专题12　函数与方程思想 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题12　函数与方程思想 【知识梳理】 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，函数思想的实质是用联系和变化的观点研究问题，将问题中的量转化为函数关系去解决．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程(组)来使问题获解． 方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题．在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，将问题转化为解方程或方程组，而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简洁的解答． 【例题探究】 【例1】　若A(－1，2)，B(2，－1)，C(m，m)三点在同一条直线上，则m的值等于________． 【思路点拨】　先用待定系数法求出经过点A(－1，2)，B(2，－1)的直线的表达式，再把点C的坐标代入表达式，解方程即可得出m的值． 【例2】　如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为(　　) A． B．3 C． D． 【思路点拨】　由正方形的性质和折叠的性质，可得EF＝DF，∠A＝90°，在Rt△AEF中，根据勾股定理列出方程即可得出AF的长． 【例3】　设直线y＝kx＋6和直线y＝(k＋1)x＋6(k是正整数)及x轴围成的三角形的面积为Sk(k＝1，2，3，…，8)，则S1＋S2＋S3＋…＋S8的值是(　　) A． B． C．16 D．14 【思路点拨】　先求出直线y＝kx＋6和直线y＝(k＋1)x＋6的交点，再求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积Sk的表达式，将其代入S1＋S2＋S3＋…＋S8即可得出结果． 【例4】　甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价60元，乒乓球每盒定价 10元．世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品打九折．某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒(不少于4盒)．设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元． (1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)； (2)对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店买所需商品比较便宜； (3)若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请设计一个最省钱的购买方案． 【思路点拨】　先根据题意建立费用y与购买数量x的函数关系式，再结合方程与不等式求解． 【例5】　如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x＋1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x－3与x轴交于点B，与l1相交于点C. 图1 (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点． ①若PQ＝2，求t的值； ②是否存在一点Q，使得S△AQC＝2S△ABC？若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图2 【思路点拨】　(1)在两个函数表达式中令y＝0即可求得点A，B的坐标，联立两个函数表达式即可求得点C的坐标；(2)①由题意可得点P(t，t＋1)，点Q(t，3t－3)，根据PQ＝2列出方程即可求得t的值；②先求出△ABC的面积，即可得出△AQC的面积，再根据△AQC的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半列方程求解． 【例6】　工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t(时)，甲组加工零件的数量为y甲(个)，乙组加工零件的数量为y乙(个)，其函数图象如图所示． (1)求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求a的值，并说明a的实际意义； (3)甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个？ 【思路点拨】　(1)用待定系数法即可求得y乙与t之间的函数关系式，结合图象可写出t的取值范围；(2)由图象知，甲3小时加工零件120，可求得甲加工零件的速度，从而可求得甲加工8小时的零件个数；(3)设甲组加工m小时，根据甲、乙两组加工零件的总数为480个，列出方程即可解答． 【例7】　某市是著名的苹果生产基地，果品公司从A村收购苹果400吨，从B村收购苹果600吨．现在要将这些苹果运到C，D两个冷藏仓库储存，已知C库可储存300吨，D库可储存700吨苹果；从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．请你设计一个方案使苹果的运输费用最小，最小费用是多少． 【思路点拔】　设从A村运x吨苹果到C库，则可以用x的代数式表示苹果的运输费用y元的函数关系式，再结合函数增减性就能求出最小费用． 【答案解析】 【知识梳理】 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，函数思想的实质是用联系和变化的观点研究问题，将问题中的量转化为函数关系去解决．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程(组)来使问题获解． 方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题．在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，将问题转化为解方程或方程组，而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简洁的解答． 【例题探究】 【例1】　若A(－1，2)，B(2，－1)，C(m，m)三点在同一条直线上，则m的值等于________． 【解题过程】　设经过A(－1，2)，B(2，－1)两点的直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 则解得 ∴y＝－x＋1. 把C(m，m)代入表达式，得m＝－m＋1. 解得m＝. 故填. 【方法归纳】　①经过两点用待定系数法即可得出直线的表达式；②点在直线上，其坐标满足直线的表达式． 【例2】　如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为(　　) A． B．3 C． D． 【解题过程】　∵将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处， ∴EF＝DF，AB＝AD＝6 cm，∠A＝90°. ∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝3 cm. 在Rt△AEF中，EF2＝AF2＋AE2， ∴(6－AF)2＝AF2＋9．解得AF＝. 故选C. 【方法归纳】　本题是典型的利用方程思想解决几何计算的问题．几何的计算一般分为两类，一类是利用题中已知线段或角度直接进行计算，另一类就是直接计算有困难的情况下，引入方程，通过设未知数，然后根据未知线段之间的关系列出方程，把几何问题代数化． 【例3】　设直线y＝kx＋6和直线y＝(k＋1)x＋6(k是正整数)及x轴围成的三角形的面积为Sk(k＝1，2，3，…，8)，则S1＋S2＋S3＋…＋S8的值是(　　) A． B． C．16 D．14 【解题过程】　联立两直线的表达式成方程组，得.解得 ∴两直线的交点是(0，6)． ∵直线y＝kx＋6与x轴的交点为(－，0)，直线y＝(k＋1)x＋6与x轴的交点为(－，0)， ∴Sk＝×6×|－－(－)|＝18(－)． ∴S1＋S2＋S3＋…＋S8＝18×(1－＋－＋－＋…＋－)＝18×(1－)＝16. 故选C. 【方法归纳】　两个函数图象的交点坐标即为两个函数表达式联立得到的二元一次方程组的解． 【例4】　甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价60元，乒乓球每盒定价 10元．世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品打九折．某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒(不少于4盒)．设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元． (1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)； (2)对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店买所需商品比较便宜； (3)若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请设计一个最省钱的购买方案． 【解题过程】　(1)由题意知，在甲商店购买所需商品可获赠4盒乒乓球， ∴还需再购买(x－4)盒乒乓球． ∴y1＝10(x－4)＋60×2＝10x＋80，即y1＝10x＋80． ∵乙商店规定所有商品打九折， ∴y2＝0.9(10x＋60×2)＝9x＋108，即y2＝9x＋108. (2)假设y1>y2，即10x＋80>9x＋108，解得x>28. ∴当x>28时，在乙商店购买所需商品比较便宜． 当x＝28时，y1＝10x＋80＝10×28＋80＝360(元)， y2＝9x＋108＝9×28＋108＝360(元)，∴y1＝y2， ∴当x＝28时，在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜． 当 4≤x<28时，在甲商店购买所需商品比较便宜． (3)若所需商品全部在一个商店购买，由(2)知，购买2副球拍和20盒乒乓球时，在甲商店购买比在乙商店购买便宜，需10×20＋80＝280(元)． 若所需商品在两个商店购买，可以到甲商店购买2副乒乓球拍，需要2×60＝120(元)，同时获赠4盒乒乓球，到乙商店购买16盒乒乓球，需要16×10×90%＝144(元)，共需120＋144＝264(元)． ∵264<280， ∴最佳的购买方案是到甲商店购买2副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，再到乙商店购买16盒乒乓球． 【方法归纳】　这是一道决策问题的选择，解题的关键是建立两种函数的表达式，用方程或不等式进行比较，综合分析后选择最佳方案． 【例5】　如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x＋1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x－3与x轴交于点B，与l1相交于点C. 图1 (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点． ①若PQ＝2，求t的值； ②是否存在一点Q，使得S△AQC＝2S△ABC？若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图2 【解题过程】　(1)对于直线l1：y＝x＋1， 令y＝0，0＝x＋1，x＝－1， ∴点A(－1，0)， 对于直线l2：y＝3x－3， 令y＝0，0＝3x－3，x＝1， ∴点B(1，0)， 联立解得 ∴点C(2，3)． (2)①由题意可得，点P(t，t＋1)，点Q(t，3t－3)， 则PQ＝|(t＋1)－(3t－3)|＝|4－2t|＝2， 解得t＝1或3. ②∵S△ABC＝AB·yC＝×2×3＝3， ∴S△AQC＝2S△ABC＝6， ∵S△AQC＝PQ·(xC－xA)， ∴×|4－2t|×3＝6， ∴t＝0或t＝4， ∴存在，点Q的坐标为(0，－3)或(4，9)． 【方法归纳】　直角坐标系中三角形的面积可以用水平宽与铅垂高乘积的一半来表示．解题时还要注意分类讨论，避免遗漏． 【例6】　工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t(时)，甲组加工零件的数量为y甲(个)，乙组加工零件的数量为y乙(个)，其函数图象如图所示． (1)求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求a的值，并说明a的实际意义； (3)甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个？ 【解题过程】　(1)设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt＋b， 由题意，得解得 ∴y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t－600(5≤t≤8)． (2)由图象可得，甲加工零件的速度为120÷3＝40(个/时)， ∴a＝120＋40×(8－4)＝280， 实际意义是：当甲加工8小时时，一共加工了280个零件． (3)设甲组加工m小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个， 由题意，得120＋40(m－4)＋(120m－600)＝480， 解得m＝7， ∴甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【方法归纳】　本题考查一次函数的应用．解答本题时，要明确题意，充分利用函数图象提供的信息，灵活运用函数和方程的知识解决． 【例7】　某市是著名的苹果生产基地，果品公司从A村收购苹果400吨，从B村收购苹果600吨．现在要将这些苹果运到C，D两个冷藏仓库储存，已知C库可储存300吨，D库可储存700吨苹果；从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．请你设计一个方案使苹果的运输费用最小，最小费用是多少． 【解题过程】　设苹果的运输费用为y元，从A村运x吨苹果到C库，则从A村运(400－x)吨苹果到D库；从B村运(300－x)吨苹果到C库，运(x＋300)吨苹果到D库． 由题意，得y＝20x＋25(400－x)＋15(300－x)＋18(x＋300) ＝－2x＋19 900(0≤x≤300)． ∵k＝－2<0，∴y随x的增大而减小． ∴当x＝300时，y最小＝－2×300＋19 900＝19 300. 答：从A村运300吨苹果到C库，运100吨苹果到D库，从B村运600吨苹果到D库，这样苹果的运输费用最小，最小费用是19 300元． 【方法归纳】　在本题的求解过程中，所建立的是一次函数模型．因此，这里的函数何时有最值及最值是多少，完全由自变量的取值范围所确定．一般地，根据一次函数的图象可知，对一次函数y＝ax＋b(a≠0，m≤x≤n)，若a>0，则当x＝m时，函数有最小值am＋b；当x＝n时，函数有最大值an＋b；若a<0，则当x＝m时，函数有最大值am＋b；当x＝n时，函数有最小值an＋b. 学科网（北京）股份有限公司 $$