精品解析：浙江省台州市玉环市楚门中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

2023年入学考试数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的"注意事项"，按规定答题 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再合并同类项即可. 【详解】由， 故选：D. 2. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差和平均数的意义，结合题设的实际场景即可判断. 【详解】水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个， 所以该顾客选购橘子的质量平均数>原有橘子的质量的平均数， 该顾客选购的橘子的质量的方差<原有橘子的质量的方差. 故选：C 3. 如图，在中，，，，把点绕点顺时针旋转到点，过点作的垂线，交的延长线于点，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知证明，再由勾股定理可得，最后再求出结果即可. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以， 又， 所以， 因为在中，，， 所以， 由全等可知， 所以， 故选：B. 4. 如图，四边形是菱形，，以点为圆心，为半径画弧线，分别交，于点，，连接，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质及等腰三角形性质得到各个角的度数，求出答案. 【详解】因为四边形是菱形，所以， 因为，所以，， 又，所以， 故 故选：A 5. 反比例函数，函数对应的值如下表，则下列判断正确的是（ ） 3 6 9 A B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】应用反比例函数解析式求出计算比较判断. 【详解】在上， 所以, 所以， 又，所以. 故选：C. 6. 如图，一套三角板沿着它们斜边叠放在一起，记其中一个三角板为，．记，将绕点顺时针旋转，使三角板的两个直角边贴合，则边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可得正确的选项. 【详解】当三角板的两个直角边贴合时，， 故扇形的面积为， 故选：B. 7. 若分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，再解分式方程得出，根据题意得到关于不等式组，并进行求解即可. 【详解】由方程，则，即， 对方程两边同时乘以，则可得，则， 因为分式方程的解为负数， 则，解得且. 故答案为：A. 8. 如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，可得四边形是菱形，进而可得是等边三角形，可求的大小. 【详解】连接， 因为四边形是平行四边形，， 所以四边形是菱形，所以， 又，所以是等边三角形，所以， 又因为平分，所以. 故选：D. 9. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】设出未知数，列出方程组，结合整数的性质进行求解即可. 【详解】设竖式和横式的两种无盖纸盒的数量分别为个， 则有， 因为都是正整数，因此是的倍数， 从选项来看，只有选项C是的倍数， 故选：C 10. 设二次函数（，是常数，，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，以下结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象上移得函数，根据条件可得的性质结合图象一一分析选项即可. 【详解】设函数，易知由向上平移2个单位即可得， 由题意可知，解之得， 若，，则， 易知当时，随x增大函数值减小， 而时，时， 时， 但不能确定是否小于零，所以A、B错误； 若，，同理可知时，， 时，，即，C正确，D错误， 故选：C 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 若式子有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据式子有意义，列不等式求解即可. 【详解】式子有意义，则，即. 故答案为： 12. 在一个不透明的口袋中有2个白球、2个黄球，除颜色外无其他差别，从袋子中摸出两个球，摸到两个都是黄球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出从袋子中摸出两个球的所有情况，根据概率知识即可求得答案. 【详解】设2个白球为1、2，2个黄球为a，b， 则从袋子中摸出两个球，情况为：，共6种， 其中两个都是黄球的情况有1种， 故摸到两个都是黄球的概率是， 故答案为： 13. 若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】分，分别求解，再根据元素的互异性即可得答案. 【详解】解：当时， 则不满足元素的互异性， 故； 所以，解得:(舍)或， 故实数的值为. 故答案为：2. 14. 把边长6cm的等边沿，方向分别平移2cm得到和，连接，，，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，先求出，根据平移的性质和，即可以求得，再根据，可以求得，即可求得阴影部分的面积. 【详解】过点作于，如下图所示： 因为是边长6cm的等边三角形， 所以 则， 在中，由勾股定理得： 所以，由平移性质得：， 所以，所以， 所以， 同理， 因为，，所以为等边三角形， 所以，所以，所以， ，则， 同理，所以阴影部分的面积为. 故答案： 15. 若，则的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】通过分离常数的方法将分式转化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】 （当且仅当，即时取等号） ，即的最小值为 故答案为 【点睛】本题考查分式最值的求解问题，关键是能够通过分离常数的方式将所求式子转化为符合基本不等式的形式，从而利用基本不等式求得和的最小值. 16. 如图，中，，，等边三角形的顶点，，分别在直角三角形的三边上，则长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为点到直线的距离，垂线段最短求解. 【详解】如图：取中点，连接，.过点做于点. 在中，，，所以，， 由. 因为为等边三角形，且为边的中点，所以，, 在中，因为为斜边的中点，所以. 又，所以. 故答案为： 三、解答题（本题有8小题，第题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】由根式，指数，特殊三角函数计算即可. 【详解】原式. 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法直接分解即可求得结果； （2）提取公因式进行化简整理可得结果. 【小问1详解】 由十字相乘法易知； 【小问2详解】 提取公因式可得， 即可得 19. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】204 【解析】 【分析】利用锐角三角函数解直角三角形即可. 【详解】 如图，作， 根据题意知，则米， 而，则米， 易知， 所以垂直高度约为204米. 20. 若，是关于的方程的两个实数根，且，都大于. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】（1）且；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用根分布可求实数的取值范围. （2）利用可以得到，利用韦达定理可构建关于的方程，解方程后结合（1）的结论可求实数的值. 【详解】（1）令，则有两个大于的零点， 所以，故且. （2）因为，故即， 所以，故，故或， 由（1）知，且，故. 【点睛】（1）知道两个根的关系，可以此关系构造两根之和、两个之积，再用韦达定理构造关于参数的方程即可. （2）一元二次方程的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则. ①由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图象的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组； ②动态检验指让图象上下平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制； ③结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件. 21. 如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若是的平分线，，，求的半径． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用同弧所对的圆周角相等，直径所对的角为直角等得到⊥，证明出结论； （2）由是的平分线和题目条件得到，故，再由，求出直径，进而求出半径. 【小问1详解】 连接，并延长并延长交于点，连接， 则， 又，故， 因为为直径，所以， 故，故⊥， 所以是的切线； 【小问2详解】 因为是的平分线，所以， 又，故， 又，所以， 因为，即，所以，解得， 故的半径为. 22. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： （1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． （2）估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； （3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据统计图表中的数据可以求得这组数据的中位数，得到答案； （2）根据表格中的数据，结合样本估计总体的知识分析，即可求解； （3）根据统计图表和表格中的数据，可以分别计算得出比赛前后的中位数和平均数，进而得到结论. 【小问1详解】 解：本次调查的学生有：（名）， 背诵4首的有：（人）， 把这些数据从小到大排列，中位数第60和61个数的平均数， 所以这组数据的中位数为（首）. 小问2详解】 解：根据题意，可得（人）， 即估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人. 【小问3详解】 解：活动启动之初一周诗词诵背数量的中位数为， 平均数为（首） 大赛比赛后一个月时一周诗词诵背数量的中位数为6首， 平均数为（首）， 由此，比赛前后的中位数和平均数看，学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于活动之初，根据样本估计总体，说明这次活动效果明显. 23. 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． （1）请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【小问1详解】 通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； 【小问2详解】 设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； 【小问3详解】 由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 24. 如图1，在菱形中，是边上的一点，过点作的平行线，过点作垂线，两线相交于点． （1）求证：， （2）求证：为等腰三角形； （3）如图2，连接交于点，交于点，连接， ①求证：； ②若，求的值，写出推理过程（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据内错角相等可得证明； （2）根据平行线的性质可得内错角或同位角相等，故可得证明； （3）可证，故可得的值. 【小问1详解】 由菱形可得，而，故， 所以. 【小问2详解】 延长至，则由可得， 而，故，故，故， 由菱形可得，故，故， 由，故，， 故为等腰三角形. 【小问3详解】 连接， ①由菱形可得为的垂直平分线，故， 故，故，故， 而由（2）可得，，故， 所以，故. ②由①可得， 因为，， 因为，故，而， 故，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年入学考试数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的"注意事项"，按规定答题 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，把点绕点顺时针旋转到点，过点作的垂线，交的延长线于点，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 如图，四边形是菱形，，以点为圆心，为半径画弧线，分别交，于点，，连接，，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数，函数对应的值如下表，则下列判断正确的是（ ） 3 6 9 A. B. C. D. 以上都有可能 6. 如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为，．记，将绕点顺时针旋转，使三角板的两个直角边贴合，则边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 用如图①中长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 设二次函数（，是常数，，已知函数图象经过点，，，设方程的正实数根为，以下结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 若式子有意义，则的取值范围为______． 12. 在一个不透明的口袋中有2个白球、2个黄球，除颜色外无其他差别，从袋子中摸出两个球，摸到两个都是黄球的概率是______． 13. 若，则实数的值为______. 14. 把边长6cm的等边沿，方向分别平移2cm得到和，连接，，，则图中阴影部分面积为______． 15. 若，则的最小值为________. 16. 如图，中，，，等边三角形的顶点，，分别在直角三角形的三边上，则长的最小值是______． 三、解答题（本题有8小题，第题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分） 17. 计算： 18. 因式分解： （1） （2） 19. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 20. 若，是关于的方程的两个实数根，且，都大于. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值. 21. 如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足． （1）求证：是切线； （2）若是平分线，，，求的半径． 22. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： （1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． （2）估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上人数； （3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 23. 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． （1）请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 24. 如图1，在菱形中，是边上的一点，过点作的平行线，过点作垂线，两线相交于点． （1）求证：， （2）求证：为等腰三角形； （3）如图2，连接交于点，交于点，连接， ①求证：； ②若，求的值，写出推理过程（结果用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$