⊥BE， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故①正确； ∵AM⊥BE， ∴AB＞BM， ∴△ABE与△MBN显然不全等，故②错误， ∵AD⊥BC，AD＝CD， ∴∠CAD＝45°， ∵AF＝AE， ∴∠CAN＝22.5°， ∴∠ABF＝∠CAN， 在△AFB和△△CNA中， ， ∴△AFB≌△CAN（SAS）， ∴AF＝CN， ∵AF＝AE， ∴AE＝CN，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键． 10．如图，在一块含45°的三角板（∠ABC＝90°）右侧作以AC为斜边的Rt△ACD，过点B作AC的垂线，分别交AC、AD于点E、F，连接DE．设∠BFD＝α，∠BED＝β，则（      ） A．3α＋2β＝600° B．3α－2β＝90° C．2α－β＝90° D．2α＋β＝360° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质证得AE=EС=ED，得到∠ ECD =∠EDC，∠EAF=∠ADE，利用三角形外角性质得到∠EAF=α-90 °，再由∠BED=β=∠BEC+∠CED整理可得2α－β＝90°． 【详解】∵△ABC是含45°的三角板，∠ABC= 90°，BA = BC， ∵BE⊥AC， ∴AE = СЕ， ∵∠ADC=90°， ∴AE=EС=ED， ∴∠ ECD =∠EDC，∠EAF=∠ADE， ∵∠BFD=α=∠EAF+ ∠AEF=∠EAF+ 90°， ∴∠EAF=α-90 °， ∴∠BED=β=∠BEC+∠CED = 90°+ 2∠EAF = 90°+2(α- 90°) = 2α– 90°， ∴2α- β= 90°， 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形外角性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题 11．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为3和腰长为7两种情况结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则此时三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则此时三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴它的周长为， 故答案为：17． 12．如图，，，于，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一，据此即可求解． 【详解】解：∵，，于， ∴． 故答案为：3． 13．如图，等腰中，，是的平分线，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可解答． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E，连接，若，，则的度数 ．    【答案】 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求的度数，根据线段垂直平分线的性质可证得，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，证明掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 15．如图，等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别为腰AC，BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，分别交AC、BC于M、N，证明DE=DF，当DE、DF与边垂直时和最小，当E或F有一个与C重合时，其和最大． 【详解】如图所示， 过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，分别交AC、BC于M、N， ∵△ABC是等腰三角形，点D是AB的中点， ∴DM= DN，又DE⊥DF， ∴∠EDM=∠FDN， 在△EDM和△FDN中 ∴≌(ASA), ∴DE=DF， 在中， ∵AB=10， ∴AC=BC=， 当DE、DF与边垂直时和最小，即 , 当E或F有一个与C重合时，其和最大，即 , ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，垂线段最短等，能灵活证明三角形全等，判断出DE+DF什么情况下和最大，最小是解题的关键． 16．如图，在中，，是中点，点、、是线段上的三个点，若，则图中阴影部分的总面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质证明、是解题关键．首先根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，即是线段的垂直平分线，进而可得，，，然后利用“”证明，由全等三角形的性质可得，同理可得，然后计算阴影部分的总面积即可． 【详解】解：∵，是中点，， ∴，，即是线段的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，则， ∴ ． 故答案为：9． 三、解答题 17．如图所示，在钝角中，为最长边．在边上找一点D，连接，使为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹，画出所有的情况）． 【答案】图见解析 【分析】本题考查基本作图—作垂线，作线段．分两种情况：①作线段的中垂线，交于点，连接即为所求；②以点为圆心，的长为半径，画弧，交于点即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 由作图可知：点是中垂线上一点， ∴， ∴为等腰三角形． 由作图可知：， ∴为等腰三角形． 18．如图所示，在中，，点是上一点，于点， (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据垂直的定义和三角形外角的性质求出，进而根据等边对等角求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可； （2）根据三线合一定理证明，即，即可利用同角的余角相等进行证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的中点，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 19．如图，，分别是的中线和角平分线，． (1)若的面积是20，且，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【详解】（1）解：是的中线，． ， 的面积是20，且， ， ， ； （2）是的中线，，， ，． 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 20．如图，与中，与交于点，，． (1)求证：； (2)当，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用“角角边”证明和全等即可； （）根据全等三角形对应边相等可得，进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可求出； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的外角性质，掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 22．如图，，点D在边上，，交于点F． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）由可证，根据 “”即可证明； （2）由得，由等边对等角得，进而可证明平分． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 23．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，难度适中． （1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ， ， ； （2）解：周长，， ， 即， ． 24．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图1中画出以BC为一边，面积为12的等腰三角形． (2)在图2中画出△ABC的角平分线BE．（△ABC的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，以及面积为12，作出图形即可； （2）取格点F，连接AF交格点O，作射线BO交AC于E，则BE即为所求． 【详解】（1）解：∵BC＝6，， ∴BC边上的高＝12×2÷6＝4， 如图1， （2）如图2，BE即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$