广东省东莞市东华高级中学2024-2025学年高二上学期开学作业检查数学试题

东华高级中学开学作业检查 命题：吴孟桃 审题：康逢永 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.计算： A. B. C. 0 D. 3.已知向量，满足，，且，则 A. B. C. D. 1 4.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是 A. B. C. D. 5.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为 A. B. C. D. 6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为 A. B. C. D. 7.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则 A. B. C. D. 8.已知函数，关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则 A. 事件A发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件A，B是互斥事件 D. 事件A，B相互独立 10.下列命题为真命题的是 A. ， B. 已知函数，则 C. 命题“角是第一象限角”是“”的充分不必要条件 D. 当时，函数有2个零点 11.如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则 A. 四面体的体积与表面积的数值之比为 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线BD与所成的角为 D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则__________. 13.已知事件A与B相互独立，，，则__________. 14.已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15.（13分）2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组第2组第3组第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求样本中数据的第50百分位数； （2）求样本数据的平均数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率. 16.15分已知在中，， （1）求； （2）设，求边上的高. 17.本小题15分如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面 底面，是的中点. （1）求证：平面 （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 18.本小题17分甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否互之间没有影响，求： （1）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 19.17分已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量； （3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 东华高级中学开学作业检查参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B D D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABC BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分】解：依题意，样本中数据落在的频率为：…………2分 样本数据的第50百分位数落在第四组， 且第50百分位数为…………4分 平均数为；…………6分 与两组的频率之比为…………7分 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为 所有可能的情况为共15种.…………9分 其中至少有1人的年龄在的情况有共9种.…………11分 记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A， 则…………13分 16（15分），，解得…………2分 可化为， 即，…………4分 展开得：，整理得，…………5分 将代入，得， ，…………7分 由知，，， …………10分 又，，…………13分 边上的高…………15分 17（15分）证明：平面平面ABCD，交线为AD， 又底面ABCD为正方形，，平面ABCD， 平面PAD，…………3分 又平面PAD，，…………4分 又是正三角形，M是PD的中点， …………5分 又，平面PCD，…………6分 平面…………7分 取BC、AD的中点分别为E、F，连接EF、PE、 由知平面PAD，，得平面PAD，…………8分 平面PAD， ，即，而，…………10分 ≌，…………11分 ，E为BC的中点， ，…………12分 又， 为侧面PBC与底面ABCD所成的二面角，且，…………13分 设正方形边长为a，可求得，，，…………14分 ，即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为 …………15分 18（17分）解：设“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功”为事件，…………1分 依题意得，且相互独立.…………2分 “甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立， 即甲第三次试跳才成功的概率为…………6分 “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，则，…………7分 即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为…………10分 设“甲在两次试跳中成功i次”为事件， “乙在两次试跳中成功i次”为事件，…………11分 事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且为互斥事件， 所求的概率为…………12分 …………14分 故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为…………17分 19（17分）由题知，向量的相伴函数为，…………1分 当时，…………1分 又，则， 所以，…………2分 故 ；…………4分 因为 ，…………6分 故函数的相伴特征向量，…………7分 则与方向相同单位向量为；…………8分 因为函数的相伴特征向量，…………9分 所以， ，…………10分 设点，又，， 所以，，…………11分 若，则， 即，即，…………12分 因为，，故，…………14分 又，故当且仅当时，成立，…………15分 故在的图象上存在一点，使得 …………17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$