2.2.2 直线的两点式方程（5大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.2 直线的两点式方程 知识点 1 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 3、对两点式方程的理解 （1）与，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． （2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． （3）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 4、两点式方程的使用方法 （1）已知直线上两点，且，时，可以直接使用该公式求直线方程． （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 知识点 2 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 知识点 3 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 1、由两点式求直线方程的步骤 （1）设出直线所经过点的坐标． （2）根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标． （3）由直线的两点式方程写出直线的方程． 【注意】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程 2、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 3、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 题型一 两点式与截距式的概念辨析 【例1】（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【变式1-2】（23-24高二上·四川宜宾·月考）（多选）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 【变式1-3】（23-24高二上·福建福州·月考）（多选）下列命题错误的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 题型二 直线的两点式方程 【例2】（23-24高二上·宁夏银川·月考）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·山东泰安·月考）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【变式2-2】（23-24高二上·甘肃金昌·月考）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·重庆·月考）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 题型三 直线的截距式方程 【例3】（23-24高二上·新疆·月考）过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·天津·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（23-24高二上·山西·月考）（多选）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线过点且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，则该直线方程（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高二上·重庆·月考）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ） A．条 B．条 C．条 D．无数条 题型四 直线与坐标轴围成图形面积(定值)问题 【例4】（23-24高二上·新疆·期中）在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【变式4-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 【变式4-2】（23-24高二上·河北保定·月考）直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若，求直线l的方程； (2)当的面积为6时，求直线l的方程. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 直线与坐标轴围成图形面积(最值)问题 【例5】（23-24高二上·湖北·月考）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁丹东·月考）已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·河南濮阳·月考）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【变式5-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 直线的两点式方程 知识点 1 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 3、对两点式方程的理解 （1）与，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． （2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． （3）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 4、两点式方程的使用方法 （1）已知直线上两点，且，时，可以直接使用该公式求直线方程． （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 知识点 2 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 知识点 3 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 1、由两点式求直线方程的步骤 （1）设出直线所经过点的坐标． （2）根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标． （3）由直线的两点式方程写出直线的方程． 【注意】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程 2、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 3、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 题型一 两点式与截距式的概念辨析 【例1】（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确；故选：D. 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【解析】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·四川宜宾·月考）（多选）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于选项A，直线方程的截距式为，其中， 不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误； 对于选项B，直线方程的截距式为，其中， 而与不是直线的截距式方程，故B错误； 对于选项C，直线方程的斜截式包含在轴上的截距为0的情况， 而此类不能化为截距式，比如，故C错误； 对于选项D，直线方程的截距式为，其中， 、是直线在轴、轴上的截距， 所以在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为，故D正确.故选：ABC. 【变式1-3】（23-24高二上·福建福州·月考）（多选）下列命题错误的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【答案】AD 【解析】对于A：经过点且斜率不存在的直线方程为，不能用方程表示， 方程只能表示过点且斜率存在的直线，故A错误； 对于B：直线，即，斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以，故B正确； 对于C：当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时， 直线方程为，即， 当直线斜率为或者斜率不存在时，也适合方程， 所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程 表示，故C正确； 对于D：如直线不经过原点，但是不能用方程表示，故D错误；故选：AD 题型二 直线的两点式方程 【例2】（23-24高二上·宁夏银川·月考）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A 【变式2-1】（23-24高二上·山东泰安·月考）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 【变式2-2】（23-24高二上·甘肃金昌·月考）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．故选：D． 【变式2-3】（23-24高二上·重庆·月考）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）设的坐标为， 则由中点坐标公式可得，，故， 所以 所以，直线方程为. 题型三 直线的截距式方程 【例3】（23-24高二上·新疆·月考）过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：直线在x，y轴上的截距分别为， 根据直线的截距式可知直线方程为：.故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·天津·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或.故选：D. 【变式3-2】（23-24高二上·山西·月考）（多选）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确； 若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为， 将代入方程得，则直线的方程为，C正确.故选：AC 【变式3-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线过点且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，则该直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为，要求的直线方程为，即． 当直线不经过原点时，设要求的直线方程为， 再把点代入可得，或， 求得或，故要求的直线方程为或． 综上可得，要求的直线方程为，或.故选：ABC 【变式3-4】（23-24高二上·重庆·月考）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【解析】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条.故选：B. 题型四 直线与坐标轴围成图形面积(定值)问题 【例4】（23-24高二上·新疆·期中）在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点， 所以直线的方程为：，化简得. 由已知直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，化简得. （2）由（1）知：直线为，令，得，故. 直线为，令，得，故， 所以. 【变式4-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 【答案】或 【解析】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为， 由已知可得，解得或， 所以或， 故直线的方程为或． 【变式4-2】（23-24高二上·河北保定·月考）直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若，求直线l的方程； (2)当的面积为6时，求直线l的方程. 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）设直线l的方程为（，），（直线l与坐标轴的交点位于正半轴） 由题意知， ①. 因为直线l过点，所以 ②. 联立①②，解得或， 所以直线l的方程为或. （2）由题意知，即 ③，联立②③，解得或， 所以直线l的方程为或. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为， 解得或满足题意， 将和分别代入， 解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.故选：D. 题型五 直线与坐标轴围成图形面积(最值)问题 【例5】（23-24高二上·湖北·月考）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】因为直线过点，所以， 令，可得，即直线与轴交于点， 令，可得，即直线与轴交于点， 依题意可得、，所以，则，当且仅当， 即、时取等号， 所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号， 即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为.故选：B 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁丹东·月考）已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意，解得， 直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积， 当时，， 此时直线l的方程是.故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·河南濮阳·月考）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 【变式5-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以，解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$