《专题10　一次函数的图象与性质》培优讲义2024－2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题10 一次函数的图象与性质 【知识梳理】 1.图象概念 把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的_和_,在平面直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做这个函数的_. 2.一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过_,_两点的一条直线. 3.一次函数的图象的性质 对于一次函数y=kx+b(k≠0), 当k>0时,y随x的增大而_; 当k<0时,y随x的增大而_. 注意:k,b决定图象所经过的象限,k决定上升与下降,b决定图象与y轴的交点位置. 4.一些常用结论 对于两条直线y=k1x+b1,y=k2x+b2(k1≠0,k2≠0). (1)当_,且_时,两直线平行; (2)当_时,两直线相交,交点是这两个方程的_; (3)当_时,两直线互相垂直; (4)直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积为_. 【例题探究】 【例1】 已知函数y=(m-1)x+m-4. (1)当m为何值时,它是一次函数? (2)当m为何值时,y随x的增大而减小? (3)当m为何值时,函数图象与直线y=-2x-3平行? (4)当m为何值时,函数图象不过第二象限? 【思路点拨】 根据一次函数的定义、图象和性质确定. 【例2】 如图,一次函数y=2x+b的图象经过点M(1,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点. (1)填空:b=_. (2)将该直线绕点A顺时针旋转45 至直线l,过点B作BC⊥AB交直线l于点C,求点C的坐标及直线l的函数表达式. 【思路点拨】 (1)把点M(1,3)代入一次函数y=2x+b表达式,即可求得b的值;(2)作CD⊥y轴于点D,证明 AOB≌ BDC,可得出点C的坐标,然后用待定系数法即可求得直线l的表达式. 【例3】 如图,A(1,0),B(4,0),M(5,3),动点P从点A出发,沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动,且经过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒. (1)当t=1时,求直线l的表达式; (2)若直线l与线段BM有公共点,确定t的取值范围. 【思路点拨】 (1)利用一次函数图象上点的坐标特征,求出一次函数的表达式;(2)分别求出直线l经过点B,点M时t的值,再结合图象可得到t的取值范围. 【例4】 如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与OA相交于点A(4,2). (1)求直线OA以及直线AB的表达式; (2)求 OAC的面积; (3)一动点M沿路线O A C运动,当S OCM=3时,求点M的坐标. 【思路点拨】 (1)利用待定系数法即可求得直线OA、直线AB的表达式;(2)先求得点C的坐标,再利用三角形的面积公式即可求解;(3)分点M在线段OA上和线段AC上两种情况讨论求解. 【例5】 在某次救灾过程中,需要向A,B两个机场分别运送100吨和70吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有90吨,乙仓库存有80吨,若从甲、乙两仓库运送物资到机场的费用如下表: 机场 运费(元/吨) 甲仓库 乙仓库 A机场 15 20 B机场 10 8 (1)设从甲仓库运送到A机场的物资为x吨,求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)请设计并说明总运费最低时的调配方案,并求出这时的最低费用. 【思路点拨】 (1)总运费=从甲仓库运送物资到A,B两个机场的费用+从乙仓库运送物资到A,B两个机场的费用,根据甲、乙仓库运往A,B机场物资的吨数为非负数列出不等式组,可得出x的取值范围;(2)根据一次函数图象的性质求解即可得出总运费最低时的调配方案以及这时的最低费用. 【例6】 如图,直线l1∶y=-x+3与x轴相交于点A,直线l2∶y=kx+b经过点(3,-1),与x轴交于点B(6,0),与y轴交于点C,与直线l1相交于点D. (1)求直线l2的函数关系式; (2)点P是l2上的一点,若 ABP的面积等于 ABD的面积的2倍,求点P的坐标; (3)设点Q的坐标为(m,3),是否存在m的值使得QA+QB最小?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)把点(3,-1),点B(6,0)代入直线l2的函数关系式,求出k,b的值即可;(2)设点P的坐标为(t,t-2),求出点D坐标,再由S ABP=2S ABD求出t的值即可;(3)作直线y=3,作点A关于直线y=3的对称点A′,连接A′B,交直线y=3于点Q,利用待定系数法求出直线A′B的函数表达式,根据点Q(m,3)在直线A′B上可求得m的值,进而可得出结论. 【例7】 小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收,采摘上市20天全部销售完.小明对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象,日销售量y(kg)与上市时间x(天)的函数关系如图1,樱桃价格z(元/千克)与上市时间x(天)的函数关系如图2. (1)观察图象,直接写出日销售量的最大值; (2)求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数表达式; (3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多. 【思路点拨】 (1)根据函数图象可直接得出;(2)这是一个分段函数,当0≤x≤12时,用待定系数法把点(12,120)代入正比例函数表达式y=kx,解出k,得函数表达式为y=10x;当12<x≤20时,用待定系数法把点(12,120),(20,0)分别代入一次函数表达式y=k′x+b,解出k′,b,得函数表达式为y=-15x+300;(3)因为第10天和第12天在第5天和第15天之间,所以用待定系数法把点(5,32),(15,12)代入表达式z=mx+n,解出m,n,得到在第5天和第15天之间的函数表达式为z=-2x+42,再分别求出第10天和第12天的销售金额进行比较. 【答案解析】 【知识梳理】 1.图象概念 把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象. 2.一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过(0,b),(-,0)两点的一条直线. 3.一次函数的图象的性质 对于一次函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小. 注意:k,b决定图象所经过的象限,k决定上升与下降,b决定图象与y轴的交点位置. 4.一些常用结论 对于两条直线y=k1x+b1,y=k2x+b2(k1≠0,k2≠0). (1)当k1=k2,且b1≠b2时,两直线平行; (2)当k1≠k2时,两直线相交,交点是这两个方程的公共解; (3)当k1k2=-1时,两直线互相垂直; (4)直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积为. 【例题探究】 【例1】 已知函数y=(m-1)x+m-4. (1)当m为何值时,它是一次函数? (2)当m为何值时,y随x的增大而减小? (3)当m为何值时,函数图象与直线y=-2x-3平行? (4)当m为何值时,函数图象不过第二象限? 【解题过程】 (1)当m-1≠0,即m≠1时,它是一次函数. (2)当m-1<0,即m<1时,y随x的增大而减小. (3)当m-1=-2,即m=-1时,m-4=-5≠-3,函数图象与直线y=-2x-3平行. (4)当m-1≥0,且m-4≤0,即1≤m≤4时,函数图象不过第二象限. 【方法归纳】 本题主要理解函数、一次函数的区别与联系,清楚y=kx+b中k,b的几何意义. 【例2】 如图,一次函数y=2x+b的图象经过点M(1,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点. (1)填空:b=_. (2)将该直线绕点A顺时针旋转45 至直线l,过点B作BC⊥AB交直线l于点C,求点C的坐标及直线l的函数表达式. 【解题过程】 (1)∵一次函数y=2x+b的图象经过点M(1,3), ∴3=2+b,解得b=1. 故填1. (2)∵一次函数y=2x+1的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点. ∴A(-,0),B(0,1),∴OA=,OB=1, 如图,作CD⊥y轴于点D, ∵∠BAC=45 ,BC⊥AB,∴∠ACB=45 ,∴AB=BC, ∵∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBD=90 ,∴∠BAO=∠CBD, 在 AOB和 BDC中, ∴ AOB≌ BDC(AAS),∴BD=OA=,CD=OB=1, ∴OD=OB-BD=,∴C(1,), 设直线l的表达式为y=mx+n, 把A(-,0),C(1,)代入,得解得 ∴直线l的表达式为y=x+. 【方法归纳】 用待定系数法求直线的表达式,关键是确定该直线上点的坐标,而这需要借助图形进行计算或者证明得出.构造全等三角形是解答本题的关键. 【例3】 如图,A(1,0),B(4,0),M(5,3),动点P从点A出发,沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动,且经过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒. (1)当t=1时,求直线l的表达式; (2)若直线l与线段BM有公共点,确定t的取值范围. 【解题过程】 (1)经过t秒时,点P的坐标为(1+t,0). 把点P(1+t,0)代入y=-x+b,得0=-(1+t)+b,解得b=t+1. 当t=1时,b=2. ∴直线l的表达式为y=-x+2. (2)当直线y=-x+b过点B(4,0)时, 0=-4+b,解得b=4,∴t+1=4,即t=3. 当直线y=-x+b过点M(5,3)时, 3=-5+b,解得b=8,∴t+1=8,即t=7. ∴当直线l与线段BM有公共点时,t的取值范围是3≤t≤7. 【方法归纳】 解决动点问题的常用策略之一是“动中觅静”,如第(2)问找出直线l的特殊位置是求自变量t的取值范围的关键. 【例4】 如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与OA相交于点A(4,2). (1)求直线OA以及直线AB的表达式; (2)求 OAC的面积; (3)一动点M沿路线O A C运动,当S OCM=3时,求点M的坐标. 【解题过程】 (1)设直线OA的表达式为y=kx(k≠0). 把A(4,2)代入,得2=4k.解得k=. ∴直线OA的表达式为y=x. 设直线AB的表达式是y=ax+b(a≠0). 把A(4,2),B(6,0)分别代入,得解得 ∴直线AB的表达式是y=-x+6. (2)在y=-x+6中,令x=0,解得y=6, ∴C(0,6).∴S OAC= 6 4=12. (3)设点M的横坐标为m. ∵S OCM=3,∴S OCM= 6m=3,∴m=1. 当点M在直线y=x上时, 把x=1代入y=x,得y= 1=,∴点M的坐标是(1,); 当点M在直线y=-x+6上时, 把x=1代入y=-x+6,得y=-1+6=5,∴点M的坐标是(1,5). 综上所述,点M的坐标是(1,)或(1,5). 【方法归纳】 本题主要考查用待定系数法求函数的表达式以及三角形面积的求法,第(3)问要注意分类讨论. 【例5】 在某次救灾过程中,需要向A,B两个机场分别运送100吨和70吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有90吨,乙仓库存有80吨,若从甲、乙两仓库运送物资到机场的费用如下表: 机场 运费(元/吨) 甲仓库 乙仓库 A机场 15 20 B机场 10 8 (1)设从甲仓库运送到A机场的物资为x吨,求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)请设计并说明总运费最低时的调配方案,并求出这时的最低费用. 【解题过程】 (1)由题意,得 y=15x+10(90-x)+20(100-x)+8[80-(100-x)]=-7x+2 740. ∵∴20≤x≤90. (2)∵在y=-7x+2 740中,k=-7<0,∴y的值随x值的增大而减小. ∵20≤x≤90,∴当x=90时,y取得最小值,此时y=-7 90+2 740=2 110. 答:运费最低的方案是从甲仓库运送90吨物资到A机场;从乙仓库运送10吨物资到A机场,从乙仓库运送70吨物资到B机场,最低费用是2 110元. 【方法归纳】 此类问题通常先确定一次函数的表达式,然后求出自变量的取值范围,最后根据一次函数的性质求解. 【例6】 如图,直线l1∶y=-x+3与x轴相交于点A,直线l2∶y=kx+b经过点(3,-1),与x轴交于点B(6,0),与y轴交于点C,与直线l1相交于点D. (1)求直线l2的函数关系式; (2)点P是l2上的一点,若 ABP的面积等于 ABD的面积的2倍,求点P的坐标; (3)设点Q的坐标为(m,3),是否存在m的值使得QA+QB最小?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【解题过程】 (1)由题意,得解得 ∴直线l2的函数关系式为y=x-2. (2)设点P的坐标为(t,t-2). 解方程组得 ∴点D的坐标为(,-). ∵S ABP=2S ABD,∴AB |t-2|=2 AB |-|,即|t-2|=, 解得t=或t=, ∴点P的坐标为(,)或(,-). (3)如图,作直线y=3,再作点A关于直线y=3的对称点A′,连接A′B. 由几何知识可知:A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q. ∵点A(3,0),∴A′(3,6). ∵点B(6,0),∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12. ∵点Q(m,3)在直线A′B上,∴3=-2m+12,解得m=, ∴存在m的值使得QA+QB最小,此时点Q的坐标为(,3). 【方法归纳】 本题考查的是一次函数综合题,涉及到一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题、三角形的面积等知识.在解答(3)时要注意作出辅助线,利用轴对称的性质求解. 【例7】 小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收,采摘上市20天全部销售完.小明对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象,日销售量y(kg)与上市时间x(天)的函数关系如图1,樱桃价格z(元/千克)与上市时间x(天)的函数关系如图2. (1)观察图象,直接写出日销售量的最大值; (2)求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数表达式; (3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多. 【解题过程】 (1)120 kg. (2)当0≤x≤12时,设日销售量与上市时间的函数表达式为y=kx. ∵点(12,120)在y=kx的图象上,∴k=10. ∴函数表达式为y=10x. 当12<x≤20时,设日销售量与上市时间的函数表达式为y=k′x+b. ∵点(12,120),(20,0)在y=k′x+b的图象上, ∴解得 ∴函数表达式为y=-15x+300. (3)∵第10天和第12天在第5天和第15天之间, ∴当5≤x≤15时,设樱桃价格与上市时间的函数表达式为z=mx+n. ∵点(5,32),(15,12)在z=mx+n的图象上, ∴解得 ∴函数表达式为z=-2x+42. 当x=10时,y=10 10=100(千克),z=-2 10+42=22(元/千克). 销售金额为100 22=2 200(元); 当x=12时,y=120千克,z=-2 12+42=18(元/千克). 销售金额为120 18=2 160(元). ∵2 200>2 160,∴第10天的销售金额多. 【方法归纳】 解函数图象信息题的关键在于看懂图象和熟悉实际情景中的数量关系,运用数形结合的思想方法,联系各种知识进行分析推理,将图象信息与实际数据转化为相应的数学问题. 学科网(北京)股份有限公司 $$