第03讲 等腰三角形的性质定理（2个知识点+8大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第03讲 等腰三角形的性质定理（2个知识点+8大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.等腰三角形的性质定理； 2.等边三角形的性质定理； 1.理解并掌握等腰三角形的性质定理，并学会运用； 2.理解并掌握等边三角形的性质定理，并学会运用； 知识点01：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 【即学即练1】下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形的对称轴是底边的中线 B．有理数与数轴上的点是一一对应的 C．等腰三角形任意两个角相等 D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的性质，数轴和三角形的高的定义逐一判断即可解题． 【详解】解：A.等腰三角形的对称轴是底边的中线所在的直线，故不正确； B.实数与数轴上的点是一一对应的，故不正确； C.等腰三角形的两个底角相等，故不正确； D. 三角形的三条高所在的直线一定交于一点，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和数轴、以及三角形的高的定义，掌握相关性质和定义是解题的关键． 【即学即练2】等腰三角形两边长为4和8，它的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．16或18 【答案】C 【分析】当等腰三角形的腰为4时，三边不能组成三角形；当腰长为8时，它的周长为8+8+4=20. 【详解】解：当等腰三角形的腰为4时， ∵4+4=8， ∴该三边不能组成三角形， 当等腰三角形的腰为时， 它的周长为：8+8+4=20. 故选C. 【点睛】本题考点：等腰三角形.需要注意的是验证分情况讨论得出的边长是否能组成三角形. 知识点02：等边三角形的性质 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 【即学即练3】如图，是等边三角形，，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，根据等边三角形的性质可得，再计算即可． 【详解】解：如图，过C作， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选B．    【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，添加平行线，利用平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 【即学即练4】如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出、，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， 中线，交于点， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 题型01 根据等腰三角形的性质求角度 1．如图，，是的垂直平分线，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质的应用，掌握线段垂直平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质的应用是解本题的关键． 根据线段垂直平分线求出，推出，根据三角形内角和定理得出，即可求出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，即可得出答案．． 【详解】设一个底角度数为x，则另一个底角也为x， ， 解得． 故选B． 3．如图，在中，垂直平分平分，若，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，然后根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： 4．如图，，此时点A恰好在线段上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先利用三角形的内角和得到，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用等边对等角得到，进而求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，等腰三角形的性质，熟悉全等三角形的判定定理与性质，并能灵活选择很重要． （1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，再根据三角形内角和和对顶角性质得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即：， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型02 根据等腰三角形的性质求长度 1．如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选A． 2．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，根据，可知；根据角平分线的定义，可知，通过角度的等量代换，得到，等角对等边，则；同理可得，问题随之得解． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则； 同理可得：， ∵，， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 4．如图，已知分别是的平分线，过点F且，的周长是，，则的周长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，同理得到，再由三角形周长计算公式得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴的周长是， 故答案为：． 5．如图，在中，，．    (1)求证 (2)若交于E，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）根据等边对等角得到，然后得到，，即可证明出； （2）首先得到，然后根据全等三角形的性质得到，，然后结合平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴的周长为7． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等边对等角性质，等角对等边性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，． 题型03 根据等腰三角形的性质证明 1．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．    (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理， （）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可解答； （）由（）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴, ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴． 2．如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再由平分，，即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ． 3．如图，在中，，为的角平分线，以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，为的角平分线，可得，由题意知，，证明即可； （2）由，，为的角平分线，可得，，即，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，为的角平分线， ∴， 由题意知，， ∵，，， ∴； （2）解：∵，，为的角平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接．    (1)若的周长为18，的周长为6，求的长； (2)若，，求度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握相关性质正确计算是本题的解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的周长求得长度； （2）利用三角形内角和求的度数，然后利用等腰三角形三线合一的性质求的度数，从而使问题得解． 【详解】（1）解：（1）∵垂直平分，垂足为F，交于点D ∴， ∴的周长 的周长 ∴ ∴； （2）∵，， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴ ∴． 5．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 题型04 等腰三角形的存在性问题 1．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解． 【详解】如图所示： ∴符合条件的点C的个数为8． 故选C． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 3．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【答案】1或3/3或1 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点， ∴， ∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵动点的速度为/秒， ∴当从时，，当从时，． 故答案为：1或3． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 共有6个． 故答案为：6． 5．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B，C重合），连接，作交线段于E． (1)当等于多少时，请说明理由； (2)在点D的运动过程中，请求出当等于多少度时的形状是等腰三角形． 【答案】(1)当时，，理由见解析 (2)当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想去解决问题． （1）利用三角形内角和定理得出，当时，； （2）是等腰三角形，分三种情况：①当时，②当时，③当时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求出的度数即可． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ∴， 即当时，； （2）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时，， ∵不与重合，则， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴； 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 题型05 根据等边三角形的性质求角度 1．如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可证，从而得到，最后利用三角形外角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形 ， 在与中 故选：C． 2．如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：等边， ，， ，， ， 由折叠性质可得， ，， ， ， ， ， 故答案为：A． 3．如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．    【答案】15 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到，再由等边对等角得到，则． 【详解】解：∵在等边中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 4．如图，已知是等边三角形，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题结合了等边三角形性质、等腰三角形性质和三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是解题关键．利用等边三角形性质先得到，可得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到，再通过三角形外角的性质计算出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，为等边三角形，即，分别是，上的点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）通过证明，即可得出； （2）通过证明，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ， ， ， ． 题型06 根据等边三角形的性质求长度 1．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 2．如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，交于点F，连接，根据等边三角形的性质得出是的垂直平分线，证明，得出，说明当B，，三点共线时，最小，的最小值，得出当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长，求出最小值即可． 【详解】解：连接，交于点F，连接，如图所示： ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵当B，，三点共线时，最小，的最小值， ∴当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 即的最小值为9， 故选：B． 3．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 根据等边三角形，等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】解：是等边三角形，是边上的高， ，， ， ， 故答案为：9． 4．如图，在中，，点A是上一点，交于点B，且，过点B作于点D，连接，若，则的周长为 ．    【答案】11 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 根据等边对等角得，根据平行线的性质得，于是有，结合，根据证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴的周长为： 故答案为：11． 5．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据平行线的性质得出，再根据即可解答； （2）通过证明为等边三角形，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 题型07 根据等边三角形的性质证明 1．如图，在中，，平分，交于点，且，过作交于点，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ． 2．如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）证明，得．再结合平行线的性质，证得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）解： ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，证明是解题的关键． 3．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】 本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明为等边三角形，进而推出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：为等边三角形， ∴， 又， ∴． 4．如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和性质的综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可求解； （2）根据折叠的性质可得，再根据周角的性质即可求解； （3）根据等腰三角形的性质“三线合一”可得，，根据折叠的性质可得是等边三角形，由此可求出，结合点是中点可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：将与分别沿直线、翻折得到与， ∴； （2）解：将与分别沿直线、翻折得到与， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： 将与分别沿直线、翻折得到与， ， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， 是等边三角形， ，， 同理：是等边三角形， ∴， ∴， 当点在的中点， ， ∴， 是等边三角形． 5．如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，，，进而得到，即可得证； （2）在上取点Q使得，连接，得为正三角形，得到，，证明，得到，根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵与是正三角形， ∴，，， ∴， 在与中 ， ∴； （2）在上取点Q使得，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为正三角形， ∴，， 又∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 题型08 等边三角形的存在性问题 1．如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（    ） A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时， 设t时后是等腰三角形， ∵ ∴ ∴， 即， 解得； （2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得，， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 2．如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（    ）s时，是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点在点的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点在线段上时， 设秒后是等腰三角形， 有， 即， 解得，； （2）当点在的延长线上时， 当是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得，， 故选：D． 3．如图，已知等边三角形的边长为，有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，另有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，若点、同时出发，经过 秒后，两点第次同时到达等边三角形的同一顶点． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形及一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质，先设点、同时出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，根据点走的路程比点所走路程多个等边三角形的边长，列出方程求出，再设点、同时从第一次同时到达的顶点出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，根据点移动的路程点移动的路程个等边三角形的边长，列出方程求出，从而求出答案即可． 【详解】解：设点、同时出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得： ， ， ， 设点、同时从第一次同时到达的顶点出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得： ， ， ， ∴（）， ∴点、同时出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点， 故答案为：． 4．如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，，则 ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴当运动时间为2秒时，是等边三角形． 故答案为：2． 5．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，可以由________（三角形全等判定原理），得，进而得到； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，最后用角的差，即可得出结论； 【详解】（1）解：（1）∵和均是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 1．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 2．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故选：D． 3．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：A 4．如图，是边长为a的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是（　　） A．a B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键．延长至F，使，连接，通过证明及，从而得出，的周长等于AB+AC的长． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为a的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴（SAS） ∴， ∴的周长是： ． 故选B． 5．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点．以下几个结论：①；②；③；④，⑤，恒成立的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定与性质，只要证明，可推知；由得，加之，得到，可知②，③正确；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；利用等边三角形性质可得，从而得到，可知⑤正确． 【详解】解：三角形和三角形都是正三角形， ， ∴ ， ， ， ，故①正确； 又， ， ，故②，③正确； ， ， ， ，故④正确； ， ， ， 综上所述正确的结论有：①②③④⑤，共5个， 故选：D． 6．如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，延长至点，使，连接，证明推出，，进而得到，从而证明，推出，由此求出的周长得到答案．题中辅助线的引出是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，的周长为12， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 7．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数即可得到答案． 【详解】解：在等边中，， 是等边的边上的高， 平分， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解∶∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， 故答案为∶3． 9．如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作的延长线的垂线于点，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得，再根据，，可证得，从而证得，得到，，从而求得等边三角形的边长，再根据等边三角形的性质即可解题． 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 10．如图，和都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①；②；③；④∥．其中正确的有 （只填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】由题中条件可得，得出对应边、对应角相等，进而得出，，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：与为等边三角形， ，，， ， ， ， ∴①正确； 又， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ∴②④正确； ，，， ∴③正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 11．如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，题中辅助线的引出是解题的关键. 延长至点P，使，连接，证明推出，进而得到，从而证明，推出，由此求出的周长=.得到答案. 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长=. 故答案为：18 12．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质；以为边在其下方作等边，连接，证明，则得，在中利用三角形三边关系即可求得的最大值与最小值，从而求得结果． 【详解】解：如图，以为边在其下方作等边，连接， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 在中，， ∴， 即， ∴当三点共线时，取最大值与最小值分别为与， 而， 故答案为：60． 13．如图，，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定， （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数； 【详解】（1）证明：和相交于点， ． 在和中， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ． （2）解：， ，． 在中， ，， ， ． 14．如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质； （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：∵，的周长是， ∴， ∵， ∴． 15．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． （1）根据等边三角形性质推出，求出，根据证即可； （2）根据等边三角形性质推出，根据三角形外角性质推出，求出的度数，根据对顶角相等求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ． （2）证明：如图，与交于点G， ， ， ， ， ， ， ． 16．如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义得，即可得到，最后利用即可证明； （）由等边三角形的性质和可得，即得，得到，进而由全等三角形的性质得，即可得，再证明即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 17．如图，点O是等边内一点，连接作等边，连接、、，，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，得出，即可推出，即可求证； （2）根据全等的性质得出，则，即可得出结论； （3）根据题意得出由图可知，，，．然后进行分类讨论：①当时，，②当时，，③当时，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ①当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴， 解得：； 综上：或或． 18．在中，，点D是射线BC上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图①，若是等边三角形，且，点D在线段上． ①求证：； ②当四边形的周长取最小时，求的长． (2)若，当点D在线段的延长线上移动时，如图②，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析，②1 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）①由等边三角形的性质得，根据证明得，进而可求出；②由得，根据四边形的周长可知当最短，即时，四边形的周长最小，据此即可求解； （2）根据证明得，然后根据三角形内角和可求出． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ②解：∵是等边三角形，且， ∴． ∵，∴． ∴四边形的周长． ∴当最短，即时，四边形的周长最小． ∵是等边三角形，， ∴． （2）解：． 理由：如图，设与交与点F． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！56 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等腰三角形的性质定理（2个知识点+8大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.等腰三角形的性质定理； 2.等边三角形的性质定理； 1.理解并掌握等腰三角形的性质定理，并学会运用； 2.理解并掌握等边三角形的性质定理，并学会运用； 知识点01：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 【即学即练1】下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形的对称轴是底边的中线 B．有理数与数轴上的点是一一对应的 C．等腰三角形任意两个角相等 D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点 【即学即练2】等腰三角形两边长为4和8，它的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．16或18 知识点02：等边三角形的性质 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 【即学即练3】如图，是等边三角形，，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【即学即练4】如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 题型01 根据等腰三角形的性质求角度 1．如图，，是的垂直平分线，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，垂直平分平分，若，则 ． 4．如图，，此时点A恰好在线段上，则的度数为 ． 5．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型02 根据等腰三角形的性质求长度 1．如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 4．如图，已知分别是的平分线，过点F且，的周长是，，则的周长是 ．    5．如图，在中，，．    (1)求证 (2)若交于E，，，求的周长． 题型03 根据等腰三角形的性质证明 1．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．    (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 2．如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．如图，在中，，为的角平分线，以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接．    (1)若的周长为18，的周长为6，求的长； (2)若，，求度数． 5．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 题型04 等腰三角形的存在性问题 1．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 5．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B，C重合），连接，作交线段于E． (1)当等于多少时，请说明理由； (2)在点D的运动过程中，请求出当等于多少度时的形状是等腰三角形． 题型05 根据等边三角形的性质求角度 1．如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．    4．如图，已知是等边三角形，，，则的度数是 ． 5．如图，为等边三角形，即，分别是，上的点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 题型06 根据等边三角形的性质求长度 1．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 2．如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则的长为 ． 4．如图，在中，，点A是上一点，交于点B，且，过点B作于点D，连接，若，则的周长为 ．    5．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型07 根据等边三角形的性质证明 1．如图，在中，，平分，交于点，且，过作交于点，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 2．如图，在四边形中，．，，点E在边上，连接，相交于点F，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 3．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 5．如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型08 等边三角形的存在性问题 1．如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（    ） A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6 2．如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（    ）s时，是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 3．如图，已知等边三角形的边长为，有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，另有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，若点、同时出发，经过 秒后，两点第次同时到达等边三角形的同一顶点． 4．如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 5．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，可以由________（三角形全等判定原理），得，进而得到； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，求的度数． 1．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 3．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 4．如图，是边长为a的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是（　　） A．a B． C． D．不能确定 5．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点．以下几个结论：①；②；③；④，⑤，恒成立的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 7．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则 ． 8．如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ． 9．如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 10．如图，和都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①；②；③；④∥．其中正确的有 （只填序号）． 11．如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ． 12．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ． 13．如图，，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 15．如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F． (1)试说明． (2)求的度数． 16．如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， (1)求证：； (2)若时，求的度数． 17．如图，点O是等边内一点，连接作等边，连接、、，，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 18．在中，，点D是射线BC上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图①，若是等边三角形，且，点D在线段上． ①求证：； ②当四边形的周长取最小时，求的长． (2)若，当点D在线段的延长线上移动时，如图②，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$