精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2024-2025学年高三上学期开学验收考试数学试题

佳木斯市第八中学2024-2025学年度（上）开学验收考试 高三数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 已函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 12 D. 18 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 7. 若函数（且）过定点，且在定义域上是减函数，则的图象是 A. B. C. D. 8. 设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 11. 定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. 是周期函数 B. 在（－1，1)上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点（2，0)对称 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是上的偶函数，且当时，，则_________. 13. 已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______. 14. 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过______．年，其残留量为初始量的（参考数据：，） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数解析式 （1）函数满足， 求函数的解析式; （2）函数满足，求函数的解析式. 16. 计算： （1）. （2） 17. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 18. 已知二次函数满足 (1)求函数的解析式； (2)令 若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围； 求函数在的最小值. 19. 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． （1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形； （2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳木斯市第八中学2024-2025学年度（上）开学验收考试 高三数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为； 故选：B 2. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 3. 已函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数解析式求得正确答案. 【详解】， . 故选：C 4. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由，变形代值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象及性质即可求出结果. 【详解】由指数函数和对数函数的图象及性质可知， 则， 故选：. 6. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 7. 若函数（且）过定点，且在定义域上是减函数，则的图象是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意可以知道,计算得出,所以,又因为是减函数,所以.此时也是单调减的,且过点.所以A选项是正确的符合题意.所以A选项是正确的. 8. 设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可. 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.令求解判断；B.分别令，求解判断；C.令利用函数奇偶性定义判断；D.令求解判断. 【详解】令，得，A正确. 令，得，所以. 令，得，所以，B正确. 令，得，所以是奇函数，C错误. 令，得，所以D正确. 故选：ABD 11. 定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. 是周期函数 B. 在（－1，1)上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点（2，0)对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用周期的定义判断，对于B，根据题意求出在的解析式，然后判断，对于C，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称轴，对于D，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称中心 【详解】对于A，因为定义在R上的奇函数满足， 所以，，所以， 所以是周期为4的周期函数，所以A正确， 对于B，当时，，则， 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以当时，为减函数，且当时，， 当时，为减函数，且当时，，所以在（－1，1)上不是单调递减，所以B错误， 对于C，因为是周期为4的周期函数，所以， 所以，即，所以的图象关于直线对称，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以，所以的图象关于点对称，即的图象关于点（2，0)对称，所以D正确， 故答案为：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是上的偶函数，且当时，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的偶函数，则， 由当时，，则， 所以. 故答案为： 13. 已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，然后可算出答案. 【详解】因为，是定义域为的奇函数， 所以 因为当时，有，所以 所以 故答案为： 14. 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过______．年，其残留量为初始量的（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，代入，根据指对互化和对数运算法则直接求解即可. 【详解】由题意知：当时，，； 当时，， ， . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数解析式 （1）函数满足， 求函数的解析式; （2）函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，用换元法进行求解； （2）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【小问1详解】 令，则(R)，又， 所以， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 ∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 16. 计算： （1）. （2） 【答案】（1）20 （2）-2 【解析】 【分析】根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。 【详解】（1） = （2）= 【点睛】本题考查指数与对数的运算，以及计算能力，（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可，属于基础题。 17. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 【答案】（1）或（2）当时，有最大值为，无最小值. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域的求法，则有求解. （2）利用换元法，令，将转化为二次函数 再求解. 【详解】（1）因为 所以 解得或 所以函数的定义域为 （2）令 可转化为 当 即时， 即的最大值为，无最小值. 【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的求法和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 已知二次函数满足 (1)求函数的解析式； (2)令 若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围； 求函数在的最小值. 【答案】（1）f（x）＝﹣x2+2x+15 （2）①m≤0，或m≥2 ②最小值 【解析】 【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得． （2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线， ①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2； ②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案． 【详解】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c， ∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1， ∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1； ∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15， ∴函数f（x）的表达式为f（x）＝﹣x2+2x+15； （2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线， ①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2； ②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x＝0时，函数g（x）取最小值﹣15； 当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x＝m时，函数g（x）取最小值﹣m2﹣15； 当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x＝2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11； ∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 19. 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． （1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形； （2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：． 【答案】（1） 证明：由题意，只需证明为奇函数，        又， 易知函数定义域为.，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形． （2）为减函数，当时，原不等式解集为或；       当时，原不等式解集为；       当时，原不等式解集为或． 【解析】 【分析】（1）由题，证明为奇函数即可； （2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知 ，后分类讨论的值解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知为增函数，且，对任意的恒成立， 所以为减函数. 又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即， 所以原不等式等价于， 所以，即， 由解得， 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为或． 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题. 本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $