专题11　一次函数的应用 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题11　一次函数的应用 【知识梳理】 一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点． 中考对一次函数应用的考查主要集中在以下几个方面： (1)对数形结合的认识和理解； (2)将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力； (3)对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力． 一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考试题来看，可以大致归为以下几类： (1)方案设计问题； (2)分段函数问题； (3)利用一次函数模型求实际问题的最值问题． 【例题探究】 【例1】　如图，直线y＝－x＋m与直线y＝nx＋5n(n≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x＋m＞nx＋5n＞0的整数解为(　　) A．－5，－4，－3 B．－4，－3 C．－4，－3，－2 D．－3，－2 【思路点拨】　不等式－x＋m＞nx＋5n的解就是直线y＝－x＋m位于直线y＝nx＋5n的上方部分对应自变量的取值范围，不等式nx＋5n>0的解就是直线y＝nx＋5n位于x轴的上方部分自变量的取值范围，据此可得出不等式组的解，进而得出整数解． 【例2】　某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a，b分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y(千米)与所用时间x(分)之间的函数图象．则下列判断错误的是(　　) A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地 C．步行的速度是7.5千米/时 D．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分钟 【思路点拨】　根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案． 【例3】　某区教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 【思路点拨】　设有x名教师到外地学习，则可以求得甲宾馆的收费是y1＝108x＋420(x>35)；乙宾馆的收费是y2＝96x＋1 080(x>45)．当x≤35时，选择两个宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；当x＞45时，分y1＝y2，y1＞y2，y1＜y2三种情况讨论，即可判断应选哪家宾馆更实惠些． 【例4】　甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： (1)线段CD表示轿车在途中停留了________h； (2)求线段DE对应的函数表达式； (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 【思路点拨】　(1)轿车在途中停留的意义在图象上反映的是与x轴平行的部分，结合图象可求解；(2)由图象知，线段DE的端点坐标分别为D(2.5，80)和E(4.5，300)，用待定系数法可确定DE对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车，就是求直线OA，DE对应的函数图象交点的横坐标减去1的结果． 【例5】　国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车的改装费为b元．据市场调查知，每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y0，y1(元)与正常营运时间x(天)之间分别满足关系式：y0＝ax，y1＝b＋50x，其图象如图． (1)每辆车改装前每天的燃料费a＝________元，每辆车的改装费b＝________元，正常营运________天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本； (2)某出租汽车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常营运多少天后共节省燃料费40万元？ 【思路点拨】　(1)根据图象得出y0＝ax过点(100，9 000)，得出a的值，再将点(100，9 000)代入y1＝b＋50x，求出b的值即可，最后结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本．(2)根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费每天分别为90元，50元，再列方程求解即可． 【例6】　2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20 km/h，游轮行驶的时间记为t(h)，两艘轮船距离杭州的路程s(km)关于t(h)的图象如图2所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变)． (1)写出图2中点C横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12 km? 【思路点拨】　(1)根据图中信息解答即可；(2)①分别求出点B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求出直线BC，DE的表达式，两直线交点的横坐标即为所求的时间；②分两种情况讨论求解：ⅰ两船相遇之前相距12 km；ⅱ两船相遇之后相距12 km. 【例7】　某超市在疫情期间购进一批含75%酒精的消毒湿巾投放市场，刚开始，由于消费者对此类产品认识不足，前几天的销量每况愈下；为了打开市场，提高销量，超市决定对该消毒湿巾打折销售，日销量每日增加，时间每增加1天，则日销量增加20包．超市工作人员对一个月(30天)销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ABC表示该消毒湿巾日销量y(包)与销售时间x(天)之间的函数关系． (1)第28天的日销售量是________包； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)若该产品进价为5元/包，AB段售价为15元/包，BC段在15元/包的基础上打a折销售，并且在30天中利润不低于3 400元的天数有且只有10天，试确定a的最小值． 【思路点拨】　(1)由图象知，第22天的日销售量是300包，根据时间每增加1天，则日销量增加20包，可计算出第28天的日销售量；(2)用待定系数法分别求出AB段和BC段的函数表达式，再求出点B的横坐标，即可得出x的取值范围；(3)先求出AB段日销售利润不低于3 400元的天数，即可得出BC段日销售利润不低于3 400元的天数，再列不等式即可求得a的最小值． 【答案解析】 【知识梳理】 一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点． 中考对一次函数应用的考查主要集中在以下几个方面：(1)对数形结合的认识和理解；(2)将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；(3)对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力． 一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考试题来看，可以大致归为以下几类：(1)方案设计问题；(2)分段函数问题；(3)利用一次函数模型求实际问题的最值问题． 【例题探究】 【例1】　如图，直线y＝－x＋m与直线y＝nx＋5n(n≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x＋m＞nx＋5n＞0的整数解为(　　) A．－5，－4，－3 B．－4，－3 C．－4，－3，－2 D．－3，－2 【解题过程】　∵直线y＝－x＋m与y＝nx＋5n(n≠0)的交点的横坐标为－2， ∴关于x的不等式－x＋m＞nx＋5n的解集为x＜－2. ∵当y＝nx＋5n＝0时，x＝－5， ∴关于x的不等式nx＋5n＞0的解集是x＞－5. ∴不等式－x＋m＞nx＋5n＞0的解集是－5＜x＜－2. ∴整数解为－4，－3. 故选B. 【方法归纳】　本题考查一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的运用．解决此类问题的关键是仔细观察图形，抓住图象中的几个关键点(两直线的交点、直线与坐标轴的交点等)． 【例2】　某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a，b分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y(千米)与所用时间x(分)之间的函数图象．则下列判断错误的是(　　) A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地 C．步行的速度是7.5千米/时 D．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分钟 【解题过程】　根据图象可知，骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，所以选项A正确． 骑车的同学比步行的同学提前10分钟到达目的地，所以选项B错误． 步行的速度是8÷＝7.5(千米/时)，所以选项C正确． 骑车的速度是8÷＝20(千米/时)． 设骑车的同学从出发到追上步行的同学用了x时． 根据题意，得20x＝×7.5＋7.5x，解得x＝0.3，0.3时＝18分，所以选项D正确． 故选B. 【方法归纳】　本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【例3】　某区教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 【解题过程】　设有x名教师到外地学习． 甲宾馆的收费情况如下： ①当x≤35时，y1＝120x； ②当x>35时，y1＝35×120＋0.9×120×(x－35)，即y1＝108x＋420. 乙宾馆的收费情况如下： ①当x≤45时，y2＝120x； ②当x>45时，y2＝45×120＋0.8×120(x－45)，即y2＝96x＋1 080. (1)当x≤35时，选择两家宾馆是一样的． (2)当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜． (3)当x＞45时， ①若y1＝y2，即108x＋420＝96x＋1 080，解得x＝55； ②若y1＞y2，即108x＋420＞96x＋1 080，解得x＞55； ③若y1＜y2，即108x＋420＜96x＋1 080，解得x＜55. 综上所述，当x≤35或x＝55时，选择两家宾馆是一样的；当35＜x＜55时，选择甲宾馆更实惠些；当x＞55时，选择乙宾馆更实惠些． 【方法归纳】　本题考查一次函数的应用问题，用了分类讨论的方法，解题的关键是用一次函数表示甲、乙两宾馆的收费情况，借助一次函数帮助决策． 【例4】　甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： (1)线段CD表示轿车在途中停留了________h； (2)求线段DE对应的函数表达式； (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 【解题过程】　(1)2.5－2＝0.5(h)． (2)设DE：y＝kx＋b. ∵点D(2.5，80)和E(4.5，300)在DE上， ∴解得∴y＝110x－195. (3)设OA：y＝mx，则300＝5m，解得m＝60．∴y＝60x. 根据题意，得解得　3.9－1＝2.9(h)． ∴轿车从甲地出发后经过2.9 h追上货车． 【方法归纳】　(1)运用函数的图象解题，关键是要读懂函数图象的意义，求轿车在途中停留的时间，只需求图象中平行于x轴的部分对应的横坐标之差的绝对值．(2)要确定一次函数图象对应的表达式，只需知道函数图象上两个点的坐标即可．(3)求两个函数图象的交点坐标，把这两个函数的表达式联立，建立方程组求解即可．解题的关键是要读懂函数的图象． 【例5】　国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车的改装费为b元．据市场调查知，每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y0，y1(元)与正常营运时间x(天)之间分别满足关系式：y0＝ax，y1＝b＋50x，其图象如图． (1)每辆车改装前每天的燃料费a＝________元，每辆车的改装费b＝________元，正常营运________天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本； (2)某出租汽车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常营运多少天后共节省燃料费40万元？ 【解题过程】　(1)∵直线y0＝ax过点(100，9 000)，∴9 000＝100 a．解得a＝90. 将点(100，9 000)代入y1＝b＋50x，得出b＝4 000. 根据图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本． 故答案为90；4 000；100. (2)依据题意及图象，得改装前、后的燃料费每天分别为90元，50元， 则100×[90x－(4 000＋50x)]＝400 000．解得x＝200. 答：200天后共节省燃料费40万元． 【方法归纳】　本题主要考查一次函数的应用，根据图象得出改装前、后的燃料费每天分别为90元、50元是解题的关键． 【例6】　2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20 km/h，游轮行驶的时间记为t(h)，两艘轮船距离杭州的路程s(km)关于t(h)的图象如图2所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变)． (1)写出图2中点C横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12 km? 【解题过程】　(1)点C横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23 h. 游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23－(420÷20)＝23－21＝2(h)． (2)①280÷20＝14(h)， ∴点A(14，280)，点B(16，280)， ∵36÷60＝0.6(h)，23－0.6＝22.4(h)，∴点E(22.4，420)， 设直线BC的表达式为s＝20t＋b， 把点B(16，280)代入s＝20t＋b，可得b＝－40， ∴s＝20t－40(16≤t≤23)， 同理，由D(14，0)，E(22.4，420)可得直线DE的表达式为s＝50t－700(14≤t≤22.4)， 由题意，20t－40＝50t－700， 解得t＝22， ∵22－14＝8(h)， ∴货轮出发后8小时追上游轮． ②当相遇之前相距12 km时，20t－40－(50t－700)＝12，解得t＝21.6. 当相遇之后相距12 km时，50t－700－(20t－40)＝12，解得t＝22.4， ∴当t＝21.6 h或t＝22.4 h时，游轮与货轮相距12 km. 【方法归纳】　本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决问题． 【例7】　某超市在疫情期间购进一批含75%酒精的消毒湿巾投放市场，刚开始，由于消费者对此类产品认识不足，前几天的销量每况愈下；为了打开市场，提高销量，超市决定对该消毒湿巾打折销售，日销量每日增加，时间每增加1天，则日销量增加20包．超市工作人员对一个月(30天)销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ABC表示该消毒湿巾日销量y(包)与销售时间x(天)之间的函数关系． (1)第28天的日销售量是________包； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)若该产品进价为5元/包，AB段售价为15元/包，BC段在15元/包的基础上打a折销售，并且在30天中利润不低于3 400元的天数有且只有10天，试确定a的最小值． 【解题过程】　(1)第28天的日销售量是：300＋(28－22)×20＝420(包)． 故填420. (2)设AB段函数表达式为y＝kx＋b. 由图象可知，当x＝1时，y＝390.当x＝10时，y＝300. ∴解得 ∴AB段函数表达式为y＝－10x＋400. 设BC段对应的函数表达式为y＝mx＋n， 由图象可知，当x＝22时，y＝300；当x＝28时，y＝420. ∴解得 ∴BC段对应的函数表达式为y＝20x－140. 当－10x＋400＝20x－140时，得x＝18； 由上可得，y与x之间的函数关系式是y＝ (3)当1≤x≤18时， 由(15－5)y≥3 400，得10(－10x＋400)≥3 400， 解得x≤6，∴1≤x≤6， ∴整数x＝1，2，3，4，5，6，共6天， ∵日销售利润不低于3 400元的天数有且只有10天， ∴当18＜x≤30时，有4天日销售利润不低于3 400元， 对于函数y＝20x－140(18＜x≤30)， ∵k＝20>0，∴y随x的增大而增大， ∵x为整数， ∴当x＝27，28，29，30时，日销售利润不低于3 400元，且当x＝27时，利润最低， 由题意，得(15×0.1a－5)(20×27－140)≥3 400，解得a≥9， ∴a的最小值为9. 【解题过程】　本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$