第5章 一次函数 专题培优讲义《专题13　一次函数中的数形结合思想》 2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题13　一次函数中的数形结合思想 【知识梳理】 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以数助形，以数辅形，使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想． 在应用数形结合思想分析和解决问题时要注意： (1)正确识图，理解其性质和潜在规则． (2)适当设未知数，建立等量关系，以形想数，数形转化． 【例题探究】 【例1】　已知一次函数y＝－x＋5的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求点A，B的坐标，并画出这个一次函数的图象． (2)根据图象回答： ①当x取何值时，y＞0? ②当y＜5时，求x的取值范围． 【思路点拨】　(1)分别将y＝0，x＝0代入一次函数关系式求出与之对应的x，y的值，由此即可得出点A，B的坐标，经过A，B两点的直线即为一次函数的图象；(2)①函数图象在x轴上方部分自变量的取值范围即为答案；②函数图象在直线y＝5下方部分自变量的取值范围即为答案． 【例2】　点A在直线y＝2x＋3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第 ________象限． 【思路点拨】　因为直线y＝x和y＝－x上的点到两坐标轴的距离相等，作出函数y＝±x的图象，与直线y＝2x＋3的交点即为点A，再由图象即可作出判断．也可以先求出点A的坐标再作判断． 【例3】　求|x－1|＋|x－3|的最小值． 【思路点拨】　利用绝对值的几何意义，可以很快得到答案，也可以分区间讨论． 【例4】　在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)和点B(4，5)，当直线y＝kx－2k(k为常数)与线段AB有交点时，k的取值范围为(　　) A．k≤－2或k≥ B．－2≤k≤ C．－2≤k≤0或0≤k≤ D．－2＜k＜0或0＜k＜ 【思路点拨】　直线y＝kx－2k(k为常数)恒过定点P(2，0)，分别求出直线y＝kx－2k经过点A和点B时k的值，再结合图象即可得出k的取值范围． 【例5】　甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲，乙两人间的距离为s(km)，行驶的时间为t(h)，s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)甲的速度为________km/h，乙的速度为________km/h； (2)求出图中a，b的值； (3)何时两人相距20 km? 【思路点拨】　(1)根据函数图象可得出A，B两地之间的距离、甲从A地到B地以及乙从B地到A地所需的时间，即可得出答案；(2)b表示甲、乙两人相遇的时间，a表示乙到达A地后甲乙两人之间的距离；(3)分两种情况讨论求解即可． 【例6】　在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程，其中我们通过描点或平移的方法画出函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝因此可以画出如图1所示的函数y＝|x|的图象．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx－2|＋b中，当x＝0时，y＝－2；当x＝2时，y＝－4. (1)求这个函数的表达式． (2)请在图2的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质． (3)已知函数y＝x－2的图象如图所示，结合(2)中所画的函数图象，直接写出不等式|kx－2|＋b<x－2的解集． 【思路点拨】　(1)利用待定系数法即可得出函数表达式；(2)把绝对值符号去掉后，分别画出在对应范围内的两个一次函数图象即可，再结合图象可得出函数最值或增减性等性质；(3)函数y＝|kx－2|＋b的图象在函数y＝x－2的图象的下方时对应的自变量的取值范围即为所求不等式的解． 【例7】　“十一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y与检票时间x(min)的关系如图． (1)求a的值； (2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数； (3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问：检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 【思路点拨】　(1)根据原有的人数－a分钟检票的人数＋a分钟增加的人数＝520建立方程，求出其解即可；(2)设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由待定系数法求出函数的表达式，再将x＝20代入表达式就可以求出结论；(3)设需同时开放n个检票口，根据原来的人数＋15 min进站的人数≤n个检票口15 min检票的人数建立不等式，求出其解即可． 【答案解析】 【知识梳理】 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以数助形，以数辅形，使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想． 在应用数形结合思想分析和解决问题时要注意： (1)正确识图，理解其性质和潜在规则． (2)适当设未知数，建立等量关系，以形想数，数形转化． 【例题探究】 【例1】　已知一次函数y＝－x＋5的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求点A，B的坐标，并画出这个一次函数的图象． (2)根据图象回答： ①当x取何值时，y＞0? ②当y＜5时，求x的取值范围． 【解题过程】　(1)当y＝－x＋5＝0时，x＝， ∴点A的坐标为(，0)． 当x＝0时，y＝－x＋5＝5， ∴点B的坐标为(0，5)． 画出函数图象，如图． (2)①观察函数图象可知，当x＜时，一次函数图象在x轴上方， ∴当x＜5时，y＞0. ②观察函数图象可知，当x＞0时，一次函数图象在直线y＝5的下方， ∴当y＜5时，x＞0. 【方法归纳】　本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象．第(2)问要注意数形结合思想的运用． 【例2】　点A在直线y＝2x＋3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第 ________象限． 【解题过程】　方法1：画出函数y＝x和y＝－x的图象，与直线y＝2x＋3的交点分别为A1，A2，如图，点A1在第二象限，点A2在第三象限．故答案为：二或三． 方法2：因为点A到两坐标轴的距离相等，设点A的坐标是(x，x)或(x，－x)． ①把A(x，x)代入直线y＝2x＋3，得x＝2x＋3，解得x＝－3. ∴A(－3，－3)．∴点A在第三象限． ②把A(x，－x)代入直线y＝2x＋3，得－x＝2x＋3．解得x＝－1. ∴A(－1，1)．∴点A在第二象限． 故答案为：二或三． 【方法归纳】　本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征、坐标确定位置等知识．方法1充分利用函数图象，快速获解．但要注意，画图一定要准确． 【例3】　求|x－1|＋|x－3|的最小值． 【解题过程】　方法1：如图，设数x，1，3在数轴上对应的点分别为P，A，B，根据绝对值的几何意义得，PA＝|x－1|，PB＝|x－3|，AB＝2，∴|x－1|＋|x－3|＝PA＋PB. 当点P在点A的左侧时，有PA＋AB>AB＝2； 当点P在点B的右侧时，有PA＋PB>AB＝2； 当点P在点A，B之间，即1≤x≤3时，有PA＋PB＝AB＝2. 综上所述，当1≤x≤3时，|x－1|＋|x－3|的值最小，最小值为2. 方法2：分区间讨论： (1)当x<1 时，原式＝－(x－1)－(x－3)＝－2x＋4>2； (2)当1≤x≤3时，原式＝(x－1)－(x－3)＝2； (3)当x>3时，原式＝(x－1)＋(x－3)＝2x－4>2. 综上所述，当1≤x≤3时，x－1＋x－3的值最小，最小值为2. 【方法归纳】　处理绝对值的问题时，通常可以分区间讨论或利用绝对值的几何意义求解． 【例4】　在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)和点B(4，5)，当直线y＝kx－2k(k为常数)与线段AB有交点时，k的取值范围为(　　) A．k≤－2或k≥ B．－2≤k≤ C．－2≤k≤0或0≤k≤ D．－2＜k＜0或0＜k＜ 【解题过程】　∵y＝kx－2k＝k(x－2)， ∴直线y＝kx－2k(k为常数)恒过定点P(2，0)． 当直线y＝kx－2k经过点A时， 将点A(1，2)代入y＝kx－2k，得2＝k－2k，解得k＝－2； 当直线y＝kx－2k经过点B时， 将点B(4，5)代入y＝kx－2k，得5＝4k－2k，解得k＝. 由图象可知，当直线y＝kx－2k与线段AB有交点时，k的取值范围为k≤－2或k≥. 故选A. 【方法归纳】　本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 【例5】　甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲，乙两人间的距离为s(km)，行驶的时间为t(h)，s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)甲的速度为________km/h，乙的速度为________km/h； (2)求出图中a，b的值； (3)何时两人相距20 km? 【解题过程】　(1)由图象可得，A地与B地的距离是120千米，甲从A地到B地需要3小时，乙从B地到A地需要1.5小时， ∴甲骑摩托车的速度为120÷3＝40(千米/小时)，乙开汽车的速度为＝80(千米/小时)． 故填40，80. (2)由图象可知，行驶b小时，甲与乙两人相遇， ∴b＝120÷(40＋80)＝1，a＝40×1.5＝60. (3)设x小时后两人相距20 km， 当甲与乙两人相遇前相距20 km时，则(40＋80)x＝120－20，解得x＝； 当甲与乙两人相遇后相距20 km时，则(40＋80)x＝120＋20，解得x＝. 答：小时或小时后两人相距20 km. 【方法归纳】　一次函数的图象含有大量的有价值的信息，解题时要理解横纵坐标表示的含义，从函数图象中获取有价值的信息，正确地实现“形”和“数”的转换． 【例6】　在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程，其中我们通过描点或平移的方法画出函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝因此可以画出如图1所示的函数y＝|x|的图象．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx－2|＋b中，当x＝0时，y＝－2；当x＝2时，y＝－4. (1)求这个函数的表达式． (2)请在图2的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质． (3)已知函数y＝x－2的图象如图所示，结合(2)中所画的函数图象，直接写出不等式|kx－2|＋b<x－2的解集． 【解题过程】　(1)将x＝0，y＝－2和x＝2，y＝－4分别代入y＝|kx－2|＋b中， 得解得 ∴这个函数的表达式是y＝|x－2|－4. (2)y＝|x－2|－4＝函数图象如图： 函数的性质(写出一条即可)： ①当x＝2时，函数有最小值－4； ②当x>2时，函数值y随x的增大而增大； ③当x<2时，函数值y随x的增大而减小； ④函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线x＝2. (3)由图可得，不等式|kx－2|＋b<x－2的解集为0<x<6. 【方法归纳】　本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题时要注意数形结合思想的运用． 【例7】　“十一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y与检票时间x(min)的关系如图． (1)求a的值； (2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数； (3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问：检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 【解题过程】　(1)由图象知，640＋16a－2×14a＝520，解得a＝10. (2)设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 把点(10，520)和(30，0)分别代入，得 解得 ∴y＝－26x＋780．当x＝20时，y＝260. 即检票到第20 min时，候车室排队等候检票的旅客有260人． (3)设需同时开放n个检票口， 则由题意知，14n×15≥640＋16×15. 解得n≥4. ∵n为整数，∴n最小为5. 答：至少需要同时开放5个检票口． 【方法归纳】　解决本题的关键在于读懂题意，找出等量关系，列出方程组、不等式或函数关系式．要注意这类问题往往把不等式与函数结合，根据问题的整数解来解决实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$