专题14　最值问题探究 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题14　最值问题探究 【知识梳理】 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，距离最近、花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题．由于最值问题灵活多变，故解决这类问题必须掌握一定的方法和技巧．本专题对求最值的一些常用方法作一些归纳： 一、运用变换求最值； 二、运用基本不等式求最值； 三、借用取值范围求最值； 四、利用一次函数的增减性求最值(具体略)． 【例题探究】 一、运用变换求最值 几何问题的最值，通常利用变换，如对称变换、平移变换、旋转变换，把问题转化为两点之间，线段最短问题来解决．下面先介绍一个重要的结论： 如图，在直线l的同侧有两个定点A，B，点P是直线l上的动点，试确定点P的位置，使PA＋PB的值最小． 【解】　画点A关于直线l的对称点C，连结BC，交直线l于点P，则点P就是所求的点．这时PA＋PB＝PC＋PB＝BC为最小． 证明：在l上任取一点P1(异于点P)，连结P1A，P1B，P1C. 因为P1A＋P1B＝P1C＋P1B>BC(两点之间线段最短)，所以结论成立． 【例1】　如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1．若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】　由正方形的对称性知点A关于直线BD的对称点为C，连结AC，CE，CE交BD于点P，此时AP＋PE的值最小，AE为定值，即△PAE的周长最小，只要求出CE的长，即可得出答案． 【例2】　如图，∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为8 cm，点M，N分别是射线OA，OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为________cm. 【思路点拨】　设点P关于OA的对称点为点C，关于OB的对称点为点D，当点M，N在CD上时，△PMN的周长最小． 【例3】　求函数y＝＋的最小值． 【思路点拨】　y＝＋．如图，建立平面直角坐标系，点P(x，0)是x轴上一点，则可以看成点P与点A(－2，1)的距离，可以看成点P与点B(2，2)的距离，所以y＝PA＋PB，只要求出PA＋PB的最小值即可． 【例4】　在平面直角坐标系中，将长方形OABC如图放置，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OA＝6，OC＝4，点D为OC的中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是(　　) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(2，0) 【思路点拨】　将线段FB向左平移2个单位长度得到线段EB′，作点D关于x轴的对称点D′(0，－2)，连结B′D′，与x轴的交点为E，此时四边形BDEF的周长最小，求出直线B′D′的解析式即可解决问题． 二、运用基本不等式求最值 【例5】　阅读与应用：我们知道(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，所以我们可以得到a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)． 类比学习：若a和b为实数且a>0，b>0，则必有a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 其证明如下： ∵(－)2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2(当且仅当a＝b时，有a＋b＝2)． 例如：求y＝x＋(x>0)的最小值，则y＝x＋≥2＝2，此时当且仅当x＝，即x＝1时，y的最小值为2. (1)阅读上面材料，当a＝________时，则代数式a＋(a>0)的最小值为________； (2)求y＝(m>－1)的最小值，并求出当y取得最小值时m的值； (3)若0≤x≤4，求代数式的最大值，并求出此时x的值． 【思路点拨】　(1)根据阅读材料提供的方法求解即可；(2)先把原式变形成y＝＝(m＋1)＋，再用材料中提供的方法求解；(3)根据x＋(4－x)≥2，可求得的最大值，进而求得的最大值． 三、借用取值范围求最值 【例6】　设a，b，c，d均为整数，b为正整数，且三条直线y＝(a＋b)x－c，y＝(b＋c)x－d，y＝(c＋d)x－a均与x轴相交于点(1，0)，则a＋b＋c＋d的最大值是(　　) A．－1 B．－5 C．0 D．1 【思路点拨】　将点(1，0)分别代入三条直线，可得a＋b－c＝0，b＋c－d＝0，c＋d－a＝0，通过各式的加减，将a＋b＋c＋d转化为关于b的关系式，再根据b为正整数，即可求出a＋b＋c＋d的最大值． 【例7】　设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，则x1＋x2＋x3的最大值是________． 【思路点拨】　由题意可得，x2≥x1＋1，x3≥x1＋2，x4≥x1＋3，x5≥x1＋4，x6≥x1＋5，x7≥x1＋6，根据x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159可求得x1的最大值，同理可求得x2，x3的最大值，相加即可． 四、枚举、排序与讨论相结合求最值 【例8】　设x，y都是正整数，且使＋＝y，则y的最大值是________． 【思路点拨】　因为x，y是正整数，且x在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法将它进行有理化处理． 【例9】　已知自然数x1，x2，x3，x4，x5满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x1x2x3x4x5，求x5的最大值． 【思路点拨】　因为x1，x2，x3，x4，x5都是自然数，从而有≤≤≤，同样可以得到类似此式的许多不等式链． 【答案解析】 【知识梳理】 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，距离最近、花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题．由于最值问题灵活多变，故解决这类问题必须掌握一定的方法和技巧．本讲对求最值的一些常用方法作一些归纳： 一、运用变换求最值； 二、运用基本不等式求最值； 三、借用取值范围求最值； 四、利用一次函数的增减性求最值(具体略)． 【例题探究】 一、运用变换求最值 几何问题的最值，通常利用变换，如对称变换、平移变换、旋转变换，把问题转化为两点之间，线段最短问题来解决．下面先介绍一个重要的结论： 如图，在直线l的同侧有两个定点A，B，点P是直线l上的动点，试确定点P的位置，使PA＋PB的值最小． 【解】　画点A关于直线l的对称点C，连结BC，交直线l于点P，则点P就是所求的点．这时PA＋PB＝PC＋PB＝BC为最小． 证明：在l上任取一点P1(异于点P)，连结P1A，P1B，P1C. 因为P1A＋P1B＝P1C＋P1B>BC(两点之间线段最短)，所以结论成立． 【例1】　如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1．若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解题过程】　由正方形的对称性知点A关于直线BD的对称点为C，连接AC，CE，CE交BD于点P，如图． ∵四边形ABCD是正方形，边长为4，AE＝1， ∴∠CBE＝90°，BE＝3，∴CE＝＝5. ∵AP＝PC，∴△PAE周长的最小值是AP＋PE＋AE＝CE＋AE＝5＋1＝6. 故选D. 【方法归纳】　本题可转化为“在直线BD同侧有两个定点A，E，点P是直线BD上的动点，求PA＋PE的最小值”，利用上面的重要结论即可解决． 【例2】　如图，∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为8 cm，点M，N分别是射线OA，OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为________cm. 【解题过程】　如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，分别交OA，OB于点M，N，连结OC，OD，PM，PN. ∵点P关于OA的对称点为点C， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA. ∵点P关于OB的对称点为点D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB. ∴OC＝OD＝OP＝8 cm， ∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°. ∴△COD是等边三角形．∴CD＝OC＝OD＝8 cm. ∴△PMN的周长的最小值为PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＝CD＝8(cm)． 故填8. 【方法归纳】　本题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识． 【例3】　求函数y＝＋的最小值． 【解题过程】　如图，设点A关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，连结A′B，与x轴交于点P，点P就是使PA＋PB的值最小的位置，最小值为A′B的长度．为此，构造Rt△A′CB．因为A′C＝4，CB＝3，所以A′B＝＝5，即函数y＝＋的最小值为5. 【例4】　在平面直角坐标系中，将长方形OABC如图放置，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OA＝6，OC＝4，点D为OC的中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是(　　) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(2，0) 【解题过程】　如图，将线段FB向左平移2个单位长度得到线段EB′，此时B′(4，4)，作点D关于x轴的对称点D′(0，－2)，连结B′D′，与x轴的交点为E，此时四边形BDEF的周长最小． 设直线B′D′的表达式为y＝kx＋b. 把点B′(4，4)，D′(0，－2)分别代入，得解得 ∴直线B′D′的表达式为y＝x－2. 令y＝0，得x＝. ∴点E的坐标为(，0)． 故选B. 【方法归纳】　要求周长的最小值，关键是要分析出确定边长和变化边长．本题的实质是用了两次变换：平移变换和轴对称变换． 二、运用基本不等式求最值 【例5】　阅读与应用：我们知道(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，所以我们可以得到a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)． 类比学习：若a和b为实数且a>0，b>0，则必有a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 其证明如下： ∵(－)2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2(当且仅当a＝b时，有a＋b＝2)． 例如：求y＝x＋(x>0)的最小值，则y＝x＋≥2＝2，此时当且仅当x＝，即x＝1时，y的最小值为2. (1)阅读上面材料，当a＝________时，则代数式a＋(a>0)的最小值为________； (2)求y＝(m>－1)的最小值，并求出当y取得最小值时m的值； (3)若0≤x≤4，求代数式的最大值，并求出此时x的值． 【解题过程】　(1)∵a＋≥2＝4， ∴当a＝2时，代数式a＋(a>0)的最小值为4. 故填2，4. (2)∵y＝＝＝(m＋1)＋，m>－1 ∴y≥2＝8， 当且仅当m＋1＝，即m＝3时，y的最小值为8. ∴当m＝3时，y取得最小值8. (3)∵0≤x≤4， ∴x＋(4－x)≥2， ∴≤2， ∴＝·≤2， 当且仅当x＝4－x，即x＝2时，的最大值为2， ∴当x＝2时，的最大值为2. 【方法归纳】　不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有： (1)a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b时等号成立)；(2)若a>0，b>0，则a＋b≥2(当且仅当 a＝b时等号成立)． 三、借用取值范围求最值 【例6】　设a，b，c，d均为整数，b为正整数，且三条直线y＝(a＋b)x－c，y＝(b＋c)x－d，y＝(c＋d)x－a均与x轴相交于点(1，0)，则a＋b＋c＋d的最大值是(　　) A．－1 B．－5 C．0 D．1 【解题过程】　将点(1，0)分别代入三条直线，可得a＋b－c＝0，b＋c－d＝0，c＋d－a＝0， ∴a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a. 解得a＝－3b， ∴a＋b＋c＋d＝a＋b＋a＝2a＋b＝－5b. ∵b为正整数，∴b≥1. ∴当b＝1时，a＋b＋c＋d取得最大值，为－5．故选B. 【方法归纳】　本题考查一次函数图象上点的坐标特征．把a＋b＋c＋d的式子通过消元转化为关于b的关系式是解题的关键． 【例7】　设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，则x1＋x2＋x3的最大值是________． 【解题过程】　∵x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7， ∴x2≥x1＋1， ∴x3≥x2＋1≥x1＋2， 同理，x4≥x1＋3，x5≥x1＋4，x6≥x1＋5，x7≥x1＋6， ∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159， ∴x1＋(x1＋1)＋(x1＋2)＋(x1＋3)＋(x1＋4)＋(x1＋5)＋(x1＋6)≤159， 解得x1≤19， ∴x1的最大值为19， ∴x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝140， ∴x2＋(x2＋1)＋(x2＋2)＋(x2＋3)＋(x2＋4)＋(x2＋5)≤140， 解得x≤20， ∴x2的最大值为20， 同理可得x3的最大值为22， ∴x1＋x2＋x3的最大值是61. 【方法归纳】　要使x1＋x2＋x3最大，先用不等式的性质求出x1的最大值，再用同样方法求出x2、x3的最大值．这里要用到这样一个技巧：若整数x1，x2满足x1<x2，则x1＋1≤x2. 四、枚举、排序与讨论相结合求最值 【例8】　设x，y都是正整数，且使＋＝y，则y的最大值是________． 【解题过程】　令＝a，＝b，a，b为正整数， 则x＝a2＋116，x＝b2－100. ∴a2＋116＝b2－100，即b2－a2＝216＝23×33. 分解因式，得(b＋a)(b－a)＝23×33. 而b＋a，b－a的奇偶性相同，右边是偶数，∴b＋a，b－a同为偶数，且b＋a>b－a. ∴或或或 ∴y＝a＋b的最大值为22×33＝108. 【方法归纳】　(1)对不易直接讨论的题型先作换元处理；(2)排序与讨论是求整数解的一种常用方法． 【例9】　已知自然数x1，x2，x3，x4，x5满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x1x2x3x4x5，求x5的最大值． 【解题过程】　由x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x1x2x3x4x5，得 1＝＝＋＋＋＋≤＋＋＋＋＝＋＋＝. 于是有x4x5≤3＋x4＋x5，x5≤＝1＋，所以当x4＝2，x1＝x2＝x3＝1时，x5有最大值5. 【方法归纳】　本题予放缩、变形、讨论为一体，具有较强的技巧性，如果不具备敏锐的思维和娴熟的技法是很难解答本题的． 学科网（北京）股份有限公司 $$