第02讲 等腰三角形（1个知识点+5大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第02讲 等腰三角形（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.等腰三角形的概念； 2.等边对等角； 1．使学生了解等腰三角形的有关概念 。 2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。 3、进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。 知识点01：等腰三角形概念 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即学即练1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（　　） A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm 【即学即练2】（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成一个等腰三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型01 等腰三角形的定义 1．有5根小棒，长度分别为3、3、4、6、6，用其中的3根做等腰三角形的边， 可以搭出（　　）种不同的等腰三角形． A．5 B．4 C．3 D．2 2． （比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是厘米，其中有两条边的长度比是，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米． A． B． C． D．或 3．等腰三角形的一个底角和顶角的比是，则它的顶角是 度． 4．若，则以为边长的等腰三角形的周长为 ． 5．求下列等腰三角形的周长： (1)有两边长分别为，； (2)有两边长分别为，． 题型02 等边对等角 1．等腰中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的一个内角等于，则它的一个底角是 ． 4．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 5． 如图，在中，，于点D，为上一点，连接，使，，求的度数． 题型03 根据等边对等角证明 1．如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 2．如图，甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点P的正南方向匀速航行，乙船沿点P的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（    ） A．北偏东10° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40° 3．如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ． 4．如图，在中，、分别垂直平分和，交于点、，若，则 ． 5．如图，已知．求证：． 题型04 等腰三角形的三线合一 1．如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．12 B．3 C．8 D．10 2．如图：中，点在上，现有下列四个命题：①若，则．②若，，则，．③若，，则，．④若，，则，．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 4．如图，在中，，是上的中线，，交于点，如果，那么 °． 5．如图，在中，，，，且．求的度数． 题型05 根据三线合一证明 ．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则 ． 4．如图，在中，，点D为边的中点，，则 °． 5．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 1．等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 2．如图，线段的垂直平分线交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，点A在直线a上，点B在直线b上，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 5．如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为 ． 8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为 ． 9．如图，，在上取点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，的度数为 ． 10．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为 ． 11．如图，，若和分别垂直平分和，则 12．如图，在五边形中，，在上分别找一点M、N，使得周长最小时，的度数为 ． 13．在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 14．如图，在中，，D是上一点，连接，，，求的度数． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 16．如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的周长为 ___________； (2)若，求的度数． 17．如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1)，请你说明理由． (2)求的度数． (3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由． 18．（1）如图1，在中，，，平分，，垂足为E，试探究线段和之间的数量关系，并写出你的理由． （2）如图2，把条件改为：“在中，，，点D在上，，，与相交于F点，则线段和之间的数量关系如何?并证明你的结论．” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等腰三角形（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.等腰三角形的概念； 2.等边对等角； 1．使学生了解等腰三角形的有关概念 。 2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。 3、进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。 知识点01：等腰三角形概念 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即学即练1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（　　） A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm 【答案】D 【分析】分类讨论：当8cm是腰长时和当8cm是底边长时，结合三角形的周长，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当8cm是腰长时，底边为：cm； ∴当8cm是底边长时，腰长为： cm， ∴腰长为8cm或6cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． 【即学即练2】（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成一个等腰三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，以及等腰三角形的定义，逐一判断即可解答， 【详解】解：A、∵， ∴能摆成三角形，但不是等腰三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴能摆成三角形，而且是等腰三角形， 故B符合题意； C、∵， ∴不能摆成三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴不能摆成三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 题型01 等腰三角形的定义 1．有5根小棒，长度分别为3、3、4、6、6，用其中的3根做等腰三角形的边， 可以搭出（　　）种不同的等腰三角形． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 【详解】解：根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边；可以组成的三角形有： ①3、3、4；②3、6、6③4、6、6 所以，搭出3种不同的等腰三角形． 故选：C． 2． （比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是厘米，其中有两条边的长度比是，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，构成等腰三角形的条件，根据题意，分类讨论，当腰长与底边的比是时，根据构成等腰三角形的条件判定，不符合题意；当底边与腰长的比是时，符合题意，由此即可求解． 【详解】解：当腰长与底边的比是时， ∵等腰三角形一条腰长为厘米， ∴等腰三角形的另一条腰长也为厘米，则底边长为厘米， ∵， ∴不能构成等腰三角形，不符合题意； 当底边与腰长的比是时， ∴底边长为厘米， ∴等腰三角形的三边长为厘米，厘米，厘米，能构成等腰三角形，符合题意； ∴这个等腰三角形的周长为（厘米）， 故选：C ． 3．等腰三角形的一个底角和顶角的比是，则它的顶角是 度． 【答案】120 【分析】首先要知道三角形的内角和是，根据等腰三角形的特点，两底角相等，所以三个角的比是，把这个三角形的内角和看作份，先求出一份的度数，再求顶角的度数即可．此题考查了有关三角形内角和的知识，以及按比例分配应用题的解法． 【详解】解：， ， （度． 答：它的顶角是120度． 故答案为：120． 4．若，则以为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键是求出a，b的值．根据偶次方和绝对值的非负性，可以得到，，得到a，b的值，根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ①若是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2， ∵， ∴1、1、2不能组成三角形． ②若是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形， ∴周长． 故答案为：5． 5．求下列等腰三角形的周长： (1)有两边长分别为，； (2)有两边长分别为，． 【答案】(1)三角形的周长为或 (2)三角形的周长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系； （1）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可． （2）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：若三角形的腰长为，则底边长为，能组成三角形， 此三角形的周长为， 若三角形的腰长为，则底边长为，能组成三角形， 此三角形的周长为． 综上可知，三角形的周长为或． （2）若三角形的腰长为，则底边长为，不能组成三角形； 若三角形的腰长为，则底边长为，能组成三角形， 此三角形的周长为． 题型02 等边对等角 1．等腰中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知等腰三角形的一个内角等于，则它的一个底角是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或． 故答案为：或． 4．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 5． 如图，在中，，于点D，为上一点，连接，使，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据等边对等角得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 根据等边对等角证明 1．如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可． 【详解】解：小明的作图中， ∴， ∴， ∴平分，故小明的作法正确； 小颖的作图中， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ， ∴平分，故小颖的作法正确； 小亮的作图中，， ∴， ∴平分，故小亮的作法正确； 故选：D． 2．如图，甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点P的正南方向匀速航行，乙船沿点P的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（    ） A．北偏东10° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40° 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，方位角，根据两船的速度相同得到，根据等边对等角得到，即可解题． 【详解】解：如图，根据题意得， ∴， ∴乙船在甲船的北偏东， 故选C． 3．如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，、分别垂直平分和，交于点、，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据、分别垂直平分和得到，，从而得到，，结合与三角形内角和定理即可得到答案； 【详解】解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”等知识．由，推导出，即可根据“”证明，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型04 等腰三角形的三线合一 1．如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．12 B．3 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，平分，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出平分． 【详解】解：根据作图过程可得，平分， 又∵， ∴, 故选：A． 2．如图：中，点在上，现有下列四个命题：①若，则．②若，，则，．③若，，则，．④若，，则，．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．也考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质对①进行判断；根据等腰三角形的“三线合一”对②③④进行判断． 【详解】解：若，则，所以①正确； 若，，即为顶角的平分线，则，，所以②正确； 若，，即为底边上的中线，则，，所以③正确； 若，，即为底边上的高，则，，所以④正确． 故选：D． 3．如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．如图，在中，，是上的中线，，交于点，如果，那么 °． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，由等腰三角形三线合一的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据平行线的性质可得出答案． 【详解】解：∵，是上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 5．如图，在中，，，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．由条件可先求得，再根据等腰三角形的性质可求得． 【详解】解：， 为等腰三角形，且为底边上的高， 为的平分线（三线合一）， ， ， ， ； 故答案为：. 题型05 根据三线合一证明 ．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故A选项不符合题意； B、是等腰三角形，， 是的角平分线，故B选项不符合题意； C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意； D、， ， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， 而不一定成立， 故选：B． 3．如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已知条件证明即可得到． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中，， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为： 4．如图，在中，，点D为边的中点，，则 °． 【答案】63 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．由等腰三角形的三线合一性质可知，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论． 【详解】解：，D为中点， ∴是的平分线，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：63． 5．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）根据等腰三角形“三线合一”推得后即可用“边角边”证明全等； （2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解． 【详解】（1）证明：，是的中线， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，是的中线， ， 即， ． 1．等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算． 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． ∴这个三角形的最小内角的度数为20或50， 故选：D． 2．如图，线段的垂直平分线交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：线段的垂直平分线交于点， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，直线，点A在直线a上，点B在直线b上，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等腰三角形的性质，得出，根据求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图：，，则： ∴； 当三角形的高线在三角形的外部时，如图：，，则：， ∵， ∴； 故选D． 5．如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质，可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，先求解，再求解，再进一步求解即可； 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 7．已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 分情况讨论即可． 【详解】解：当为腰，为底时， ，， 能构成三角形， 等腰三角形的周长； 当为腰，为底时， ，， 能构成三角形， 等腰三角形的周长； 故答案为：或． 8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据题意得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，，在上取点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．由作图可知，，，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得，结合全等三角形的性质有和，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得和，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 则， 那么，． 故答案为：． 11．如图，，若和分别垂直平分和，则 【答案】/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据和分别垂直平分和，可得，，结合三角形内角和即可得到，从而可求得的值． 【详解】解：垂直平分， ， ， 同理：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，在五边形中，，在上分别找一点M、N，使得周长最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，正确找出的周长最小时，点M、N的位置是解题关键． 先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得当点在同一条直线上时，的周长最小，然后利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得． 【详解】如图，作点A关于的对称点，关于的对称点，连接、， 则， 的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点在同一条直线上时，的周长最小， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 14．如图，在中，，D是上一点，连接，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质两个知识点，掌握这两个知识点是解题的关键；由三角形内角和定理求得的度数，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 因为． 所以． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数； （2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ， 是的垂直平分线， ，， ； （2）解：是的垂直平分线，， ，， ， ． 16．如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的周长为 ___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)5； (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得，据此即可求解； （2）根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵分别垂直平分边和边， ∴ ∴的周长 故答案为： （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 17．如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1)，请你说明理由． (2)求的度数． (3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)理由见解析 (2) (3)补全图形见解析，，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）可知，，，然后由求解即可； （3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得，，，进而证明，易得，结合可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴； （3）如图，，理由如下： ∵点与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（1）如图1，在中，，，平分，，垂足为E，试探究线段和之间的数量关系，并写出你的理由． （2）如图2，把条件改为：“在中，，，点D在上，，，与相交于F点，则线段和之间的数量关系如何?并证明你的结论．” 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）如图，延长，交于点，证明，得到；再证明，得到，即可解决问题； （2）如图，作，交的延长线于点，则，证明，得到；证明，得到，即可解决问题． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，延长，交于点， ∵，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，作，交的延长线于点，则， ∵，则， ∴平分； ∵， ∴， ∵， ∴，故， ∴； ∵， 同（1）； 在与中，， ∴， ∴； 在与中，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$