11.2.1.1 三角形的内角和定理课件2024—2025学年人教版数学八年级上册

11.2.1.1 三角形的内角和定理 主题情境·跟随数学家探究三角形内角和 目 录 情境学新知 2 随堂练习 3 学习目标 1 课堂小结 4 1. 探索并证明三角形内角和定理. 2. 能运用三角形内角和定理解决简单问题. 学习目标 11.2.1.1 三角形的内角和定理 情境学新知 小学我们就已经知道：三角形内角和为180°，你知道历史上的数学家是怎么验证这个定理的吗？ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 公元前6世纪——泰勒斯拼图 11.2.1.1 三角形的内角和定理 公元前3世纪——欧几里得 你还有别的方法吗？ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 方法一 用量角器测量三角形的三个内角的度数，并相加. 讨论 请分享一下你想到的证明方法吧！ 60° 60° 60° 50° 40° 90° 11.2.1.1 三角形的内角和定理 2 1 2 2 3 3 钝角三角形 1 1 1 3 3 锐角三角形 1 1 2 2 3 3 直角三角形 2 方法二：折叠法 11.2.1.1 三角形的内角和定理 该怎么证明呢？ 通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°. 想一想 11.2.1.1 三角形的内角和定理 18世纪——法国数学家克莱多 利用辅助平行线将三角形的内角转化为一个平角 (1) (2) 由图你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 A B C 已知：△ABC， 求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°. 证明 11.2.1.1 三角形的内角和定理 证明：如图，过点 A 作直线 l，使l ∥ BC， ∵ l ∥ BC， ∴∠2 =∠B ( 两直线平行，内错角相等 ). 同理∠3 =∠C. ∵∠1，∠2，∠3 组成平角， ∴∠1+∠2+∠3 = 180° ( 平角定义 ). ∴∠1+∠B+∠C = 180° ( 等量代换 ). l A C B 1 2 3 11.2.1.1 三角形的内角和定理 如图(2)，将剪下的两个角拼在了第三个角的同一侧，这样也能形成一个平角. 你能模仿前面的证明过程，用图(2)的方法证明此定理吗? l A C B 1 2 3 4 5 11.2.1.1 三角形的内角和定理 l A C B 1 2 3 4 5 证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l // AB . ∵ l //AB， ∴∠1 =∠4 ( 两直线平行，内错角相等 )， ∠2 =∠5 ( 两直线平行，同位角相等 ). ∵∠3，∠4，∠5 组成平角. ∴∠3 +∠4 +∠5 = 180° ( 平角定义 ). ∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° ( 等量代换 ). 11.2.1.1 三角形的内角和定理 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° . A B C 符号语言： 在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C = 180°. 归纳 11.2.1.1 三角形的内角和定理 1.如图，∠BAC = 40°，∠B = 75°，已知AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A C B D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 ∠BAD = ∠BAC = 20° 在△ABD 中， ∠ADB = 180° -∠B -∠BAD =180° - 75° - 20° = 85° . 试一试 11.2.1.1 三角形的内角和定理 2.下图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ A C B D E 北 北 50° 80° 40° 分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 试一试 11.2.1.1 三角形的内角和定理 解：∠CAB =∠BAD -∠CAD = 80° - 50° = 30°. 由 AD // BE，得∠BAD +∠ABE = 180° . 所以∠ABE = 180° -∠BAD = 180°-80° = 100°， ∠ABC =∠ABE -∠EBC = 100° - 40° = 60°. 在△ABC 中， ∠ACB = 180° -∠ABC -∠CAB = 180° - 60° - 30° = 90° A C B D E 北 北 50° 80° 40° 答:从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 你还能想出其他解法吗？ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 A C B D E 北 北 50° 80° 40° F 添加辅助线 分析：过点 C 作 CF // AD，则 CF// BE， 可得∠ACF =∠DAC = 50°， ∠BCF =∠CBE = 40°， 所以∠ACB =∠ACF +∠BCF = 90°. ∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°， 所以∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=60°. 解法二： 同学们自己动手写出解法吧~ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 1. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 是_______三角形. 2. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则∠A = °， ∠B = °，∠C = °. 直角 60 50 70 随堂练习 11.2.1.1 三角形的内角和定理 3.如图，从 A 处观测 C 处的仰角∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少? ∟ A C B D 30° 45° 解：∵∠CBD = 45°， ∴∠ABC = 180° - ∠CBD = 135° . 在△ABC 中，∠CAB = 30°， 根据三角形内角和定理， ∠ACB = 180° -∠CAB -∠ABC = 180°-30°-135°=15° . 还有其他解法吗？ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 ∟ A C B D 30° 45° 解法二：∵∠CBD = 45°， ∴∠BCD = 180° - ∠D-∠CBD =180° - 90 ° - 45°=45° . 在△ADC 中，∠CAD = 30°， ∴∠ACD = 180° - ∠D-∠CAD =180° - 90 ° - 30°=60° . ∴∠ACB = ∠ACD -∠BCD = 60°-45°=15° . 11.2.1.1 三角形的内角和定理 4.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD，其中∠A = 150°， ∠B =∠D = 40°，求∠BCD 的度数. A C B D 150° 40° 40° 分析：由四边形 ABCD 左右对称得∠BAC =∠DAC = 75°，由∠ACB = 180° -∠BAC -∠B，求出∠ACB 的度数. 11.2.1.1 三角形的内角和定理 A C B D 150° 40° 40° 解： ∵四边形 ABCD 左右对称， ∴∠BAC =∠DAC = 75°. ∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠B， = 180° - 75° - 40° = 65°. ∴∠ BCD = 2∠ACB = 2×65° = 130°. 11.2.1.1 三角形的内角和定理 5.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB. （1）若∠A = 60°，求∠BPC 的度数． 解：在△ABC 中，∵∠A = 60°， ∴∠ABC +∠ACB = 120°． ∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB) = 60°． ∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°， ∴∠BPC = 180° - 60° = 120°． 11.2.1.1 三角形的内角和定理 解：∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB)． ∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°， ∴∠BPC = 180° - (∠ABC +∠ACB) = 180° - (180° - ∠A） = 90° + ∠A． (2) 你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？ 11.2.1.1 三角形的内角和定理 课堂小结 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 三角形的内角和等于180 ° 作平行线 转化思想 11.2.1.1 三角形的内角和定理 $$