第一章 集合与常用逻辑用语章末题型归纳总结（含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 2 模块二：典型例题 3 题型一：集合的基本概念 3 题型二：集合的基本关系 3 题型三：集合的交、并、补运算 4 题型四：利用子集关系求参数 5 题型五：子集、真子集的个数问题 6 题型六：韦恩图的应用 7 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 7 题型八：充分必要条件的判断 9 题型九：充分必要条件的求参问题 10 题型十：全称量词与存在量词 11 题型十一：集合新定义问题 12 模块三：数学思想方法 13 ①分类讨论思想 13 ②转化与化归思想 14 ③数形结合思想 15 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：集合的基本概念 例1．（2024·高一·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．（2024·高一·河北邯郸·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 例4．（2024·高一·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：集合的基本关系 例6．（2024·高一·福建龙岩·开学考试）设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 例7．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 例8．（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 例9．（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 例10．（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 例11．（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 题型三：集合的交、并、补运算 例12．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）设集合，，则＝ ． 例13．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，集合，.则 . 例14．（多选题）（2024·全国·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例15．（多选题）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用子集关系求参数 例16．（2024·高一·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 例17．（2024·高一·四川·阶段练习）设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 例18．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 例19．（2024·高一·全国·课后作业）设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 题型五：子集、真子集的个数问题 例20．（2024·高一·全国·课后作业）设集合，，，则集合的子集的个数是 ． 例21．（2024·高二·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ． 例22．（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 例23．（2024·高三·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 . 例24．（2024·高二·全国·竞赛）设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 题型六：韦恩图的应用 例25．（2024·高二·河北·阶段练习）某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人． 例26．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 除草 15 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 . 例27．（2024·高一·北京·阶段练习）某班一共有40名学生，在刚结束的学校田径运动会上，有16人报名参加了田赛项目，有20人报名参加了径赛项目，田赛和径赛都没参加的人数是都参加的人数的2倍，则田赛和径赛都参加的人数是 . 例28．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为 . 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 例29．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，. (1)若，，求实数的值； (2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围. 条件：①；②；③. 例30．（2024·高一·江西抚州·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 例31．（2024·高一·山东·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 例32．（2024·高一·四川南充·阶段练习）已知集合 ​，，其中​. (1)若​，求​的值; (2)若对 ​，有​，求​的取值范围. 例33．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合,或，若，求实数a的取值范围． 例34．（2024·高一·浙江台州·阶段练习）设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 题型八：充分必要条件的判断 例35．（2024·高三·福建莆田·开学考试）若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例36．（2024·高一·贵州·阶段练习）若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 例37．（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 例38．（2024·福建宁德·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 题型九：充分必要条件的求参问题 例39．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合为非空集合． (1)若，求的值； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 例40．（2024·高一·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 例41．（2024·高一·安徽·阶段练习）已知， (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 例42．（2024·高一·四川眉山·阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 例43．（2024·高一·全国·课后作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 题型十：全称量词与存在量词 例44．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例45．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知命题：，，则为（    ）. A．， B．， C．，或 D．，或 例46．（2024·高一·全国·单元测试）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例47．（2024·高一·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一：集合新定义问题 52．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合A，B是实数集R的子集，定义，，若集合，且，则 ． 例48．（2024·高一·重庆沙坪坝·开学考试）对于任意集合M，N，定义：．已知集合，，则 ． 例49．（2024·高一·全国·课后作业）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下三个结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的序号是 ． 例50．（2024·高一·全国·课后作业）约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，．设且，，集合，则集合 ．（用列举法表示） 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例51．（2024·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 例52．（2024·河北石家庄·高一校考期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 例53．（2024·辽宁·高二校联考阶段练习）设集合，，，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 例54．（2024·高一课时练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 例55．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 例56．（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ②转化与化归思想 例57．（2024·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）同时满足：①，②，则的非空集合M有（    ） A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 例58．（2024·江苏·高一假期作业）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 例59．（2024·甘肃白银·高一校考期末）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 例60．（2024·北京西城·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）设全集，则 . ③数形结合思想 例61．（2024·河南南阳·高一校考阶段练习）如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（    ） A． B． C． D． 例62．（2024·广东佛山·高一统考期中）某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有18人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．18 B．23 C．28 D．16 例63．（2024·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 例64．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 例65．（2024·江苏苏州·高二统考期末）已知M，N是全集U的非空子集，且，则（    ） A． B． C． D． 例66．（2024·高一课时练习）已知全集，，，，则（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 集合与常用逻辑用语章末题型归纳总结 01 02 03 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：　　　　、　　　　、　　　　. (2)元素与集合的关系是　　　或　　　　，用符号　或　表示. (3)集合的表示法：　　　　、　　　　、　　　　. 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 ___  N*(或N＋) ___  ___  ___  N Z Q R 知识梳理 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　　　　　　　都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作　　　(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且　　　，就称集合A是集合B的真子集，记作　　　(或B ⫌ A). (3)相等：若A⊆B，且　　　，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是　　　　　的子集，是　　　　　　　的真子集. 任意一个元素 A⊆B x∉A A⫋B B⊆A 任何集合 任何非空集合 知识梳理 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 ________________    ______  交集 ________________    ______  补集 ________________    ____  {x|x∈A，或x∈B} A∪B {x|x∈A，且x∈B} A∩B {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 知识梳理 4.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的　　　条件，q是p的　　　条件 p是q的　　　　　　条件 p⇒q且q⇏p p是q的　　　　　　条件 p⇏q且q⇒p p是q的　　　条件 p⇔q p是q的　　　　　　　　　条件 p⇏q且q⇏p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 知识梳理 5.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　　”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　　”表示. ∀ ∃ 知识梳理 6.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 _____________ _____________ 否定 _______________ ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，∃p(x) ∃x∈M，∃p(x) 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0．3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0．3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 题型一：集合的基本概念 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·河北邯郸·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】依题意，， 所以中元素的个数为5． 故选：C 题型一：集合的基本概念 典型例题 【变式1-1】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解析】，共6个元素． 故选：C． 题型一：集合的基本概念 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·福建龙岩·开学考试）设集合， ，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 中的元素为点，故， 故选：B 题型二：集合的基本关系 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 题型二：集合的基本关系 典型例题 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确． 故选：AD． 题型二：集合的基本关系 典型例题 【变式2-2】（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立． 故选：ABC． 题型二：集合的基本关系 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）设集合，，则＝ ． 【答案】 【解析】因为， 所以或， 所以， 故答案为： 题型三：集合的交、并、补运算 典型例题 【典例3-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知， 集合，．则 ． 【答案】 【解析】由题意，全集，集合，， 所以，所以． 故答案为：． 题型三：集合的交、并、补运算 典型例题 【变式3-1】（多选题）（2024·全国·二模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确． 故选：CD 题型三：集合的交、并、补运算 典型例题 【变式3-2】（多选题）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为集合， 可得，， 且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以， 所以D正确． 故选：ACD． 题型三：集合的交、并、补运算 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 【解析】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，，所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或． 题型四：利用子集关系求参数 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·四川·阶段练习）设集合， ． （1）若B中有且只有一个元素，求实数m的值； （2）若求实数m的值． 【解析】（1）因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故． （2）由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{-1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{-1，-2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2． 题型四：利用子集关系求参数 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【解析】由题意知，若，则，解得， 若， ，解得或， 当时，则方程为，解得， 此时，不合题意，舍去， 当时，则方程为，解得， ，不合题意，舍去， 当，即，解得或，则由题意知， 则1，4为方程两根，根据韦达定理得， 综上所述的范围是或． 题型四：利用子集关系求参数 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）设集合，，且． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值． 【解析】（1）由解得，所以， 因为，所以是集合中元素， 所以将代入得，解得，． （2）因为，由（1）得是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或． 题型四：利用子集关系求参数 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）设集合，，，则集合的子集的个数是 ． 【答案】4 【解析】联立消去， 得， 可知方程有两解，故集合中有2个元素，故的子集有个． 故答案为：4 题型五：子集、真子集的个数问题 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【解析】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63． 题型五：子集、真子集的个数问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 【答案】①③ 【解析】①满足的集合的个数为的子集的个数，即； ②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即； ③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即； ④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即． 故答案为：①③． 题型五：子集、真子集的个数问题 典型例题 【变式5-2】（2024·高三·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 ． 【答案】31 【解析】共5个元素， 则真子集的个数是． 故答案为：31 题型五：子集、真子集的个数问题 典型例题 【变式5-3】（2024·高二·全国·竞赛）设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 【答案】 【解析】由题设可得， 这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中， 故这样的非空集合的个数为， 故答案为： 题型五：子集、真子集的个数问题 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·河北·阶段练习）某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人． 【答案】8 【解析】设全集为，集合表示喜欢打篮球的学生，集合表示喜欢打羽毛球的学生， 如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有人． 故答案为：8 题型六：韦恩图的应用 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·山西晋中·阶段练习）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 ． 【答案】15 【解析】设集合表示除草优秀的学生， 集合表示植树优秀的学生，全班学生用集合表示， 则表示除草合格的学生，表示植树合格的学生，作出图，如图， 设两项劳动都优秀的人数为，两项劳动都合格的人数为， 由图可得，即， 因为，所以， 即两个项目中都优秀的同学最多为15． 故答案为：15． 题型六：韦恩图的应用 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）某班一共有40名学生，在刚结束的学校田径运动会上，有16人报名参加了田赛项目，有20人报名参加了径赛项目，田赛和径赛都没参加的人数是都参加的人数的2倍，则田赛和径赛都参加的人数是 ． 【答案】 【解析】40名学生组成的集合为 ， 参加田赛项目的16名学生组成的集合为， 参加径赛项目的20名学生组成的集合为， 设两个项目都参加的有人，则只参加田赛项目的有人， 只参加径赛项目的有人，两项都没参加的有人， 则依题：，所以， 所以该班学生中田赛和径赛都有参加的人数为4． 故答案为：4 题型六：韦恩图的应用 典型例题 【变式6-2】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试．已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为 ． 【答案】108 【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图所示： 根据题意可得， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 题型六：韦恩图的应用 典型例题 【典例7-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知集合， ． （1）若，，求实数的值； （2）从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围． 条件：①；②；③． 【解析】（1）由于，所以，解得． （2）恒成立，所以是非空集合． 若选①，，，则，解得． 若选②，，或，所以，解得． 若选③，，或，所以，解得． 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高一·江西抚州·阶段练习）已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 当即时，满足题意； 当即时，；欲使，则有，即． 综上所述：实数的取值范围是． （2）易得 当即时，，不符合题意； 当即时，，若中只有一个整数，则此整数为 依题意得，即 综上所述：实数的取值范围是． 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·山东·阶段练习）已知集合， ． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，所以或， 又且，所以，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）若，则， 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，解得，此时；综上，实数a的取值范围为 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 典型例题 【典例8-1】（2024·高三·福建莆田·开学考试）若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“，且”，则“，且”， 若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且， 所以“，且”是“，且”的充分不必要条件； 故选：A 题型八：充分必要条件的判断 典型例题 【典例8-2】（2024·高一·贵州·阶段练习）若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集， 对于选项A，不是的子集，故A不满足； 对于选项B，不是的子集，故B不满足； 对于选项C，不是的子集，故C不满足； 对于选项D，不是的子集，故D满足． 故选：D 题型八：充分必要条件的判断 典型例题 【变式8-1】（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，A错误； 对B，由取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对C，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 对D，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以是“”的一个充分不必要条件，D正确；故选：D． 题型八：充分必要条件的判断 典型例题 【变式8-2】（2024·福建宁德·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【解析】因为此数为小于5的正整数，所以， 因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得， 所以“”表示的数字是1或2，故正确． 故选：C． 题型八：充分必要条件的判断 典型例题 【典例9-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合 为非空集合． （1）若，求的值； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，解得． 故的值为． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以为真子集， 所以 解得． 故的取值范围是． 题型九：充分必要条件的求参问题 典型例题 【典例9-2】（2024·高一·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由． 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集， 故且等号不同时成立，即，无解， 故不存在实数，使得是的充分不必要条件． 选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，，此时且等号不同时成立， 解得，故，综上有， 故若是的必要不充分条件，则． 选C：若是的充要条件，则，故，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件． 题型九：充分必要条件的求参问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高一·安徽·阶段练习）已知， （1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由p是q的充分不必要条件，得 集合是集合的真子集， 所以或 解得． 所以实数m的取值范围是． （2）由p是q的必要不充分条件，得 集合是集合的真子集， 当，则，即时，符合题意； 当，即时， 可得或，解得． 综上可得 题型九：充分必要条件的求参问题 典型例题 【典例10-1】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】命题“，”的否定是，． 故选：A． 题型十：全称量词与存在量词 典型例题 【典例10-2】（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知命题：，，则为（    ）． A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】D 【解析】由全称命题的否定是特称命题知： 原命题的否定为，或． 故选：D 题型十：全称量词与存在量词 典型例题 【变式10-1】已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，． 因为， 所以当时，，此时． 所以时，，即实数的取值范围是． 故选：C． 题型十：全称量词与存在量词 典型例题 【变式10-2】（2024·高一·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意命题p：的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D 题型十：全称量词与存在量词 典型例题 【典例11-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·开学考试）对于任意集合M，N，定义：．已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以． 故答案为：． 题型十一：集合新定义问题 典型例题 【典例11-2】（2024·高一·全国·课后作业）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下三个结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】对于①：因为，所以故①正确； 对于②：因为，所以，故②错误； 对于③：因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，所以，故③正确． 故答案为：①③． 题型十一：集合新定义问题 典型例题 【变式11-1】（2024·高一·全国·课后作业）约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，．设且，，集合，则集合 ．（用列举法表示） 【答案】 【解析】由题意得： 且①， 又且，， 则当，时；； 当，时，； 所以 题型十一：集合新定义问题 典型例题 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 2 模块二：典型例题 3 题型一：集合的基本概念 3 题型二：集合的基本关系 4 题型三：集合的交、并、补运算 7 题型四：利用子集关系求参数 9 题型五：子集、真子集的个数问题 11 题型六：韦恩图的应用 12 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 15 题型八：充分必要条件的判断 18 题型九：充分必要条件的求参问题 20 题型十：全称量词与存在量词 23 题型十一：集合新定义问题 24 模块三：数学思想方法 26 ①分类讨论思想 26 ②转化与化归思想 29 ③数形结合思想 30 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：集合的基本概念 例1．（2024·高一·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 例2．（2024·高一·河北邯郸·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】依题意，， 所以中元素的个数为5. 故选：C 例3．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解析】，共6个元素. 故选：C. 例4．（2024·高一·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 例5．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误； 对于选项B：因为与都是集合，且的元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误； 对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确； 对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误； 故选：C. 题型二：集合的基本关系 例6．（2024·高一·福建龙岩·开学考试）设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 中的元素为点，故， 故选：B 例7．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 例8．（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确. 故选：AD. 例9．（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确. 故选：AD. 例10．（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 例11．（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 题型三：集合的交、并、补运算 例12．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）设集合，，则＝ ． 【答案】 【解析】因为， 所以或， 所以， 故答案为： 例13．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，集合，.则 . 【答案】 【解析】由题意，全集，集合，， 所以，所以. 故答案为：. 例14．（多选题）（2024·全国·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确. 故选：CD 例15．（多选题）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 题型四：利用子集关系求参数 例16．（2024·高一·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件． 【解析】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，， 所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或. 例17．（2024·高一·四川·阶段练习）设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 【解析】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故. 解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1. （2）由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2. 例18．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【解析】由题意知，若，则，解得， 若， ，解得或， 当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去， 当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去， 当，即，解得或，则由题意知， 则1,4为方程两根，根据韦达定理得， 综上所述的范围是或. 例19．（2024·高一·全国·课后作业）设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 【解析】（1）由解得，所以， 因为，所以是集合中元素， 所以将代入得，解得，. （2）因为，由（1）得是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或. 题型五：子集、真子集的个数问题 例20．（2024·高一·全国·课后作业）设集合，，，则集合的子集的个数是 ． 【答案】4 【解析】联立消去，得， 可知方程有两解，故集合中有2个元素，故的子集有个． 故答案为：4 例21．（2024·高二·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【解析】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 例22．（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 【答案】①③ 【解析】①满足的集合的个数为的子集的个数，即； ②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即； ③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即； ④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即． 故答案为：①③. 例23．（2024·高三·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 . 【答案】31 【解析】共5个元素， 则真子集的个数是. 故答案为：31 例24．（2024·高二·全国·竞赛）设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 【答案】 【解析】由题设可得， 这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中， 故这样的非空集合的个数为， 故答案为： 题型六：韦恩图的应用 例25．（2024·高二·河北·阶段练习）某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人． 【答案】8 【解析】设全集为，集合表示喜欢打篮球的学生，集合表示喜欢打羽毛球的学生， 如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有人． 故答案为：8 例26．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 除草 15 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 . 【答案】15 【解析】设集合表示除草优秀的学生，集合表示植树优秀的学生，全班学生用集合表示， 则表示除草合格的学生，表示植树合格的学生，作出图，如图， 设两项劳动都优秀的人数为，两项劳动都合格的人数为， 由图可得，即， 因为，所以， 即两个项目中都优秀的同学最多为15. 故答案为：15. 例27．（2024·高一·北京·阶段练习）某班一共有40名学生，在刚结束的学校田径运动会上，有16人报名参加了田赛项目，有20人报名参加了径赛项目，田赛和径赛都没参加的人数是都参加的人数的2倍，则田赛和径赛都参加的人数是 . 【答案】 【解析】40名学生组成的集合为 , 参加田赛项目的16名学生组成的集合为， 参加径赛项目的20名学生组成的集合为， 设两个项目都参加的有人，则只参加田赛项目的有人， 只参加径赛项目的有人，两项都没参加的有人， 则依题：，所以， .所以该班学生中田赛和径赛都有参加的人数为4. 故答案为：4 例28．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为 . 【答案】108 【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图所示： 根据题意可得， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 故答案为：108. 题型七：根据集合的交、并、补求参问题 例29．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，. (1)若，，求实数的值； (2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围. 条件：①；②；③. 【解析】（1）由于， 所以，解得. （2）恒成立，所以是非空集合. 若选①，，， 则，解得. 若选②，， 或， 所以，解得. 若选③，， 或， 所以，解得. 例30．（2024·高一·江西抚州·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 当即时，满足题意； 当即时，；欲使，则有，即. 综上所述：实数的取值范围是. （2）易得 当即时，，不符合题意； 当即时，，若中只有一个整数，则此整数为 依题意得，即 综上所述：实数的取值范围是. 例31．（2024·高一·山东·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，所以或， 又且， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）若，则， 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，解得， 此时； 综上，实数a的取值范围为 例32．（2024·高一·四川南充·阶段练习）已知集合 ​，，其中​. (1)若​，求​的值; (2)若对 ​，有​，求​的取值范围. 【解析】（1）因为​，所以​， 又方程​的解为​或​， 当时，， 将​代入​得​， 则​， 所以​，则​， 当​时，，将​代入​得​， 综上 ​，或​. （2）若对 ​，有​，则​， 当​时，或， 当​时，，由(1)可得 当​时，​，由(1) 当​，即​或​时，集合中含两个不同元素，又中至多两个元素，，所以且，由（1）得​， 当​时，即​时， ​，对​，都成立， 综上，​或或​或​ 例33．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合,或，若，求实数a的取值范围． 【解析】解析  由，得，从而． ①若，则，解得； ②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示， 则，解得． 综上，实数a的取值范围是． 例34．（2024·高一·浙江台州·阶段练习）设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）或，故． （2），因为，故． 题型八：充分必要条件的判断 例35．（2024·高三·福建莆田·开学考试）若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“，且”，则“，且”， 若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且， 所以“，且”是“，且”的充分不必要条件； 故选：A 例36．（2024·高一·贵州·阶段练习）若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集， 对于选项A，不是的子集，故A不满足； 对于选项B，不是的子集，故B不满足； 对于选项C，不是的子集，故C不满足； 对于选项D，不是的子集，故D满足. 故选：D 例37．（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，A错误； 对B，由取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对C，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 对D，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以是“”的一个充分不必要条件，D正确； 故选:D. 例38．（2024·福建宁德·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【解析】因为此数为小于5的正整数，所以， .因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确. 故选：C. 题型九：充分必要条件的求参问题 例39．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合为非空集合． (1)若，求的值； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，解得． 故的值为． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以为真子集，所以 解得． 故的取值范围是． 例40．（2024·高一·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集， 故且等号不同时成立，即，无解， 故不存在实数，使得是的充分不必要条件. 选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，，此时且等号不同时成立， 解得，故，综上有， 故若是的必要不充分条件，则. 选C：若是的充要条件，则，故，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件. 例41．（2024·高一·安徽·阶段练习）已知， (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由p是q的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 所以或 解得. 所以实数m的取值范围是. （2）由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集， 当，则，即时，符合题意； 当，即时， 可得或，解得． 综上可得 例42．（2024·高一·四川眉山·阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【解析】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解. ∴不存在满足条件的. （2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得， ∴问题中的存在，且的取值集合. 选②，则是的真子集， 当时，，即，满足是的真子集； 当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得； 综上所述：. 所以问题中的存在，且的取值集合. 例43．（2024·高一·全国·课后作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】因为p是q的必要不充分条件， 所以是的真子集， 故有或 解得. 又，所以实数m的取值范围为． 题型十：全称量词与存在量词 例44．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】命题“，”的否定是，. 故选：A. 例45．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知命题：，，则为（    ）. A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】D 【解析】由全称命题的否定是特称命题知： 原命题的否定为，或. 故选：D 例46．（2024·高一·全国·单元测试）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 例47．（2024·高一·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D 题型十一：集合新定义问题 52．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合A，B是实数集R的子集，定义，，若集合，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得：或， ， 所以. 故答案为：. 例48．（2024·高一·重庆沙坪坝·开学考试）对于任意集合M，N，定义：．已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为：. 例49．（2024·高一·全国·课后作业）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下三个结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】对于①：因为，所以故①正确； 对于②：因为，所以，故②错误； 对于③：因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，所以，故③正确． 故答案为：①③. 例50．（2024·高一·全国·课后作业）约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，．设且，，集合，则集合 ．（用列举法表示） 【答案】/ 【解析】由题意得：且①， 又且，， 则当，时；； 当，时，； 所以, 故答案为：. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例51．（2024·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】∵，∴或， 若，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合，满足题意，故成立， 若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去， 综上所述，． 故选：B． 例52．（2024·河北石家庄·高一校考期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【解析】因为，所以①或②， 由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去， 符合题意， 由②得，符合题意， 两种情况代入，答案相同. 故选：B 例53．（2024·辽宁·高二校联考阶段练习）设集合，，，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由，， 得且， 当时，无解； 当时，解得. 经检验，满足题意. 故选：C. 例54．（2024·高一课时练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 【答案】D 【解析】函数的定义域为A，值域为B， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以，又， 所以若，解得或，因为，所以. 此时，所以，则； 若，又，所以不成立. 综上，. 故选：D. 例55．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：或 若，此时，集合的元素有重复，不符合题意； 若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意； 故. 故选：B 例56．（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以，或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，满足集合元素互异性，满足要求. 故选：B ②转化与化归思想 例57．（2024·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）同时满足：①，②，则的非空集合M有（    ） A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 【答案】B 【解析】时，；时，；时，；时，；，， ∴非空集合M为，，，，，，，共7个． 故选：B 例58．（2024·江苏·高一假期作业）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，， ，， 若，则， 即有； 若，可得，， 不满足； 若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得或，解得或． 综上可得，或或2. 故选：A. 例59．（2024·甘肃白银·高一校考期末）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 【答案】B 【解析】先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数.因为的解为或，所以； 又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素， 所以的个数即为集合的子集个数：， 故选：B. 例60．（2024·北京西城·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）设全集，则 . 【答案】 【解析】，，， 故答案为: ③数形结合思想 例61．（2024·河南南阳·高一校考阶段练习）如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】阴影部分由两部分构成， 左边部分在内且在外，转换为集合语言为， 右边部分在内且在外，转换为集合语言为， 故阴影部分表示的集合为，C正确； 其他选项，经过验证均不合要求. 故选：C 例62．（2024·广东佛山·高一统考期中）某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有18人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．18 B．23 C．28 D．16 【答案】C 【解析】 设集合分别是参加田赛，径赛的学生，由题意集合有名学生，集合有名学生， 部分中有人，总人数为含有的人数，即人. 故选：C 例63．（2024·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,， 所以阴影表示的集合为. 故选：B 例64．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【解析】画出维恩图如下： 设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人， 则：，； 故答案为：32人. 例65．（2024·江苏苏州·高二统考期末）已知M，N是全集U的非空子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为M，N是全集U的非空子集，且， 所以韦恩图为： 由韦恩图可知，A不正确；B正确；C不正确；D不正确. 故选：B 例66．（2024·高一课时练习）已知全集，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意画出图如下， 可得：，，，. 故选：D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$