精品解析：重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级上学期入学考试数学试题

重庆市铜梁区关溅中学2024年秋八年级上入学数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.） 1. 在平面直角坐标系中，点在第( )象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 调查重庆市市民对巴黎奥运会关注程度 B. 调查“神舟十五号”载人飞船零部件安全性能 C. 调查重庆市中小学生每天体育锻炼的时间 D. 调查重庆初中学生暑假利用网络媒体自主学习情况 3. 如图，点O在直线上，．若，则（ ） A B. C. D. 4. 若一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，用你发现的规律确定的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8. 已知，下列不等式的变形错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 父子二人并排竖直站立于游泳池中时（游泳池底面是水平的），爸爸露出水面的高度是他自身高度的，儿子露出水面的高度是他自身高度的，父子二人的身高一共是米，若设爸爸的身高为米，儿子的身高为米，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）. 11. 最接近的整数是______． 12. 如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是_________． 13. 已知是方程的解，则代数式的值为 _____． 14. 若点A（a﹣1，a＋2）在x轴上，则A点的坐标是_____． 15. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ 16. 如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B），沿翻折得到，，，则________． 17. 若整数使得关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有的和为________． 18. 对于一个四位自然数N，它的各数位上的数字互不相等且均不为0的数，将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，将它的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，若，则称该四位数N为“满分数”．如：四位数2674，∵，∴2674是“满分数”；四位数4367，∵，∴4367不是“满分数”，则最小的“满分数”N为__________；若把一个“满分数”N的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为，能被5整除，则满足条件的N的最大值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题每小题10分，共78分.） 19. 计算 （1） （2） 20. 解下列方程或方程组： （1）； （2）． 21 解不等式（组）： （1）解不等式，并在数轴上表示解集； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 22. 如图，已知，与相交于点E，若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①_________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②________）； ∴③____________（同位角相等，两直线平行）． ∴④__________（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（⑤___________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 23. 一年一度的外语文化节在五月份正式拉开序幕，校学生会的同学对本次文化节最喜爱的节目类型进行了调查（A配音，B舞蹈，C歌剧，D皮影戏），随机调查了m名学生（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图解答以下问题： （1）根据图中信息，求出 ， ； （2）请把条形统计图补充完整；“D皮影戏”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度． （3）根据抽样调查的结果，请估算在全校7000名学生中，最喜爱“A配音”或“C歌剧”的学生共有多少名． 24. 如图，在平面直角坐标系中，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）写出的坐标； （2）画出，并求出的面积． 25. 如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：． （3）若，求的度数． 26. 在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元． （1）求两种模型的售价各是多少元； （2）已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铜梁区关溅中学2024年秋八年级上入学数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.） 1. 在平面直角坐标系中，点在第( )象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．根据在平面直角坐标系中点的符号特征求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点在第三象限． 故选C 2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 调查重庆市市民对巴黎奥运会的关注程度 B. 调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能 C. 调查重庆市中小学生每天体育锻炼的时间 D. 调查重庆初中学生暑假利用网络媒体自主学习情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A．了解重庆市市民对巴黎奥运会的关注程度工作量比较大，范围较广，适宜抽样调查； B．调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能非常重要，适宜全面调查； C．调查重庆市中小学生每天体育锻炼的时间工作量比较大，适宜抽样调查； D．调查重庆初中学生暑假利用网络媒体自主学习情况工作量比较大，范围较广，适宜抽样调查；   故选：B． 3. 如图，点O在直线上，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了数轴上表示解集，根据数轴写出解集，再判断求解． 【详解】解：根据数轴表示得：， 故选：D． 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及二次根式的性质，根据算术平方根、平方根、立方根的定义即二次根式的性质逐一计算即可判断求解． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不合题意； C、，该选项错误，不合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，点，用你发现的规律确定的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据所给点的坐标找出规律，再按照规律求解即可． 【详解】∵点， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了点坐标规律探究，根据已知点的坐标发现是解答本题的关键． 7. 下列命题为假命题的是（ ） A 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角相等、行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意． B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项是假命题，符合题意． C、垂线段最短，是真命题，不符合题意． D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意． 故选：B． 8. 已知，下列不等式的变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【详解】解：A、， ，正确，不符合题意； B、， ，正确，不符合题意； C、， ，正确，不符合题意； D、，， ，原错误，符合题意； 故选：D． 9. 父子二人并排竖直站立于游泳池中时（游泳池底面是水平的），爸爸露出水面的高度是他自身高度的，儿子露出水面的高度是他自身高度的，父子二人的身高一共是米，若设爸爸的身高为米，儿子的身高为米，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高=3.24米；②父亲在水中的身高(1− )x=儿子在水中的身高(1− )y，根据等量关系可列出方程组． 【详解】解：设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得： 故选D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的． 10. 对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）. 11. 最接近的整数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据无理数的估算得出所求即可． 【详解】解：∵， ∴， 则最接近的整数是4， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 12. 如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答． 【详解】解：根据题意得：当时，有最小值， 中，，于E，， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知是方程的解，则代数式的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题要求二元一次方程的解及代数式求值，将代入方程，得到，由整体代入，即可解答． 【详解】解：将代入方程，得到， ， 故答案为：3． 14. 若点A（a﹣1，a＋2）在x轴上，则A点的坐标是_____． 【答案】（﹣3，0） 【解析】 【分析】根据x轴上点的坐标特点可得a的值，从而可得答案． 【详解】解：∵点A（a﹣1，a＋2）在x轴上， ∴a＋2＝0， 解得：a＝﹣2， ∴A（﹣3，0）， 故答案为：（﹣3，0）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握x轴上的点纵坐标为0． 15. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ 【答案】106cm． 【解析】 【详解】解：由题意可设纸杯叠放的高度y与纸杯的个数x之间的关系式为y=kx+b， 由题意则有：，解得 所以y=x+6 当x=100时，y=100+6=106， 所以把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是106cm． 故答案为106cm． 16. 如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B），沿翻折得到，，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线翻折问题，涉及到平行线性质和翻折性质，灵活运用所学知识是关键． 过点F作，则 ，分点F在之间，点F在上方，点F在下方三种情况讨论，由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：过点F作，则 ， 如图，点F在之间时， ， 由翻折性质可得：， ， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：； 如图，当点F在下方时， 同理得：，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ； 如图，当点F在上方时，设交于点G， ， ， ， ， 与矛盾，不符合题意； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线翻折问题，涉及到平行线性质和翻折性质，三角形内角和定理与外角的性质，灵活运用所学知识是关键． 17. 若整数使得关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有的和为________． 【答案】34 【解析】 【分析】等式组整理后，根据有解确定出的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意的值，判断即可． 【详解】解：解方程组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴，解得：， 又∵为整数，且，也为整数， ∴或， 则符合条件的所有的和， 故答案为：34． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 18. 对于一个四位自然数N，它的各数位上的数字互不相等且均不为0的数，将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，将它的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，若，则称该四位数N为“满分数”．如：四位数2674，∵，∴2674是“满分数”；四位数4367，∵，∴4367不是“满分数”，则最小的“满分数”N为__________；若把一个“满分数”N的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为，能被5整除，则满足条件的N的最大值为__________． 【答案】 ①. 1387 ②. 8713 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握新定义，掌握“满分数”的定义是解题的关键． 设“满分数”N为，根据“满分数”的定义，求出最小的“满分数”．根据题意，可得，则，再根据 能被5整除，得出当a最大时，“满分数”最大，进而求出N的最大值． 【详解】解：设“满分数”N为，则， 由题意可知，“满分数”各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴，不合题意； 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴最小的“满分数”N为1387． 根据题意，若把一个“满分数”的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 能被5整除， ∴ 能被5整除， ∴ 为整数． ∵，a、d为正整数， ∵， ∴当a为最大时，N的值最大， 当时， 为整数，且，则， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴当时， 为整数，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴“满分数”N的最大值为8713． 故答案为：1189；8713． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题每小题10分，共78分.） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及二次根式的混合运算，涉及到算术平方根和立方根等相关知识，掌握相关知识，准确计算是本题的解题关键． （1）先算平方根和立方根，二次根式的平方，再加减即可得到答案； （2）先根据二次根式乘法计算，化简绝对值，再加减即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解下列方程或方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了平方根，代入消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解； （2）根据平方根的定义解方程即可求解平方根． 【小问1详解】 解： 代入得：，解得：， 将代入得：， 原方程组的解为：； 【小问2详解】 解： ， 或． 21. 解不等式（组）： （1）解不等式，并在数轴上表示解集； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），数轴见解析 （2），整数解为1、2、3 【解析】 【分析】（1）先求出不等式的解集，再画出数轴表示即可； （2）先求出不等式组解集，再找出其中的整数即可． 【小问1详解】 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示． 【小问2详解】 解不等式，得． 解不等式，得． 则不等式组的解集为． 所以，不等式组的整数解为1、2、3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 22. 如图，已知，与相交于点E，若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①_________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②________）； ∴③____________（同位角相等，两直线平行）． ∴④__________（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（⑤___________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定，根据题意找到正确的角度关系是解题的关键．根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②同角的补角相等）； ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 23. 一年一度的外语文化节在五月份正式拉开序幕，校学生会的同学对本次文化节最喜爱的节目类型进行了调查（A配音，B舞蹈，C歌剧，D皮影戏），随机调查了m名学生（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图解答以下问题： （1）根据图中信息，求出 ， ； （2）请把条形统计图补充完整；“D皮影戏”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度． （3）根据抽样调查的结果，请估算在全校7000名学生中，最喜爱“A配音”或“C歌剧”的学生共有多少名． 【答案】（1）100， （2）作图见解析， （3）3150名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图结合，用样本估计容量，读懂统计图，从不同的统计图中得到关键信息是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图里对应的数据，即可得到调查学生数即样本容量，再利用样本容量减去喜欢其余选项的人数，即可得到喜欢“D皮影戏”的人数； （2）根据“A配音”人数1喜欢其余选项的人数的占比样本容量，“C歌剧”人数其所占百分比样本容量，补充条形统计图即可；根据圆心角的度数百分比进行计算，即可得到答案； （3）根据调查中最喜爱“A配音”或“C歌剧”的学生占比乘以该校的总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：调查学生数为：名 D皮影戏占比为： 故答案为：100，； 【小问2详解】 A配音人数为：名， C歌剧人数为：； 补充统计图如下： “D皮影戏”在扇形统计图中所对应的圆心角是：， 故答案为：． 【小问3详解】 名， 所以，最喜爱“A配音”或“C歌剧”学生共有3150名． 24. 如图，在平面直角坐标系中，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）写出的坐标； （2）画出，并求出的面积． 【答案】（1） （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据点经平移后对应点为，得出平移变换的规律即可得出的三个顶点的对应点坐标； （2）在平面坐标系中找出、、三点连接对应线段即可；利用梯形面积与三角形面积公式求出即可． 【小问1详解】 解：∵中任意一点经平移后对应点为， ∴的平移方式为：向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∵，， ∴平移后对应点的坐标为； 【小问2详解】 如下图， ． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键． 25. 如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：． （3）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行直线的判定和性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟知：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据对顶角相等，可以推算出，根据同位角相等，两直线平行，即可证得； （2）由（1）可得，利用平行直线的性质得到，结合已知条件可以证得，即可得到； （3）由（1）（2）得到，，推出，由三角形外角的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵直线与相交， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【小问2详解】 证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【小问3详解】 解：由（1）（2）得到，， ， ， ， ． 26. 在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元． （1）求两种模型的售价各是多少元； （2）已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值． 【答案】（1）A、的售价分别是30元和20元 （2）型66台，型34台，收入最大值为2660元 【解析】 【分析】（1）设A、的售价分别是元和元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设准备A型台，总收入为w元，根据（1）的答案即可求得w关于m的一次函数，根据A模型的数量不超过B模型的2倍建立不等式，可求出m的取值范围，再结合一次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：设A、的售价分别是元和元， 根据题意得： 解方程组得：， 答：A、的售价分别是30元和20元； 【小问2详解】 解：设准备A型台，总收入为w元，则 ， 解不等式得：，且取整数， 根据题意得：， ，随增大而增大， 当时，有最大值：． 此时，， 型66台，型34台，收入最大值为2660元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确二元一次方程和掌握一次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $