1.3 集合的基本运算（六大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．3 集合的基本运算 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：集合的交集运算 4 题型二：并集运算 5 题型三：补集运算 6 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 7 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 8 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 9 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 【典型例题】 题型一：集合的交集运算 【典例1-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式1-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．{，1，3} 【变式1-2】（2024·高二·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高三·四川遂宁·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型二：并集运算 【典例2-1】（2024·高三·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式2-1】（2024·高三·北京房山·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·广东湛江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：补集运算 【典例3-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式3-1】（2024·高二·山东青岛·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【典例4-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【典例4-2】（2024·高一·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式4-1】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【变式4-2】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 【变式4-3】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集. (1)求； (2)求. 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 【典例5-1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【典例5-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式5-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 【变式5-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典例6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【典例6-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 语文 20 28 48 英语 30 18 48 若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中扮演着重要角色，它通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重叠部分）则表示并集。此外，韦恩图还能清晰地展示一个集合在全集中的补集。这种可视化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、逻辑学、统计学等多个领域。 【变式6-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【变式6-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ． 【变式6-3】（2024·高一·江苏常州·期中）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种. 【变式6-4】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）某网店统计连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出14种商品，第三天售出19种商品；前两天都售出的商品有5件，后两天都售出的商品有6种，则该网店：第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品最少有 种． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．3 集合的基本运算 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：集合的交集运算 4 题型二：并集运算 5 题型三：补集运算 7 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 8 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 10 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 12 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 【典型例题】 题型一：集合的交集运算 【典例1-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，所以， 故选：D． 【典例1-2】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式1-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．{，1，3} 【答案】D 【解析】根据题意可得只能表示奇数，又， 可得． 故选：D． 【变式1-2】（2024·高二·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，所以. 故选：A 【变式1-3】（2024·高三·四川遂宁·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合， 可得. 故选：B. 题型二：并集运算 【典例2-1】（2024·高三·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，所以， 故选：B 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式2-1】（2024·高三·北京房山·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，所以. 故选：A 【变式2-2】（2024·高二·广东湛江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意, 故选：A. 【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得. 故选：A. 【变式2-4】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，无解；由，解得；由，解得， 所以,所以. 故选:C. 题型三：补集运算 【典例3-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 【典例3-2】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式3-1】（2024·高二·山东青岛·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，所以. 故选：B. 【变式3-2】（2024·高一·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 【变式3-3】（2024·高二·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，， 故. 故选：C 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【典例4-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【答案】 【解析】全集，作出韦恩图如下图所示： 由图形可知集合，，因此，. 故答案为. 【典例4-2】（2024·高一·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【解析】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴． 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式4-1】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【解析】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 【变式4-2】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以或，或. 故或. 【变式4-3】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集. (1)求； (2)求. 【解析】（1） 或， ， 或； （2） 或， 所以， 所以； 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 【典例5-1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 【典例5-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式5-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 【解析】（1）时，， 因为，所以方程无实数根， 所以． 故． （2）当时，，得，此时； 当时，，得，此时． 故的取值集合为． 【变式5-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）， ∵，∴． ∴，且 即，∴ （2）∵，∴ 若，即，则． 若为单元素集，即，则． 当时，，满足． 当时，，不满足． 若，则由韦达定理知，无解， 综上的取值范围为． 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典例6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 【典例6-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 语文 20 28 48 英语 30 18 48 若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 【答案】12 【解析】设集合表示语文写作优秀的学生，集合表示英语书面表达优秀的学生，全班学生用集合表示. 则表示语文写作合格的学生，表示英语书面表达合格的学生，作出图. 如图，设两项写作都优秀的人数为，两项写作都合格的人数为. 由图可得,即 因为，所以，即两个项目中都优秀的同学最多为12. 故答案为：12. 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中扮演着重要角色，它通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重叠部分）则表示并集。此外，韦恩图还能清晰地展示一个集合在全集中的补集。这种可视化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、逻辑学、统计学等多个领域。 【变式6-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70． 【变式6-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ． 【答案】46 【解析】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，， 由题意可知，，， 则， 即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46， 故答案为：46 【变式6-3】（2024·高一·江苏常州·期中）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种. 【答案】 【解析】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有种， 第二天售出但第一天未售出的商品有种， 所以前两天共售出的商品有种， 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有种， 因为， 所以这种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为. 故答案为：. 【变式6-4】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）某网店统计连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出14种商品，第三天售出19种商品；前两天都售出的商品有5件，后两天都售出的商品有6种，则该网店：第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品最少有 种． 【答案】 13 27 【解析】因为前两天都售出的商品有5种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有6种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这13种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可. 用集合分别表示第一、二、三天售出的商品， 则商品最少时，即第三天售出的商品均为前两天售出的， 故求解总数只计集合即可，如图. 此时商品总数是种. 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1．3 集合的基本运算 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB} 知识梳理 知识点一：集合的运算 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即 知识梳理 知识点一：集合的运算 4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，所以， 故选：D． 题型一：集合的交集运算 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选：B． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 题型一：集合的交集运算 典型例题 【变式1-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．{，1，3} 【答案】D 【解析】根据题意可得只能表示奇数， 又， 可得． 故选：D． 题型一：集合的交集运算 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，， 所以． 故选：A 题型一：集合的交集运算 典型例题 【典例2-1】（2024·高三·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以． 故选：D． 题型二：并集运算 典型例题 【典例2-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于， 所以，故选：B 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 题型二：并集运算 典型例题 【变式2-1】（2024·高三·北京房山·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合， 所以． 故选：A 题型二：并集运算 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·广东湛江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 故选：A． 题型二：并集运算 典型例题 【典例3-1】（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 故选：C 题型三：补集运算 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知全集， 集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：．  【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集性质求解． 题型三：补集运算 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·山东青岛·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，所以． 故选：B． 题型三：补集运算 典型例题 【变式3-2】（2024·高一·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 题型三：补集运算 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【答案】 【解析】全集， 作出韦恩图如下图所示： 由图形可知集合，，因此，． 故答案为． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·山东济宁·期中）已知全集，，． （1）求集合M，N；（2）求；（3）求；（4）求． 【解析】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴．  【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集， 集合，，求： （1），； （2） 【解析】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， ． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·广西北海·期末）设集合．求： （1）； （2）． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以或，或． 故或． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意知：；因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故， 即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为． 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合 ． （1）若， 求； （2）若中只有一个元素， 求的取值集合． 【解析】（1）时，， 因为，所以方程无实数根， 所以．故． （2）当时，，得，此时； 当时，，得， 此时． 故的取值集合为． 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 典型例题 【变式5-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合， ，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1），∵，∴． ∴，且 即，∴ （2）∵，∴ 若，即，则． 若为单元素集，即，则． 当时，，满足． 当时，，不满足． 若，则由韦达定理知，无解， 综上的取值范围为． 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 ． 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}， C={参加球类比赛的学生}， 依题意，， ， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数． 故答案为：9，2 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 典型例题 【典例6-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 【答案】12 【解析】设集合表示语文写作优秀的学生，集合表示英语书面表达优秀的学生，全班学生用集合表示． 则表示语文写作合格的学生，表示英语书面表达合格的学生，作出图． 如图，设两项写作都优秀的人数为，两项写作都合格的人数为． 由图可得，即 因为，所以，即两个项目中都优秀的同学最多为12． 故答案为：12．   题型六：韦恩图在集合运算中的应用 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”．某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位． 【答案】70 【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70． 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 典型例题 【变式6-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ． 【答案】46 【解析】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，， 由题意可知，，， 则， 即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46， 故答案为：46 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年北京高考数学真题）已知集合，， 则（    ） A． B． C． D． 2．（2024年高考全国甲卷数学真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024年高考全国甲卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． C C D B A $$