专题9　常量、变量、函数、一次函数 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题9　常量、变量、函数、一次函数 【知识梳理】 函数是“数与代数”最重要的内容之一，也是初中数学的核心内容．它在实际问题及数学综合性问题中都有着极为广泛的应用．函数知识可以分为三个方面：1．函数的意义和表示法；2．函数关系式的建立；3．函数的性质及其运用．本专题知识点主要是常量与变量、函数的概念及函数表示方法、一次函数的概念及表达式． 1．常量与变量 在一个过程中，______________称为常量；可以取不同数值的量称为变量． 注意：常量和变量是相对的． 2．函数的概念及表示方法 (1)函数的概念：在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的_________的值，y都有_________的值，那么就说y是x的_________，x叫做_________． (2)函数的表示方法：①_________；②_________；③_________． 3．一次函数的概念 (1)一般地，形如_________(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数． (2)当b＝0 时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做_________，常数k叫做_________． 4．求一次函数表达式的方法 可以_________法，按以下步骤进行： (1)设出一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0. (2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组． (3)解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值． (4)把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式． 5．函数自变量的取值范围 考虑自变量的取值范围必须使表达式有意义，当表达式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当表达式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当表达式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当表达式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义． 【例题探究】 【例1】　函数y＝＋中自变量x的取值范围是(　　) A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3 【思路点拨】　要使函数y＝＋有意义，应满足解不等式组即可得出x的取值范围． 【例2】　解决下列问题： (1)下列关系，不是函数关系的是(　　) A．y＝(x≥1) B．y＝－(x≥1) C．y＝(x≤1) D．y＝±(x≥1) (2)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是(　　) 【思路点拨】　本题的两个小题是从表达式和图象来判别y是否是x的函数．可以紧扣函数的概念来进行判断． 【例3】　已知函数y＝(m＋1)x＋(m2－1)． (1)当m取什么值时，y是x的正比例函数？ (2)当m取什么值时，y是x的一次函数？ 【思路点拨】　解：(1)根据正比例函数的定义可知，m＋1≠0且m2－1＝0，从而可求得m的值；(2)根据一次函数的定义可知，m＋1≠0，即可得出m的取值范围． 【例4】　根据如图的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－2．若输入x的值是－8，则输出y的值是(　　) A．5 B．10 C．19 D．21 【思路点拨】　把x＝7代入y＝，根据输出y的值是－2可求得b的值，再把x＝－8代入y＝－2x＋b，即可得出y的值． 【例5】　大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象最符合故事情景的大致是(　　) 【思路点拨】　由于原来水位较低，乌鸦沉思一会儿后才想出办法，说明在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位又逐渐降低，但不低于开始时的水位，由此即可作出判断． 【例6】　甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系，部分数据如下表所示． x(小时) 2 4 6 y(件) 50 150 250 (1)求y与x之间的函数关系式． (2)甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱． 【思路点拨】　(1)根据y与x为一次函数关系，可设y＝kx＋b，再将表格中的两组数据代入，用待定系数法即可求得函数关系式；(2)设经过t小时恰好装满第1箱，根据甲组生产的零件＋乙组生产的零件＝340列出方程，解方程即可求得t的值． 【例7】　《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税，超过5 000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过1 500元的部分 3% 超过1 500元至4 500元的部分 10% 超过4 500元至9 000元的部分 20% (1)已知张先生的月工资、薪金所得为10 000元，问他当月应缴纳多少个人所得税． (2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，且6 500<x≤14 000，当月应缴纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围． (3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少元？ 【思路点拨】　(1)根据表格提供的所得税的计算方法分段计算即可；(2)分6 500<x≤9 500，9 500<x≤14 000两种情况分别求出y关于x的函数表达式；(3)先根据李先生应缴纳的个人所得税额，判断出x的取值范围，再代入相应的函数表达式，解方程即可得出答案． 【答案解析】 【知识梳理】 函数是“数与代数”最重要的内容之一，也是初中数学的核心内容．它在实际问题及数学综合性问题中都有着极为广泛的应用．函数知识可以分为三个方面：1．函数的意义和表示法；2．函数关系式的建立；3．函数的性质及其运用．本讲知识点主要是常量与变量、函数的概念及函数表示方法、一次函数的概念及表达式． 1．常量与变量 在一个过程中，固定不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量． 注意：常量和变量是相对的． 2．函数的概念及表示方法 (1)函数的概念：在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量． (2)函数的表示方法：①表达式法；②列表法；③图象法． 3．一次函数的概念 (1)一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数． (2)当b＝0 时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数． 4．求一次函数表达式的方法 可以用待定系数法，按以下步骤进行： (1)设出一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0. (2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组． (3)解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值． (4)把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式． 5．函数自变量的取值范围 考虑自变量的取值范围必须使表达式有意义，当表达式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当表达式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当表达式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当表达式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义． 【例题探究】 【例1】　函数y＝＋中自变量x的取值范围是(　　) A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3 【解题过程】　由题意，得解得x≤2．故选A. 【方法归纳】　函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数非负． 【例2】　解决下列问题： (1)下列关系，不是函数关系的是(　　) A．y＝(x≥1) B．y＝－(x≥1) C．y＝(x≤1) D．y＝±(x≥1) (2)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是(　　) 【解题过程】　(1)在选项A中，对于自变量x在它的取值范围内每取一个确定的值(如x＝5)，变量y都有唯一一个确定的值(如y＝2)与之对应，所以选项A中的关系式表示函数关系．用同样的方法可以确定选项B，C中的关系式也表示函数关系．而在选项D中，因为对于自变量x在它的取值范围内每取一个确定的值(如x＝5)，变量y都有两个确定的值(如y＝±2)与之对应，根据函数的概念，y不是x的函数．故选D. (2)自变量x在它的取值范围内取一个确定的值，过这个数对应的点作x轴的垂线，只有选项D与这条垂线有两个交点，即变量y有两个确定的值与之对应，根据函数的概念，y不是x的函数．故选D. 【方法归纳】　用关系式给出两个变量x，y之间的关系，关键是看变量x每取一个值时，变量y是否有唯一的值与其对应，若有，则y是x的函数；否则，y不是x的函数． 【例3】　已知函数y＝(m＋1)x＋(m2－1)． (1)当m取什么值时，y是x的正比例函数？ (2)当m取什么值时，y是x的一次函数？ 【解题过程】　(1)∵函数y＝(m＋1)x＋(m2－1)是正比例函数， ∴m＋1≠0且m2－1＝0．解得m＝1. (2)∵函数y＝(m＋1)x＋(m2－1)是一次函数， ∴m＋1≠0．解得m≠－1. 【方法归纳】　本题主要考查一次函数和正比例函数的概念．一次函数y＝kx＋b要满足k，b为常数，k≠0，自变量x的次数为1，其中当b＝0时是正比例函数． 【例4】　根据如图的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－2．若输入x的值是－8，则输出y的值是(　　) A．5 B．10 C．19 D．21 【解题过程】　当x＝7时，y＝＝－2，解得b＝3. 当x＝－8时，y＝－2×(－8)＋3＝19. 故选C. 【方法归纳】　求函数值时，先要判断选用哪个表达式，再代入自变量x的值求出y的值． 【例5】　大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象最符合故事情景的大致是(　　) 【解题过程】　∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化， ∴排除C； ∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升， ∴排除A； ∵乌鸦喝水后的水位应不低于开始时的水位， ∴排除B； ∴D正确． 故选D. 【方法归纳】　本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求函数表达式来解决． 【例6】　甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系，部分数据如下表所示． x(小时) 2 4 6 y(件) 50 150 250 (1)求y与x之间的函数关系式． (2)甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱． 【解题过程】　解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)． 由表格中的数据知，当x＝2时，y＝50；x＝4时，y＝150. ∴解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝50x－50. (2)设经过t小时恰好装满第1箱， 根据题意，得80t＋50t－50＝340，∴t＝3. 答：经过3小时恰好装满第1箱． 【方法归纳】　本题考查一次函数的应用，运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 【例7】　《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税，超过5 000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过1 500元的部分 3% 超过1 500元至4 500元的部分 10% 超过4 500元至9 000元的部分 20% (1)已知张先生的月工资、薪金所得为10 000元，问他当月应缴纳多少个人所得税． (2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，且6 500<x≤14 000，当月应缴纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围． (3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少元？ 【解题过程】　解：(1)张先生当月应缴纳个人所得税为1 500×3%＋3 000×10%＋500×20%＝445(元)． (2)当6 500<x≤9500时， y＝1 500×3%＋(x－5 000－1 500)×10%＝0.1x－605. 当9 500<x≤14 000时，y＝1 500×3%＋3 000×10%＋(x－5 000－4 500)×20%＝0.2x－1 555. ∴y＝ (3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元，故必有6 500＜x≤9 500， ∴303＝0.1x－605，解得x＝9 080. ∴李先生当月的工资、薪金所得为9 080元． 【方法归纳】　本题考查分段函数的求法及其应用，正确理解个人所得税的计算方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$