第2章 专题强化2 共点力的动态平衡问题.-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考物理大一轮复习全新方案

hh 专题强化2 共点力的动态平衡问题 M/c6 题型一 解析法的应用 1.动态平衡 动态平衡就是通过控制某一物理量,使物 体的状态发生缓慢的变化,但变化过程中的每 一个状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡。 2.解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系 表达式。 (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的 变化情况。 【典例1】 (2023·海 南卷)如图所示,工 人利用滑轮组将重 物缓慢提起,下列 说法正确的是 ( ) A.工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B.工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一 对作用力与反作用力 C.重物缓慢拉起过程,绳子拉力变小 D.重物缓慢拉起过程,绳子拉力不变 %$3 1.(2024·山师大附中月考) 如图所示,物块 A 放在木 板上处于静止状态,现将木块B略向右移动 一些使倾角α减小,A仍保持静止,下列结论 正确的是 ( ) A.木板对A的作用力不变 B.木板对A的作用力减小 C.物块A与木板间的正压力减小 D.物块A所受的摩擦力不变 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型二 图解法的应用 1.特点 物体受三个力作用并处于平衡,一个力 恒定,另一个力的方向恒定时可用此法。 2.思路 (1)根据已知量的变化情况,画出平行四边形 (三角形)边、角的变化。 (2)确定未知量大小、方向的变化。 【典例2】 (2023·安徽A10 联盟联考)如图所示,小球 用细绳系住,绳的另一端固定于O 点。现用 水平力F 缓慢推动斜面体,小球在斜面上无 摩擦地滑动,细绳始终处于直线状态,当小 球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,在此 过程中斜面对小球的支持力FN 以及绳对小 球的拉力FT 的变化情况是 ( ) A.FN 保持不变,FT 不断增大 B.FN 不断增大,FT 不断减小 C.FN 保持不变,FT 先增大后减小 D.FN 不断增大,FT 先减小后增大 %$3 2.(2023·北京房山区一模)某同学用如图所示 的实验装置验证“力的平行四边形定则”。将 弹簧测力计A挂于固定点P,下端用细线挂 一重物 M,弹簧测力计B的挂钩处系一细线, 把细线的另一端系在弹簧测力计A下端细线 上的O 点处,手持弹簧测力计B水平向左拉, 使O 点缓慢地向左移动,且总保持弹簧测力 计的拉力方向不变,不计弹簧测力计所受的 重力,两只弹簧测力计的拉力均不超出它们 的量程,弹簧测力计A、B的示数FA、FB 的变 化情况是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 038 第二章 相互作用 A.FA 一直减小,FB 一直增大 B.FA 一直增大,FB 一直增大 C.FA 一直增大,FB 先增大后减小 D.FA 先减小后增大,FB 一直增大 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型三 相似三角形法 1.特点 在三力平衡问题中,若一个力的大小、方 向不变,另外两个力的方向都改变。 2.思路 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的 力的三角形和空间几何三角形,确定对应边, 利用三角形相似知识列出比例式。 (2)确定未知量大小的变化情况。 【典例3】 如图所示,质量均可忽 略的轻绳与轻杆承受弹力的最 大值一定,杆的A 端用铰链固 定,光滑轻质小滑轮在A 点正 上方,B 端吊一重力为G 的重 物。现将绳的一端拴在杆的B 端,用拉力F 将B 端缓慢上拉,在AB 杆达到竖直前(均 未断),关于绳子的拉力F 和杆受的弹力FN 的变化,下列判断正确的是 ( ) A.F 变大 B.F 变小 C.FN 变大 D.FN 变小 %$3 3.(2023·湖北黄冈中学第三次模 拟)如图所示,质量为m 的小球 套在竖直固定的光滑圆环上,在 圆环的最高点有一个光滑小孔, 一根轻绳的下端系着小球,上端穿过小孔用 力拉住。开始时绳与竖直方向的夹角为θ,小 球处于静止状态,现缓慢拉动轻绳,使小球沿 光滑圆环上升一小段距离,下列说法正确的是 ( ) A.小球沿光滑圆环上升过程中,轻绳拉力先 变大后变小 B.小球沿光滑圆环上升过程中,轻绳拉力逐 渐增大 C.小球沿光滑圆环上升过程中,小球所受支 持力逐渐增大 D.小球沿光滑圆环上升过程中,小球所受支 持力大小不变 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型四 辅助旋转圆法 1.特点 在三力平衡问题中,如果有一个力是恒 力,另外两个力的方向都变化,但夹角不变, 且题目给出了空间几何关系,可用辅助圆法。 2.思路 画出三力的矢量三角形的外接圆,不变 力为一固定弦,因为固定弦所对的圆周角大 小始终不变,改变一力的方向,可得另一力大 小、方向的变化情况。 【典例4】 (多选)如图所示,柔软轻绳ON 的一 端O 固定,其中间某点 M 拴一重物,用手拉 住绳的另一端N。初始时,OM 竖 直且MN 被拉直,OM 与MN 之 间的夹角为αα> π 2 。现将重物 向右上方缓慢拉起,并保持夹角α 不变。在OM 由竖直被拉到水平的过程中 ( ) A.MN 上的张力逐渐增大 B.MN 上的张力先增大后减小 C.OM 上的张力逐渐增大 D.OM 上的张力先增大后减小 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 039 hh %$3 4.如图是一个水平传感器的简易 模型,其截面为内壁光滑竖直 放置的正三角形,内部有一个 略小于三角形内切圆的小球, 三角形各边有压力传感器,通过测出小球对 三边压力的大小,信息处理单元可显示摆放 处的倾角。图中BC 边恰好处于水平状态,现 将其以C 为轴在竖直平面内顺时针缓慢转 动,直到AB 边处于水平状态,在转动过程中 ( ) A.球对AC 边的压力一直增大 B.球对AC 边的压力一直减小 C.球对AC 边的压力先增大后减小 D.球对AC 边的压力先减小后增大 学习至此,请完成专题强化练2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系 AMc
-  1.实验原理 弹簧受到拉力作用会伸长,平衡时弹簧 的弹力和外力大小相等;弹簧的伸长量越大, 弹力也就越大。 2.实验器材 铁架台、弹簧、钩码、刻度尺、坐标纸。 3.实验步骤 (1)安装实验器材(如图所示)。 (2)测量弹簧的伸长量(或总长)及所受的拉 力(或所挂钩码的质量),列表作出记录,要尽 可能多测几组数据。 (3)根据所测数据在坐标纸上描点,以力为纵 坐标,以弹簧的伸长量为横坐标。 (4)按照在图中所绘点的分布与走向,尝试作 出一条平滑的曲线(包括直线),所画的点不 一定正好在这条曲线上,但要注意使曲线两 侧的点数大致相同。 (5)以弹簧的伸长量为自变量,写出曲线所代 表的函数,首先尝试一次函数,如果不行再考 虑二次函数。 4.数据处理 (1)列表法 将测得的F、x 填入设计好的表格中,可 以发现弹力F 与弹簧伸长量x 的比值在误差 允许范围内是相等的。 (2)图像法 以弹簧伸长量x 为横坐标,弹力F 为纵 坐标,描出F、x 各组数据相应的点,作出的拟 合曲线是一条过坐标原点的直线。 (3)函数法 弹力F 与弹簧伸长量x 满足F=kx 的 关系。 5.注意事项 (1)不要超过弹性限度:实验中弹簧下端挂的 钩码不要太多,以免弹簧被过度拉伸,超过弹 簧的弹性限度。 (2)尽量多测几组数据:要使用轻质弹簧,且 要尽量多测几组数据。 (3)观察所描点的走向:本实验是探究性实 验,实验前并不知道其规律,所以描点以后所 作的曲线是试探性的,只是在分析了点的分 布和走向以后才决定用直线来连接这些点。 (4)统一单位:记录数据时要注意弹力及弹簧 伸长量的对应关系及单位。 6.误差分析 (1)钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确带 来误差。 (2)画图时描点及连线不准确也会带来误差。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 参 考 答 案 第4讲 受力分析 共点力的平衡 􀪋􀪋 必备知识梳理 􀪋􀪋 1.(1)受力示意图 (2)①重力 ②弹力 ③摩擦力 2.(1)同一点 (2)匀速直线运动 (4)①相等 相反 ②相等 相反 三角形 ③相等 相反 概念辨析 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.× 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 考点一 受力分析 典例1 AD 对 A、B整体受力分析,如 图甲所示,受 到 向 下 的 重 力 和 向 上 的 推力F,由平衡条 件 可 知B与 墙 壁 之 间不可能 有 弹 力,因 此 也 不 可 能 有 摩 擦力,C错误;对B受力分析如图乙所 示,其受到重力、A对B的弹力及摩擦 力而处于平衡状态,故B受到三个力, B错误;对 A受力分析,如图丙 所 示, 受到重力、推力、B对 A的弹力和摩擦 力,共四个力,A、D正确。 对点演练 1.A 根据题意,翠鸟做加速直线运动, 所以翠鸟所受合力方向与速度方向相 同,根据 平 行 四 边 形 定 则 分 析 可 知 只 有A选项中,重力与F 的合力的方向 有可能与速度方向相同,B、C、D中 合 力的方向 一 定 与 速 度 方 向 有 夹 角,翠 鸟不可能做直线运动。所以 A正 确, B、C、D错误。 2.BD 轻质环a套在 杆上,不计摩擦,则 a静 止 时 细 绳 的 拉 力与杆对a的弹力 平衡,故 拉a的 细 绳与杆垂直,a受到 两个 力 作 用,A 错 误;对 b球 受 力 分 析 可 知,b受 到 重 力、绳 子 的 拉 力 和 杆对b球的弹力,3 个力的作用,B正确;以b为研究对象, 受力分析 如 图 所 示,根 据 几 何 关 系 可 得β=θ=30°,则细杆对b的作用力大 小FN 等于细绳对b的拉力大小FT, 则2FNcos 30°=mg,可得FN= 3 3mg , C错误;细 绳 对b的 拉 力 FT=FN= 3 3mg ,则 细 绳 对 a 的 拉 力 大 小 为 F'T= 3 3mg ,D正确。 考点二 共点力的静态平衡 典例2 AC 方法一:合成法 滑块受力 如 图 甲 所 示,由 平 衡 条 件 知 mg F =tan θ⇒F= mg tan θ ,FN= mg sin θ 。 方法二:效果分解法 将重力按 产 生 的 效 果 分 解,如 图 乙 所 示,F=G2= mg tan θ ,FN=G1= mg sin θ 。 方法三:正交分解法 将滑块受的力沿水平、竖直方向分解, 如 图 丙 所 示,mg =FNsin θ,F = FNcos θ,联 立 解 得 F= mg tan θ ,FN= mg sin θ 。 方法四:力的三角形法 如图丁所 示,滑 块 所 受 的 三 个 力 组 成 封闭三 角 形,解 直 角 三 角 形 得 F= mg tan θ ,FN= mg sin θ 。 对点演练 3.B 对 两 小 球 分 别 受 力 分 析,如 图 所 示,由 三 角 形 定 则,对 小 球 m1 有 m1g sin (90°-θ)= T sin α ,对 小 球 m2 有 m2g sin θ = T sin (180°-α) ,联 立 解 得 m1 m2 = 1 tan θ 。 4. 3 3 解析:方法一:正交分解法 甲 质量 为 m2 的 小 球 受 重力和细线的拉力处 于 平 衡 状 态,则 由 二 力平 衡 条 件 得 FT= m2g。以 质 量 为 m1 的小 球 为 研 究 对 象, 受 力 分 析 如 图 甲 所 示,以FN 的方向为y 轴,以垂直于FN 的方向为x 轴建立坐 标系。由几 何 关 系 知 FN 与 FT 的 夹 角为60°,m1g 与y 轴 成30°角。在x 轴方 向 上,由 物 体 的 平 衡 条 件 有 m1gsin 30°-FTsin 60°=0,解 得 m2 m1 = 3 3 。 方法二:合成法 乙 以质量 为 m1 的 小 球 为 研 究对 象,受 力 分 析 如 图 乙 所示,其受到重力 m1g、碗 对小球的支持力 FN 和细 线的拉力 FT 三力作 用 而 处于 平 衡 状 态,则 FN 与 FT 的合力 F=m1g,根据 几 何 关 系 可 知 m1g = 2FTsin 60°= 3m2g,所以 m2 m1 = 3 3 。 考点三 平衡中的临界极值问题 典例3 B 对石礅受力 分析如图所示,设两根 轻绳的合力为F,根据 平衡 条 件 有 Fcos θ= Ff,Fsin θ+FN=mg, 且Ff=μFN,联立可得 F = μ mg cos θ+μsin θ ,A 错误,B 正 确;上 式 变 形 得 F = μmg 1+μ2sin (θ+α) ,其 中tan α= 1 μ , 根据三角函数特点,由于θ的初始值不 知道,因此减小θ,轻绳的合拉力F 并 不一定减小,C错误;根据上述讨论,当 θ+α=90°时,轻绳的合拉力F 最小,而 摩擦力Ff=Fcos θ= μ mgcos θ cos θ+μsin θ= μmg 1+μtan θ ,可知增大夹角θ,摩擦力一 直减小,当θ 趋近 于90°时,摩 擦 力 最 小,故轻绳的合拉力F 最小时,地面对 石礅的摩擦力不是最小的,D错误。 典例4 A 对 小 球 A 受力分 析 可 知,因 O、 A间轻绳竖直,则A、B 间轻绳上的拉力为0。 对小球B受力分析 如 图所示,则可知当F 与 O、B间轻绳 垂 直 时 F 最小,Fmin=Gsin θ,其 中sin θ= l 2l= 1 2 ,则 Fmin= 1 2G ,A 正确。 典例5 mg 2(sin θ+μcos θ)≤N≤ mg 2(sin θ-μcos θ) 解析:筷 子 对 小 球 的压 力 太 小 时,小 球有 下 滑 的 趋 势, 最 大 静 摩 擦 力 沿 筷子 向 上,如 图 甲 所 示。 小 球 平 衡 时,有 2Nsin θ+ 2fcos θ=mg,f= μN,联立 解 得 N= mg 2(sin θ+μcos θ) 。 筷子对小球的压力太大时,小球有上滑 的趋势,最大静摩擦力沿筷子向下,如图 乙所示。小 球 平衡时,有 2N'sin θ=mg+2f'cos θ, f'=μN',联立解得 N'= mg 2(sin θ-μcos θ) ,综上,每 根筷子对小球的压力的取 值范围为 mg 2(sin θ+μcos θ) ≤N≤ mg 2(sin θ-μcos θ) 。 专题强化2 共点力的 动态平衡问题 􀪋􀪋 热点题型突破 􀪋􀪋 题型一 解析法的应用 典例1 B 对工人受 力 分 析 如 图 甲 所 示,有FN+FT=mg,其中工人对绳的 拉力和绳对工人的拉力是一对作用力 与反作用力,A错误,B正确。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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保持不变,C、D错误;由△F2FNB∽ △OBA 得 FN AB= F BO ,BO 变小,故F 一 直变小,A错误,B正确。 对点演练 3.D 对小球进行受力分析,受重力G= mg、轻绳拉力F 和圆环的弹力FN 三 力作用,如图所示,由平衡条件可知,重 力mg与弹力FN 的合力F'的大小等于 轻绳拉力F 的大小,方向与F'相反,由几 何知识可知△OAB∽△GF'A,有 mg R = F' AB= FN R ,可得F'= AB R mg ,FN=mg, 当小球沿光滑圆环上升时,即 A 点上 升时,半径R 不变,AB 减小,F'减小, 即F 减小,FN 不变,即支持力大小不 变,A、B、C错误,D正确。 题型四 辅助旋转圆法 典例4 AD 重物受 到重力 mg、OM 绳 的 拉 力 FOM 、MN 绳 的 拉 力 FMN 共 三个力的作用。在 缓慢 拉 起 过 程 中, 任一时刻都可认为 是平 衡 状 态,三 力 的合力恒为0。如图所示,由三角形定 则得一首 尾 相 接 的 闭 合 三 角 形,由 于 α> π 2 且 不 变,则 三 角 形 中 FMN 与 FOM 的交 点 在 一 个 优 弧 上 移 动,由 图 可以看出,在 OM 被 拉 直 到 水 平 的 过 程中,绳 MN 的拉力一直增大且恰好 达到最大 值,绳 OM 的 拉 力 先 增 大 后 减小,A、D正确,B、C错误。 对点演练 4.A 对正三角形内 部 的 小 球 受 力 分 析,如图所示,小球 受 重 力、BC 边 和 AC 边 的 支 持 力, 三力构成封闭矢量 三 角 形,且 FAC、 FBC 夹角始终为60°,矢量三角形在同 一外接圆上,且重力G 为固定弦,FBC 与竖直方向的夹角从0°变到60°,由图 知,FAC 一直变大,所以球对 AC 边的 压力一直增大,A正确。 实验二 探究弹簧弹力与 形变量的关系 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 考点一 教材原型实验 典例1 (1)见解析图 (2)5.15(5.10~ 5.25均可) 53.3(52.2~55.8均可) (3)不受影响 偏小 解析:(1)作出m x 图像如图: (2)根据图像数据确定:弹性绳原长约 为5.15 cm,弹 性 绳 的 劲 度 系 数 约 为 k= ΔF Δx= 120×10-3×10 (7.40-5.15)×10-2 N/m≈ 53.3 N/m。(3)若实验中刻度尺的零 刻度略高于弹性绳上端结点O,则由实 验数据 得 到 的 劲 度 系 数 将 不 受 影 响; 若实验中 刻 度 尺 没 有 完 全 竖 直,而 读 数时视线 保 持 水 平,则 测 得 的 弹 簧 伸 长量偏大,则 由 实 验 数 据 得 到 的 劲 度 系数将偏小。 对点演练 1.(1)13.70 见解析图 ①11.40 ②0.41 (2)不正确 两个劲度系数相同的弹 簧串联,施加外力后,与单独一个弹簧 相比等效伸长量变为原来的2倍,所以 劲度系数发生改变 解析:(1)由 题 图 甲 可 知,刻 度 尺 的 读 数为13.70 cm,描点连线得到的图像 如图所示。 ①弹力为0时,弹簧原长为11.40 cm。 ②根据胡克定律F=kx 可知,图像斜 率的物理意义为弹簧的劲度系数,则有 k= 2.73 18.00-11.40 N/cm≈0.41 N/cm。 (2)不 正 确。两 个 劲 度 系 数 相 同 的 弹 簧串联,施加外力后,与单独一个弹簧 相比等效伸长量变为原来的2倍,所以 劲度系数发生改变。 考点二 拓展创新实验 典例2 (1)见解析图 (2)4 200 解析:(1)描点作图,如图所示: (2)由(1)中 图 线 可 知 弹 簧 的 原 长 为 4 cm。由 胡 克 定 律 ΔF=kΔx 可 得, k= ΔF Δx= 10 5 N/cm=200 N/m。 典 例 3 (1)6.04 6.05 (2)3 (3)48.6 解析:(1)根 据 压 缩 量 的 变 化 量 为 ΔL3=L6-L3=(18.09-12.05) cm= 6.04 cm,压 缩 量 的 平 均 值 为ΔL= ΔL1+ΔL2+ΔL3 3 = 6.03+6.08+6.04 3 cm=6.05 cm。 (2)因三个ΔL 是相差3个钢球的压缩 量之差,则 所 求 平 均 值 为 管 中 增 加3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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