1.1.1：空间向量及其线性运算（6大题型）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1：空间向量及其线性运算 【考点归纳】 考点一、向量概念 考点二、空间向量的加减运算 考点三：空间共线向量定理 考点四、空间共面的向量定理 考点五：空间向量的数乘运算 考点六：空间向量线性运算综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1． 定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【例题详解】 题型一、空间向量概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．下列说法正确的是（    ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 3．下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 题型二、空间向量的加减运算 4．已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（ ） A． B． C． D． 题型三：空间共线向量定理 7．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 8．已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四、空间共面的向量定理 10．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 11．已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 题型五：空间向量的数乘运算 13．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 15．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 题型六：空间向量线性运算综合问题 16．如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 17．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 18．在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【高分演练】 一、单选题 19．下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 20．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 21．在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 22．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 23．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 24．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 25．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 26．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 二、多选题 27．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 28．在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 29．如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 30．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 三、填空题 31．已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 . 32．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 33．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 34．如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    四、解答题 35．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)；(2)；(3). 36．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．    证明：C，E，F，G四点共面． 37．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 38．已知､､是不共面的向量，且，，，. (1)判断P､A､B､C四点是否共面； (2)能否用､､表示？并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1：空间向量及其线性运算 【考点归纳】 考点一、向量概念 考点二、空间向量的加减运算 考点三：空间共线向量定理 考点四、空间共面的向量定理 考点五：空间向量的数乘运算 考点六：空间向量线性运算综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1． 定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【例题详解】 题型一、空间向量概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】 根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项； 【详解】对A，零向量的相反向量是本身，故A错； 对B，终点构成一个球，故B错； 对C，向量不能比较大小，故C错； 对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确； 故选：D 3．下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 题型二、空间向量的加减运算 4．已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解. 【详解】因为四面体中，是的中点， 所以. 故选：B. 5．在三棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】连接，根据向量的运算法则，可得. 故选：B. 6．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用向量的加法运算得答案. 【详解】连接， 因为为的中点，所以， 所以， 故选：A. 题型三：空间共线向量定理 7．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则解得： 故选：A. 8．已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 9．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 题型四、空间共面的向量定理 10．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 11．已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由点在平面内，可知， 又， 所以，三项相加可得. 故选：B. 12．在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 题型五：空间向量的数乘运算 13．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 14．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解. 【详解】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则. 故选：D. 15．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：A. 题型六：空间向量线性运算综合问题 16．如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 17．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 18．在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0(2)6 【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 【高分演练】 一、单选题 19．下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 20．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 21．在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 22．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 23．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 24．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 25．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 在三棱柱中，，， 依题意， 故选：A. 26．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 二、多选题 27．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D. 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误. 故选：BC. 28．在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 29．如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算判断即可得出结果. 【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点， ， ，所以选项D正确； 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C正确， 故选：CD. 30．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 31．已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 . 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】因为于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 32．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 33．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解. 【详解】由， 得， 即， 又，，，四点共面， 即，，共面， 所以存在唯一实数对，使， 所以， 解得， 故答案为：. 34．如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    【答案】 【分析】确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 四、解答题 35．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    36．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．    证明：C，E，F，G四点共面． 证明：由（1）得：．                             令，即 ，解得， ． 故C，E，F，G四点共面． 37．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 38．已知､､是不共面的向量，且，，，. (1)判断P､A､B､C四点是否共面； (2)能否用､､表示？并说明理由. 【答案】(1)不共面 (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用反证法判断出四点不共面. （2）结合平面向量的线性运算，用､､表示出. 【详解】（1）假设P､A､B､C四点共面，则存在实数x､y､z， 使，且， 即. 比较对应的系数，得到关于x､y､z的方程组， 解得，这与矛盾， 故P､A､B､C四点不共面； （2）能用､､表示，理由如下： 若､､共面，则存在实数m､n，使， 同（1）可证，､､不共面，即是向量､与的线性组合， 令，，， 由，得， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$