精品解析：湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（A卷）

海谊中学高一年级期末考试数学A卷 一、单选题（每题3分，共计24分） 1. 已知向量，，若与同向共线，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得. 【详解】因为向量，， 由，可得或， 当时，，，，满足题意， 当时，，，，不满足题意， 所以. 故选：A. 2. 不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ） A. 一定是全等三角形 B. 一定是相似但不全等的三角形 C. 一定是相似或全等的三角形 D. 可能不全等或相似 【答案】C 【解析】 【分析】根据等角定理，即可判断选项. 【详解】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等. 故选：C 3. 已知直线AB是平面的斜线，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线都与直线AB异面 B. 内的任意一条直线都与直线AB垂直 C. 过直线AB存在一个平面与垂直 D. 过直线AB存在一个平面与平行 【答案】C 【解析】 【分析】 利用线面，面面关系注意判断即可． 【详解】在内过斜足的直线与直线相交．则A错误； 内有无数条直线与直线垂直．这无数条直线都与斜线在内的射影垂直．而“无数”不等价于“任意”，则B错误； 斜线与它在内的射影构成一个平面，该平面与垂直，则C正确； 由于斜线与相交，过斜线的平面一定与相交，则D错误， 故选：C． 4. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ） A. 6.4 B. 6.6 C. 6.7 D. 6.8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出所有人的平均工资，结合方差公式计算即可求解. 【详解】所有人的平均工资为千元， 故该公司所有员工工资的方差为 . 故选：D． 5. 是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数除法及模运算，结合共轭复数及复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，得. 则.则其在第三象限. 故选：C 6. 如图，正方体中与直线成异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为直线与直线不同在任意一个平面，所以直线与直线是异面直线，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 7. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数至多有一个零点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数至多有一个零点，求得，得到的取值有1，2，共2个可能结果，结合古典概型及概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，抛掷一枚质地的均匀的骰子，正面向上的点数包含6个可能结果， 又由函数至多有一个零点，则，解得， 又因为为正整数，故的取值有1，2，共2个可能结果， 所以函数至多有一个零点的概率为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，解题时准确找出试验包含的基本事件的个数，求得函数至多一个零点所包含的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8. 在平行四边形中，，，，点，分别在，边上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以、为基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】解：，； ，； ，； ． 故选：C． 二、多选题（每题4分，共3题，部分选对得3分，错选不得分） 9. 在中，，，，则角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理可求得，由的范围可确定所有可能的取值. 【详解】由正弦定理得：，， 又，， ，或. 故选：BC. 10. 下列说法错误的有（ ） A. 如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同 B. 在中，必有 C. 若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D. 向量的夹角为，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的求法判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：对于A：非零向量与的方向相同或相反， 那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故A错误； 对于B：在中，必有，故B正确； 对于C：若，则，B，C一定为一个三角形的三个顶点， 或A、B、C三点共线时，也成立，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AC． 11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 多面体是棱台 D. 平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由线面平行即可判断A；由线面垂直即可判断B；由棱台的定义即可判断C；由平面截正方体所得截面的作图即可判断D． 【详解】对于A，取中点，连接， 由正方体得四边形为平行四边形，所以， 因为点为的中点，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，取中点，连接，则，所以， 所以，所以， 由正方体得，平面，又平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误； 对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确； 对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面， 因为，所以，， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以， 因为，， 所以，故D错误； 故选：AC． 三、填空题（每题4分，共计12分） 12. 三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个． 【答案】1或3 【解析】 【分析】讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数. 【详解】当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面； 当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面. 故答案为：1或3 13. 已知，若向量满足，则在方向上的投影为________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直关系得到，根据投影公式可求得结果. 【详解】由得：，即， 在方向上的投影为：. 故答案为：. 14. “田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、， 所有比赛的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共种. 若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马参加. 就会出现两种比赛方式：、、和、、，其中田忌能获胜的为、、， 故此时田忌获胜的概率最大为. 故答案为：. 四、解答题（15题10分，16题10分，17题10分，18题10分，19题12分） 15. （1）已知向量，，，求； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算计算即可； （2）根据向量的线性运算计算即可． 【详解】（1），，， ,, ,,,,； （2） ． 16. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 24 2 合计 1 （1）写出表中、及图中的值（不需过程）； （2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数； （3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01） 【答案】（1），， （2）人 （3）中位数是． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表求出、、，结合频率分布直方图求出； （2）由频率估计人数； （3）根据中位数计算规则计算可得. 【小问1详解】 由频率分布表可得，， 所以，． 【小问2详解】 因为该校高三年级学生有人，在上的频率是， 所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为人． 【小问3详解】 因为且， 所以中位数在区间上， 因为中位数及前面的数的频率之和为，设样本中位数为， 则，解得． 估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数是． 17. 在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，． （1）求证：△为等腰三角形； （2）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h． 条件①：△的面积为； 条件②：△的周长为20． 【答案】（1）证明：因为，由余弦定理可得：，又，设， 则，解得（舍）或， 故△为等腰三角形，即证. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合，求得，通过判断，即可证明； （2）选择①，根据结合面积公式，求得；再根据等面积法即可求得； 选择②，根据三角形周长结合等量关系，求得，再根据等面积即可求得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 选①：△的面积为， 由，可得，又，故， 则，又，故可得，又，则， 因为AC边上的高为h，故，故可得； 选②：△的周长为20， 则，即，结合可得， 由，可得，又，故， 则，即，解得. 综上所述，选择①②作为条件，均有. 18. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表： 分数段 人数 1 1 1 2 2 2 1 规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率． （1）此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？ （2）在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率． 【答案】（1）0.3 （2）0.6 【解析】 【分析】（1）由80分及以上的学生人数与抽取的总人数的比值进行求解； （2）列举法求解古典概率求概率公式. 【小问1详解】 ∵80分及以上为优秀， ∴， ∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3． 【小问2详解】 ∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为， ∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b；在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E． 从a，b，C，D，E中随组抽取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种， 其中良好和优秀各1人的有：，，，，，，共6种． ∴良好和优秀各1人的概率为． 19. 已知为坐标原点,,,若 (1)求函数的对称轴方程; (2)当时,若函数有零点,求的范围. 【答案】（1），（2）． 【解析】 【分析】（1）先利用数量积的坐标表示以及三角恒等变换化简三角函数得，再根据正弦函数的对称性即可得出结论； （2）由题意得有解，求出函数在区间上的值域即可得出结论． 【详解】解:（1），， ， 对称轴方程为， 即； （2）,有零点，， ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海谊中学高一年级期末考试数学A卷 一、单选题（每题3分，共计24分） 1. 已知向量，，若与同向共线，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0或3 2. 不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ） A. 一定是全等三角形 B. 一定是相似但不全等的三角形 C. 一定是相似或全等的三角形 D. 可能不全等或相似 3. 已知直线AB是平面的斜线，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线都与直线AB异面 B. 内的任意一条直线都与直线AB垂直 C. 过直线AB存在一个平面与垂直 D. 过直线AB存在一个平面与平行 4. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ） A. 6.4 B. 6.6 C. 6.7 D. 6.8 5. 是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，正方体中与直线成异面直线的是（ ） A. B. C. D. 7. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数至多有一个零点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，，，点，分别在，边上，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题4分，共3题，部分选对得3分，错选不得分） 9. 在中，，，，则角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的有（ ） A. 如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同 B. 在中，必有 C. 若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D. 向量的夹角为，，则 11. 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 多面体是棱台 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题（每题4分，共计12分） 12. 三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个． 13. 已知，若向量满足，则在方向上的投影为________. 14. “田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________. 四、解答题（15题10分，16题10分，17题10分，18题10分，19题12分） 15. （1）已知向量，，，求； （2）化简：． 16. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 24 2 合计 1 （1）写出表中、及图中的值（不需过程）； （2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数； （3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01） 17. 在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，． （1）求证：△为等腰三角形； （2）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h． 条件①：△的面积为； 条件②：△的周长为20． 18. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表： 分数段 人数 1 1 1 2 2 2 1 规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率． （1）此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？ （2）在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率． 19. 已知为坐标原点,,,若 (1)求函数的对称轴方程; (2)当时,若函数有零点,求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $