精品解析：陕西省教育联盟2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

2025届高三第一次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. 8 B. C. D. 6. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，上的动点（不包括端点），若，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为-1，则下列说法正确的是（ ） A. 的所有零点之和是6 B. C. D. 11. 已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线过点 C. 若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为 D. 若曲线在的上方，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________． 13. 在中，已知，为线段的中点，若，则______． 14. 已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有__________个， 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若的面积为，求的长. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 17. 如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点． 19. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为. （1）试求，的值； （2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系； （3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而可得. 【详解】,， 所以， 故选：B． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求，再根据复数的模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程，将点的坐标代入，求得参数，即可得答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 故可设双曲线方程为， 又经过点，故， 故双曲线方程为， 故选：A 4. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 5. 已知，，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切函数的和角公式，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 6. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 8. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，上的动点（不包括端点），若，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得为三棱锥的高，设，，由 表示出锥体的体积，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】在直三棱柱中，平面， 故为三棱锥的高， 设，，则， 由，得，故， 则， 故， 故当时，三棱锥的体积有最大值． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】因为．所以．故A错误； 若与互斥．则，故B正确； 因为．所以与相互独立．故C正确： 因为与相互独立．所以． 所以，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为-1，则下列说法正确的是（ ） A. 的所有零点之和是6 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故A正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以B正确，C､D错误. 故选：AB. 11. 已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线过点 C. 若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为 D. 若曲线在的上方，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，可得判定A错误；把点代入圆的方程，可判定B正确；，所以圆过点，所以B正确；设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，求得的坐标，代入，可判定C正确；根据圆与抛物线的位置关系，联立方程组，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误； 对于B中，圆的标准方程为：， 点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确； 对于C中，设被所截得的线段为，中点为， 联立方程组，整理得，可得， 则，故，所以， 代入，可得，解得，所以C正确； 对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________． 【答案】50 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可. 【详解】先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78． 共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为． 故答案为：50 13. 在中，已知，为线段的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，在中，已知，则， 由于为线段的中点， 则， 又，、不共线，故，， 所以． 故答案为：． 14. 已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有__________个， 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的解析式为，画出与在区间上的图象，结合图象，即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以， 因为在轴右侧的第一个零点为所以， 解得，所以， 画出与在区间上的图象，如图所示， 由图可知曲线与的交点有6个. 故答案为：6. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若的面积为，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和的性质，以及正弦定理，得到，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，利用面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 因为 所以， 又由正弦定理得，根据余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：因为的面积为， 可得，所以， 由余弦定理可知，所以. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可； （2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 则，因为函数在点处的切线与直线垂直， 故，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得或，令得或，令得， 列表如下： 3 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故的单调递减区间为和，单调递增区间为， 的极大值为，极小值为. 17. 如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 设是的中点，连接， 因为是的中点，则. 因为，所以，所以. 因为平面，平面， 所以， 由平行六面体的性质可得：， 所以. 又因为，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，先根据题目条件得出，，进而得出；根据线面垂直的性质和平行六面体的性质得出；再根据线面垂直的判定定理得出平面；最后根据线面垂直的性质可得出. （2）先建立空间直角坐标系，写出平面与平面的法向量；再根据空间面面所成角的向量计算方法求出平面与平面的夹角的余弦值，进而可得夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 则四边形是正方形， 结合（1）的结论可知，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设， 则，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则 令，可得. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以， 即平面与平面的夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知，由题意可知直线的斜率不为0，否则位于轴同侧，，不符合题意； 设的方程为，代入，得 ， 由， 设，则， 所以， ， 直线的方程为，令，得， 故，同理可得， 所以， 由，得， 即，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解之即可得解； （2）显然斜率不为0且不过点，从而可设的方程为，，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可用表示出，由三点共线、三点共线可用表示出的坐标，从而由可得一个关于的条件等式，化简即可得解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为. （1）试求，的值； （2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系； （3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和. 【答案】（1）， （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）由欧拉函数的定义，求和的值； （2）由素数的性质和欧拉函数的定义，求，探究与和的关系； （3）求数列的通项，错位相减法求. 【小问1详解】 易得， 不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则， 不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则， 不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则， 所以，. 【小问2详解】 在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个， 因此. 由p，q是两个不同的素数，得，， 在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个， 于是， 所以. 【小问3详解】 根据（2）得， 所以， ， 两式相减，得， 所以， 故. 【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $