江苏省常州市金坛第一中学2024-2025学年高三上学期开学摸底检测数学试题

2024年常州市金坛区第一中学高三摸底检测 数学卷 （检测用时120分钟 本卷满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知集合或，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 4．已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（     ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 5．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 6． 已知，则（     ） A．-3 B．-2 C．3 D．2 7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（     ） A． B．6 C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（     ） A．为上的单调递增函数 B．为奇函数 C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点 10．如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面与棱交于点F，下列命题中真命题是（    ） A．四棱锥的体积恒为定值； B．四边形是平行四边形； C．当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个； D．若，则P、B、Q三点共线． 11．已知，函数，下列选项正确的有（     ） A．若的最小正周期，则； B．当时，函数的图象向右平移后得到的图象； C．若在区间上单调递增，则的取值范围是； D．若在区间上有两个零点，则的取值范围是； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，则 . 13．在本次考试的8道单选题中，你前桌的小张同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅能随机猜，你恰好看到了他一道题的答案，这个答案是正确的概率为 .（诚信考试，诚实做人，拒绝抄袭，从我做起） 14．设函数，若，且，则的最小值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15．（13分）已知，，． (1)若与共线，求； (2)若函数，求函数在区间上的最大值，以及相应的x的值． 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18．（17分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是 (1)求中国队以3:0的比分获胜的概率； (2)求中国队在先失1局的前提下获胜的概率； (3)假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望． 19．（17分）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在区间上有解，求m的取值范围； (3)证明：. 参考数据：. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年常州市金坛区第一中学高三摸底检测 一、单选题 1．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合补集和交集的运算计算即可. 【详解】因为或，则集合， 又集合，则. 故选：D. 2．若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据共轭复数定义、复数乘法运算及复数相等可构造方程组求得，根据复数模长运算可求得结果. 【详解】设，则，， ，解得：，，. 故选：A. 4．已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数（且）在区间上递增， 所以且，所以， 当时，幂函数为奇函数，符合题意； 当时，幂函数为偶函数，不符合题意； 当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上m等于1或3. 故选：C 5．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 6．已知，则（    ） A．-3 B．-2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式和两角差的余弦公式对题目所给条件进行化简，再用两角和的正切公式即可. 【详解】因为, 所以, 所以, 即, 因为, 所以, 所以. 故选：A. 7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转换为关于的方程在上有两个不同的实数根，结合二次函数性质即可求解. 【详解】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：A. 8．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积. 【详解】因为，故由得， 由正弦定理得，又，故， 因为，所以，故，所以. 因为， 所以.在中余弦定理得，， 所以.所以的面积为. 故选：D. 二、多选题 9．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（    ） A．为上的单调递增函数 B．为奇函数 C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点 【答案】ABD 【分析】选项A，利用函数单调性的定义，设，，得出即可得证； 选项B，先得出，再设，得出，即可得证； 选项C，在前提下，求函数的导函数，分析导函数的正负，得出函数的单调性以及极值即可； 选项D，在前提下，函数，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可. 【详解】对于选项A，设，且，， ，即， 故单调递增，选项A正确； 对于选项B，是定义在上的函数，取，则， 取，则，即， 故是奇函数，选项B正确； 对于选项C、D，设，代入，得， 其中C选项，，， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 函数在处取极大值，无极小值,选项C错误； 其中D选项，函数， 其中， ， ， ， 由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上各至少存在一个零点，选项D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数单调性问题主要包括： 1.判断（证明）函数的单调性：这类问题通常要求在给定的区间上设出自变量的任意两个取值并给出它们之间的大小关系，然后对函数值因式进行化简变形，并判断其符号，得出函数的单调性结论； 2.利用函数的单调性比较大小：这包括正用和逆用两种方法，即若已知函数在某个区间上是增函数，则当时，有；反之亦然； 3.利用函数的单调性求函数的最值（值域）：通过函数的单调性，可以求得函数的值域，进而求得函数的最大值或最小值； 4.利用函数的单调性：用将函数值之间的不等关系用于自变量间的不等关系，进行等价转化即可； 5.利用函数的单调性求参数的取值范围：通过将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，或通过建立关于参数的不等式（组）或方程（组），解不等式（组）或方程（组）求出参数的取值范围. 10．如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面与棱交于点F，下列命题中真命题是（    ） A．四棱锥的体积恒为定值； B．四边形是平行四边形； C．当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个； D．若，则P、B、Q三点共线． 【答案】ABD 【分析】利用割补法判断四棱锥的体积是否为定值，即可判断A；利用面面平行性质定理证明四边形是平行四边形，即可判断B；利用侧面展开图求得截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点个数，即可判断C；利用两平面有且仅有1条通过其公共点的直线证明、、三点共线，即可判断D. 【详解】对于D：四棱锥的体积等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和， 又长方体中，平面，平面， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积为定值， 所以四棱锥的体积恒为定值，故A正确； 对于B：由平面与棱交于点， 可得平面平面，平面平面， 又平面平面，则； 又平面平面，平面平面， 又平面平面，则， 所以四边形是平行四边形，故B正确； 对于C：由B可得，截面四边形是平行四边形， 当的值最小时，四边形的周长取得最小值， 将侧面与侧面展开在同一平面（如下平面图形所示）， 当且仅当为直线与交点时的值最小， 则当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点仅有1个，故C错误； 对于D：直线与直线交于点，直线与直线交于点， 则、、三点均为平面与平面的公共点， 由平面与平面有且仅有一条交线可得、、三点共线，故D正确. 故选：ABD 11．已知，函数，下列选项正确的有（    ） A．若的最小正周期，则； B．当时，函数的图象向右平移后得到的图象； C．若在区间上单调递增，则的取值范围是； D．若在区间上有两个零点，则的取值范围是； 【答案】AC 【分析】利用周期公式可判断A正确；由平移规则可求判断B错误；由余弦函数图像性质可得，解不等式可判断C正确；根据零点个数可求得，即可得的取值范围是，可得D错误. 【详解】对于A，若的最小正周期，可得，可得，即A正确； 对于B，当时，可得，的图象向右平移后得到，即B错误； 对于C，由可知若在区间上单调递增，可得， 因此需满足，解得； 显然当时符合题意，即可得，所以C正确； 对于D，当时，， 若在区间上有两个零点，可得，解得； 即的取值范围是，所以D错误； 故选：AC 三、填空题 12．已知，则 . 【答案】 【分析】直接用和差角公式展开再用二倍角公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13．在本次考试的8道单选题中，你前桌的小张同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅能随机猜，你恰好看到了他一道题的答案，这个答案是正确的概率为 .（诚信考试，诚实做人，拒绝抄袭，从我做起） 【答案】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“恰好看到这道题小张的答案是正确的”， 设事件表示“恰好看到的这道题小张有思路”，则恰好看到了小张一道题的答案， 这个答案是正确的概率为， 故答案为： 14．设函数，若，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由结合对数的运算性质可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得； 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以； 故，即. 当时，则， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．已知，，． (1)若与共线，求； (2)若函数，求函数在区间上的最大值，以及相应的x的值． 【详解】（1）由题意，得．……………………1分 与共线，， ，………………………………3分 化简，得， ．…………………………6分 （2）由题意，得 ．……………………9分 ，，…………………………10分 当，即时，函数取得最大值，…………12分 函数在区间上的最大值为1，此时x的取值为．………………13分 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，……………………4分 因为，所以，……………………5分 因为．所以；……………………7分（不写范围扣1分） （2）因为 外接圆的周长为， 所以外接圆的直径为，………………………………8分 由正弦定理得，则，………………9分 由余弦定理得， 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，…………………………13分 又因为，……………………………………14分 所以，则． 故周长的取值范围为……………………15分 17．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴，……………………4分 ∵平面，平面，…………………………6分 ∴平面．………………………………7分 （2）取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系． ， 不妨设， 则， …………………………9分 设平面的一个法向量为， ， 取，则.………………………………11分 设直线与平面所成角为 ………………13分 . 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.…………………………15分 18．在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是 (1)求中国队以3:0的比分获胜的概率； (2)求中国队在先失1局的前提下获胜的概率； (3)假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望． 【详解】（1）记“中国队以3：0的比分获胜”的事件为， ……………………1分 因中国队在每一局中获胜的概率都是，故事件的概率为：；……………………3分 答：中国队以3:0的比分获胜的概率 ………………………………4分 （2）设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为B，则有两类情况： ①中国队连胜3局（获胜）记为事件， 则其概率为：；…………6分 ②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局（获胜）记为事件，则其概率为：；……………………8分 因与是互斥事件，故；………9分 （3）由题意知，………………………………10分 则，……………………………………11分 ，……………………13分 ，……………………15分 所以X的分布列为： X 3 4 5 P 所以X的数学期望为：.………………17分 19．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在区间上有解，求m的取值范围； (3)证明：. 参考数据：. 【详解】（1）的定义域为. ……………………1分 ①当时，恒成立，在上单调递减.…………2分 ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增.……………………4分 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增；……………………5分 （2）关于x的不等式在区间上有解， 即在上有解， 即在上有解，……………………7分 又，由（1）可知时，即， 令，则， 令，则， 令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 所以，当或时，，当时，，……………………11分 所以只需，即时满足题意. 所以m的取值范围为；…………………………12分 （3）令，则，所以， 由（1）可知在上单调递增，故， 即，即，…………………………14分 当时，，即， 即……………………………………15分 令，则，…………………………16分 所以， 故当时，. 即………………………………17分 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$