1.1.1空间向量及其线性运算7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.1.1 空间向量及其线性运算7题型分类 一、空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 二、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 四、共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. （一） 空间向量的概念 (1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可; (2)要注意零向量的特殊性。对于零向量，我们应明确: ①零向量不是没有方向，它的方向是任意的; ②零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量我们应明确: ①当我们说a与b共线时，表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a//b时，也具有相同的意义; ②共线(平行)向量不具有传递性，如a//b,b//c.那么a//c就不一定成立，因为当b=0时，虽然有a//b//c,但a不一定与c共线，若a,b,c都不是零向量，则具有传递性. (4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． 题型1：利用空间向量有关概念判断命题 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1-2．（2024高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是 . ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 1-4．（2024高三上·广东·阶段练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二） 空间向量的加减运算 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型2：利用空间向量的加减法运算求解化简 2-1．（2024高二上·北京大兴·期末）空间向量（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高二下·安徽亳州·开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二下·江苏连云港·期中）正方体中，化简（    ） A． B． C． D． （三） 空间向量的线性运算 （1）利用数乘运算进行向量表示的注意点 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． （2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 题型3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量 3-1．（2024高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 3-3．（2024高二上·全国·阶段练习）已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 3-4．（辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题（理科））已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 3-5．（2024高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． （四） 向量共线的判定及应用 1、向量共线的判定及应用 (1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 2、判断向量共线的策略: （1）熟记共线向量的充要条件: ①若a//b,b≠0，则存在唯一实数使a=b; ②若存在唯一实数，使a=b，则a//b. （2）判断向量共线的关键:找到实数. 3、三点共线与直线平行的判断: （1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行，还要证明一直线上有一点不在另一条直线上. （2）三点共线:证明三点共线，只需证明存在实数，使或即可. 题型4：向量共线的判定 4-1．（2024高二·全国·课后作业）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是　　 A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 4-2．（2024高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 4-3．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    4-4．（2024高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 题型5：向量共线的应用 5-1．（2024高二·全国·课后作业）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．． 5-2．（2024高二上·贵州黔南·期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 5-3．（2024高二上·广东广州·期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． （五） 向量共面的判定及应用 1、向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 2、证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 题型6：向量共面的判定 6-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 6-2．（2024高二下·江苏·课后作业）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？ 6-3．（2024高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 6-4．（湖北省云学新高考联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 题型7：向量共面的应用 7-1．（2024高二上·湖北黄冈·期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则 . 7-2．（2024高二上·山东烟台·期中）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为 ． 7-3．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 7-4．（2024高二下·江苏淮安·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 7-5．（江西省宜春市八校2023-2024学年高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7-6．（2024高二上·辽宁大连·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 2．（2024高二下·河南焦作·开学考试）已知在长方体中，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3．（河北省石家庄市二十三中2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体中，化简（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·全国·课后作业）当，且不共线时，与的关系是（    ） A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 6．（2024高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 8．（2024高二上·四川遂宁·阶段练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2024高二上·安徽宿州·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 10．（2024高二上·山东威海·期末）在平行六面体中，点E满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二上·河南洛阳·期中）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 13．（2024高二上·福建三明·开学考试）下列命题中为真命题的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 14．（2024高二·全国·课后作业）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 15．（2024高二上·福建福州·期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 16．（2024高二上·浙江台州·期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二下·上海闵行·开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 18．（2024高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 19．（2024·江西新余·二模）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A． B． C． D．2 20．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江温州·二模）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（    ） A．存在平面和点，使得平面 B．存在平面和点，使得平面 C．对任意的平面，线段平分线段 D．对任意的平面，线段平分线段 22．（2024高二上·北京海淀·期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 23．（2024高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 24．（2024高二下·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 25．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 26．（2024高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 27．（2024高二上·辽宁本溪·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若∥，则∥ B．是共线的必要条件 C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 三、填空题 28．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有 个. 29．（2024高二上·河北沧州·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ． 30．（2024高二上·山东聊城·期中）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 31．（2024高二上·山东烟台·期末）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为 ；若为棱的中点，平面，则的值为 ． 32．（2024高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是 . 33．（2024高二上·天津静海·阶段练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 . 34．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 四、解答题 35．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值． 36．（2024高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 37．（2024高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 38．（2024高二上·全国·课前预习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量；   （2）与相反的向量；   （3）与平行的向量． 39．（2024高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 40．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.1.1 空间向量及其线性运算7题型分类 一、空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 二、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 四、共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. （一） 空间向量的概念 (1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可; (2)要注意零向量的特殊性。对于零向量，我们应明确: ①零向量不是没有方向，它的方向是任意的; ②零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量我们应明确: ①当我们说a与b共线时，表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a//b时，也具有相同的意义; ②共线(平行)向量不具有传递性，如a//b,b//c.那么a//c就不一定成立，因为当b=0时，虽然有a//b//c,但a不一定与c共线，若a,b,c都不是零向量，则具有传递性. (4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． 题型1：利用空间向量有关概念判断命题 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案. 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 1-2．（2024高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是 . ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 【答案】②④ 【分析】根据相等向量的概念可判断①；根据相等向量和向量的模的概念可判断②；由相反向量的概念可判断③；根据相等向量的概念和平行四边形的性质可判断④. 【详解】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误； 根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确； 当、为相反向量时，显然满足，故③错误； 因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确. 故答案为：②④ 1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【答案】C 【分析】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性． 【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确； 与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确； 与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误； 与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确． 故选：C． 1-4．（2024高三上·广东·阶段练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点， ①+与+不是一对相反向量，错误； ②-与-不是一对相反向量，错误； ③1+1+1+是一对相反向量,正确； ④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个 故选：A （二） 空间向量的加减运算 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型2：利用空间向量的加减法运算求解化简 2-1．（2024高二上·北京大兴·期末）空间向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法则即可求解. 【详解】 故选：D 2-2．（2024高二下·安徽亳州·开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法法则进行求解. 【详解】因为为线段的中点，所以, 所以， 因为长方体中，， 所以，即. 故选：C. 2-3．（2024高二下·江苏连云港·期中）正方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：C. （三） 空间向量的线性运算 （1）利用数乘运算进行向量表示的注意点 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． （2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 题型3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量 3-1．（2024高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：A. 3-2．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图中表示见解析 (2)，图中表示见解析 (3)，图中表示见解析 【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简． 【详解】（1）解：. （2）解：因为是的中点，所以，又， 所以. （3）解： 3-3．（2024高二上·全国·阶段练习）已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可. 【详解】因为，故G为CD的中点，如图， 由平行四边形法则可得， 所以. 故选：A. 3-4．（辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题（理科））已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作图分析，根据空间向量的线性运算可得，，，，，，代入化简即可得出答案． 【详解】如图所示， 由于，故，，， ，，， ∴ ， 故选：D． 3-5．（2024高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. （四） 向量共线的判定及应用 1、向量共线的判定及应用 (1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 2、判断向量共线的策略: （1）熟记共线向量的充要条件: ①若a//b,b≠0，则存在唯一实数使a=b; ②若存在唯一实数，使a=b，则a//b. （2）判断向量共线的关键:找到实数. 3、三点共线与直线平行的判断: （1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行，还要证明一直线上有一点不在另一条直线上. （2）三点共线:证明三点共线，只需证明存在实数，使或即可. 题型4：向量共线的判定 4-1．（2024高二·全国·课后作业）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是　　 A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可. 【详解】因为，，不存在常数使得，所以不共线，则A，B，C不共线，B错； 因为，，不存在常数，使得，所以不共线，则B，C，D不共线，C错； 因为，，所以不存在常数，使得，所以不共线，则A，C，D不共线，D错； 因为，所以共线，又两向量都过点，故三点，，一定共线． 故选：A． 4-2．（2024高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 4-3．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    4-4．（2024高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误； 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 题型5：向量共线的应用 5-1．（2024高二·全国·课后作业）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．． 【答案】 【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果. 【详解】，， ， 三点共线，存在实数，使得，即， ，解得：． 故答案为：. 5-2．（2024高二上·贵州黔南·期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 5-3．（2024高二上·广东广州·期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果 【详解】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，得，， 所以， 故选：C （五） 向量共面的判定及应用 1、向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 2、证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 题型6：向量共面的判定 6-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 【答案】证明见解析 【分析】由空间向量基本定理可得答案. 【详解】由是不共面向量，得与不共线， 设，则， 所以，解得，所以， 所以这三个向量共面. 6-2．（2024高二下·江苏·课后作业）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？ 【答案】共面 【分析】由已知得，由此利用空间向量共面定理能证明，，，四点共面． 【详解】解：，，，四点共面． 理由如下：，， ， 即，由，，三点不共线，可知和不共线， 由共面定理可知向量，，共面， ，，，四点共面． 6-3．（2024高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可. 【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面. 故选：D. 6-4．（湖北省云学新高考联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论． 【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是； 对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面； 对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面； 对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面； 对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面． 故选：C． 题型7：向量共面的应用 7-1．（2024高二上·湖北黄冈·期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则 . 【答案】3 【分析】根据空间向量共面定理可得存在与 使得,从而可求解. 【详解】因为点在平面内，所以，，共面， 所以存在与 使得, 即， 所以，解得. 故. 故答案为:3. 7-2．（2024高二上·山东烟台·期中）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量共面列方程，结合已知条件求得的值. 【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线， 所以， 所以， ， ， 所以，解得. 故答案为： 7-3．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理得到关于的方程，解之即可. 【详解】因为， 所以， 因为M是平面ABC上一点，即四点共面， 所以，所以． 故选：B. 7-4．（2024高二下·江苏淮安·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案. 【详解】由与三点共面以及， 可得，，所以. 故选：C. 7-5．（江西省宜春市八校2023-2024学年高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果. 【详解】由题知， 四点共面, 根据平面向量基本定理, 不妨设,， 则 , ， , . 故选:B 7-6．（2024高二上·辽宁大连·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案. 【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得， 由，则，解得， 故选：A. 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 【答案】D 【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答. 【详解】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误； 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误； 显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确. 故选：D 2．（2024高二下·河南焦作·开学考试）已知在长方体中，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则即可求解. 【详解】依题知，， ∴， ∴． 故选：C. 3．（河北省石家庄市二十三中2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可. 【详解】G是CD的中点,所以 故选：A. 4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算. 【详解】由长方体的结构特征，有， 则. 故选：B 5．（2024高二上·全国·课后作业）当，且不共线时，与的关系是（    ） A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 【答案】A 【分析】 利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断. 【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为， 所以与共面. 故选：A. 6．（2024高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】 设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 7．（2024高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】 根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 8．（2024高二上·四川遂宁·阶段练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 根据空间向量共面定理的推论求解． 【详解】解：，， 又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面， ，， 故选：B． 9．（2024高二上·安徽宿州·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】 根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】因为，点在确定的平面内， 所以，即，所以， 所以当时，的有最小值2． 故选：D 10．（2024高二上·山东威海·期末）在平行六面体中，点E满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可. 【详解】由得， 整理得. 故选：A. 11．（2024高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：D. 12．（2024高二上·河南洛阳·期中）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由空间向量四点共面定理可得，然后利用一元二次函数的图像和性质求最小值即可. 【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，， 所以，即， 所以， 由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值， 所以， 故选：A 13．（2024高二上·福建三明·开学考试）下列命题中为真命题的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确， 对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误， 对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误， 对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误， 故选：A 14．（2024高二·全国·课后作业）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故选：C. 15．（2024高二上·福建福州·期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 16．（2024高二上·浙江台州·期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】． 故选：A. 17．（2024高二下·上海闵行·开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【答案】A 【分析】 由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案. 【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使， 因为， 所以， 所以共面， 所以四点共面， 因为，所以， 所以点唯一. 故选：A. 18．（2024高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 19．（2024·江西新余·二模）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先构造和平面平行的截面，再根据空间向量共面确定点的轨迹形状，再求其长度. 【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点， 则，， 所以平面平面， 所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部. 又因为，所以点在侧面， 所以点的轨迹为线段， 因为AB=AD=2，， 所以. 故选：A. 20．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为Q是的中点，所以， 因为M为PQ的中点，所以， 故选：C. 21．（2024·浙江温州·二模）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（    ） A．存在平面和点，使得平面 B．存在平面和点，使得平面 C．对任意的平面，线段平分线段 D．对任意的平面，线段平分线段 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理可判断AB选项；取的中点，的中点为，设，，利用空空间向量的线性运算可得出，可判断C选项；利用反证法结合C选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，因为平面，平面，此时平面，A对； 对于B选项，当时，因为平面，平面，此时平面，B对； 对于C选项，取的中点，的中点为，设，， 则有， 同理可得，， ， ， 所以，所以，， 因为、、、四点共面，则，所以，， 所以，，则， 所以，，可得， 即、、三点共线，即的中点在上，即线段平分线段，C对； 对于D选项，若线段平分线段，又因为线段平分线段，则四边形为平行四边形， 事实上，四边形不一定为平行四边形，故假设不成立，D错. 故选：D. 22．（2024高二上·北京海淀·期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得. 【详解】 由点M满足，所以M为中点， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点, 所以， 所以. 故选：C 二、多选题 23．（2024高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得. 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 24．（2024高二下·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 【答案】ACD 【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断； 【详解】A.如图所示： ，三个向量共面，故错误； B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确； C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误； D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误； 故选：ACD 25．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择. 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B：，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D：，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 26．（2024高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】 由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 27．（2024高二上·辽宁本溪·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若∥，则∥ B．是共线的必要条件 C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解. 【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确； 对于B，由反向共线，可得，故B不正确； 对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则 ，即， 所以四点共面，故C正确； 对于D,若为空间四点，且有（不共线）， 当，即时，可得，即， 所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 28．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有 个. 【答案】7 【分析】根据向量模长相等即可结合几何体特征求解. 【详解】与模长相等的向量有：共有7个. 故答案为：7 29．（2024高二上·河北沧州·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ． 【答案】 【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再根据推论进行求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得， O是平面ABC外任意一点，则， 即， 若A，B，C三点共线，则，即， 整理得：，所以， 此时若，则， 因为A，B，C三点不共线，， 所以， 所以， 令，则， 所以，所以． 故答案为： 30．（2024高二上·山东聊城·期中）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 【答案】4 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 31．（2024高二上·山东烟台·期末）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为 ；若为棱的中点，平面，则的值为 ． 【答案】 【解析】①，不妨取，利用，即可得出． ②连接，与交于点．连接，交于点，连接．平面，可得．根据点为的中点，可得点为的中点．延长交线段的延长线于点．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：①，不妨取， ． ． ②连接，与交于点．连接，交于点，连接． 平面，． 点为的中点，点为的中点． 延长交线段的延长线于点． ，． ． ， ． 则． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 32．（2024高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量线性运算可知，点在线段上，再根据两点之间线段最短，即可求解. 【详解】根据题意，因为，其中， 所以点在线段上. 如图所示，沿展开正三棱柱的侧面， 故三角形周长为， 当、、三点共线时，取等号. 故答案为：. 33．（2024高二上·天津静海·阶段练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 . 【答案】 【解析】根据向量共面的基本定理可求出时即可求解. 【详解】， 又∵是空间任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴， 解得 x=， 故答案为： 【点睛】方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面． 34．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题 35．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值． 【答案】，，． 【分析】利用向量的线性运算结合已知，求出实数的值． 【详解】， 所以，，，． 36．（2024高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 37．（2024高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 38．（2024高二上·全国·课前预习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量；   （2）与相反的向量；   （3）与平行的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解， （1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出； （2）连接，因为，所以是平行四边形，所以，这样就可以写出与相反的向量； （3）连接，用类似（2）的方法可写出与平行的向量． 【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等， ∴与相等的向量为； （2）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与相反的向量为． （3）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与平行的向量为． 39．（2024高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明见解析； 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 40．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证； （2）由题意，，又，运算即得证 【详解】证明：（1） ∴. （2）. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$