第07讲 线段、角的轴对称性（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第07讲 线段、角的轴对称性（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．角平分线的性质 1．（2023•启东市校级开学）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 　　． 2．（2023秋•盐都区月考）如图，中，，平分，交于点，，，则的面积为　　 A．60 B．30 C．15 D．10 3．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在中，为，的平分线的交点，，，，垂足分别为，，． （1）与是否相等，请说明理由； （2）若的周长是30，且，求的面积． 题型二、角平分线的判定定理 4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是 ． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长． 题型三．线段垂直平分线的性质 7．（高港区校级期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•如皋市校级月考）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　． 9．（2023秋•梁溪区期中）如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若的周长为10，求线段的长； （2）若，求的度数． 题型四、线段垂直平分线的判定 10．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（　　） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的垂直平分线上 D．不能确定 11．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，则结论：①AC垂直平分BD；②BD垂直平分AC；③△ABD≌△CBD；④∠BAC＝∠DAC．其中成立的是 ． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 分层练习 一、单选题 1．到的三个顶点距离相等的点是__________的交点．（    ） A．三边中线 B．三条角平分线 C．三边上高 D．三边垂直平分线 2．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 3．如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（　　）     A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为（ ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 9．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接，若，则的周长为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在四边形中，，对角线平分，则的面积为 ． 12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的长是 ． 13．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BC=CD+AD，则点D在 的垂直平分线上． 14．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 . 15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为20，BE＝4，则△ABD的周长为 ． 16．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 17．已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则 ． 18．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．以下结论：；；；平分．其中正确的是 ．（填序号）    三、解答题 19．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 20．如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．    21．如图，已知． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线m、n，m、n相交于点O； (2)图中点O在的垂直平分线上吗？证明你的结论． 22．如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 23．如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 24．如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)与有什么样的位置关系？并证明． (2)若，，，求的长． 25．如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 26．（1）如下图，利用网络线作图： ①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； ②在射线AP上找一点Q，使QB=QC． （2）如下图，求作一点P，使PM=PN，并且使点Ｐ到∠BAC的两边距离相等．（要求：尺规作业图，不写作法，保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 线段、角的轴对称性（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．角平分线的性质 1．（2023•启东市校级开学）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 　12　． 【分析】过点作于，于，连接，如图，根据角平分线的性质得，，利用三角形面积公式得到． 【解答】解：过点作于，于，连接，如图， 、的平分线交于点， ，， ． 故答案为：18． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．（2023秋•盐都区月考）如图，中，，平分，交于点，，，则的面积为　　 A．60 B．30 C．15 D．10 【分析】过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 平分，，， ， ， 的面积 ， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在中，为，的平分线的交点，，，，垂足分别为，，． （1）与是否相等，请说明理由； （2）若的周长是30，且，求的面积． 【分析】（1）利用角平分线的性质定理，即可解答； （2）连接，根据已知可得，然后根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：平分，，， ， 平分，，， ， ； （2）连接， 的周长是30， ， ， 的面积的面积的面积的面积 ， 的面积为60． 【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型二、角平分线的判定定理 4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定定理，平行线的性质，等角对等边； 过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于，作于点M 由题意得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是、， ， 的长度是． 故答案为：． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由证明判断①；由全等三角形的性质得出，结合三角形的外角性质判断②；作于，于，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，由判断该假设不成立，即可判断③；没有条件可以证明平分，判断④的正误后即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ， ， 平分， ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾， ③错误； 没有条件可以证明平分， ④错误； 正确的个数有个； 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，解题关键是证明三角形全等． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查垂直的定义、全等三角形的判定和性质和角平分线的定义， （1）有题意得，则，即有结论成立； （2）由（1）知，即可得，进一步证明，则有； （3）根据面积公式得，即，由（2）知：，则，过点G作交的延长线于点H，则，可证明，有，由（2）知：，利用，即可得，解得即可． 【详解】（1）证明：是中边上的高， ， ， ， ， ， 即：． （2）证明：由（1）知：，， ，， ， 又， ， 即：， ， 即：， ， ， 在和中，， ， ． （3）解：是中边上的高， ， ，， ， ， ， 即， ， 由（2）知：， ， ， 过点G作交的延长线于点H，如图， 则，由（1）知：， ， ， 由（2）知：，即：， 在和中，， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， 即：， ， ． 题型三．线段垂直平分线的性质 7．（高港区校级期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于　　 A． B． C． D． 【分析】由的垂直平分线交于点，交边于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由的周长等于，可得，继而求得答案． 【解答】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 8．（2022秋•如皋市校级月考）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　． 【分析】先由线段垂直平分线的性质得，，，，再证，得，然后由三角形内角和定理得，进而得出答案． 【解答】解：连接，如图所示： 线段，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 9．（2023秋•梁溪区期中）如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若的周长为10，求线段的长； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【解答】解：（1）垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为10， ， ； （2）， ， ，， ，， ， ． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型四、线段垂直平分线的判定 10．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（　　） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的垂直平分线上 D．不能确定 【答案】B 【分析】由已知条件BC=BD+AD及图形知BC=BD+CD知AD=CD，根据线段垂直平分线的性质可判断出答案． 【详解】解：∵BC=BD+AD=BD+CD， ∴AD=CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 故选：B． 【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．得到AD=CD是正确解答本题的关键． 11．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，则结论：①AC垂直平分BD；②BD垂直平分AC；③△ABD≌△CBD；④∠BAC＝∠DAC．其中成立的是 ． 【答案】②③ 【分析】根据线段垂直平分线的判定即可得到BD垂直平分AC；根据全等三角形的判定定理即可得到△ABD≌△CBD，于是得到结论． 【详解】解：∵AD=CD，AB=CB， ∴BD垂直平分AC， 故②正确； 在△ABD与△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正确； ∵AD≠AB，CD≠BC， ∴AC不一定垂直平分BD，故①错误； ∴∠BAC≠∠DAC，故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 分层练习 一、单选题 1．到的三个顶点距离相等的点是__________的交点．（    ） A．三边中线 B．三条角平分线 C．三边上高 D．三边垂直平分线 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线性质得出即可． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 2．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解答． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 3．如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（　　）     A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图， ∵平分，于点D，于点E， ∴． 即P到的距离是． 故选：C． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵ ∴的周长． 故选：A． 【点睛】此题考查了尺规作图－线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5．如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】B 【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为E，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，是的垂直平分线，是的垂直平分线，则，；根据的周长为，即可． 【详解】∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图得平分，得出，根据直角三角形两锐角互余得出． 【详解】解：由作法得平分， ∵， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图：作解平分线，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线定义，是解题的关键． 8．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为（ ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】B 【详解】试题分析：根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM=PM=3cm，RN=PN=4cm，然后计算QN，再计算QN+EN即可． 解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上， ∴OA垂直平分PQ， ∴QM=PM=3cm， ∴QN=MN﹣QM=4.5cm﹣3cm=1.5cm， ∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴OB垂直平分PR， ∴RN=PN=4cm， ∴QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm． 故选B． 考点：轴对称的性质． 9．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接，若，则的周长为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，证明的周长是解题的关键． 先利用勾股定理求出，再根据作图方法可知是线段的垂直平分线，则，最后根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故选：C． 10．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，，作射线，由角平分线的性质得，可得平分，进而知，，当时，最小，此时点C在处，再由可得答案． 【详解】作于点E，作于点G，作于点H，作射线．    ∵平分，，，， ∴． 同理：， ∴， ∴平分， ∴． ∵， ∴． 根据题意可知点C在的平分线上运动，当时，最小，此时点C在处． 在中，． 所以，当线段最小时，的度数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在四边形中，，对角线平分，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的面积和角平分线的性质，过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，结合的周长即可求解． 【详解】解：的周长为， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：5． 13．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BC=CD+AD，则点D在 的垂直平分线上． 【答案】AB 【分析】根据已知得出AD=BD，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵BC=CD+AD，BC=BD+CD， ∴AD=BD， ∴D在AB的垂直平分线上， 故答案为AB． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线性质的应用，解决本题的关键是要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定. 14．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 . 【答案】10 【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BF=14，求得EG=8，于是得到结论． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠B=60°， 作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小， ∵∠B=60°，∠BFG=90°， ∴∠G=30°， ∵BF=7， ∴BG=2BF=14， ∴EG=8， ∵CE=CG=4， ∴AC=BC=10， 故答案为10． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为20，BE＝4，则△ABD的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC，BC=2BE=8， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC=20， ∴AB+AC=12， ∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则 ． 【答案】2cm 【分析】连接、、，如图，利用角平分线的性质得，设，则，根据三角形面积公式，利用得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接、、，如图， 点为的三条角平分线的交点，垂直，，， ， 设，则， ， ，解得， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 18．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．以下结论：；；；平分．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】 【分析】由证明得出，，正确；由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于， 于，利用等面积法得出， 由角平分线的判定方法得出平分，正确． 【详解】∵, ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， 故正确； 由三角形的外角性质得：， ∴， 故正确； 如图，过点O作于， 于，   ， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定和等面积法等知识，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 19．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质证明，即可； （2）根据三角形的周长和（1）中结论可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 20．如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．    【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的尺规作图方法作出图，再根据角平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交内部于点，作射线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则点即为所求，   ， 理由：由作图步骤可知，是的角平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 上的点到的距离相等， ， 工厂应该选在点处． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图方法以及角平分线的性质是解题的关键． 21．如图，已知． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线m、n，m、n相交于点O； (2)图中点O在的垂直平分线上吗？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的垂直平分线上，见解析 【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的作法是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案； （2）直接利用线段垂直平分线的性质得出点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）如图所示：点O即为所求； （2）点O在的垂直平分线上 理由：如图，连接， ∵直线m，n垂直分别平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上 22．如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 23．如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【详解】证明：作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ，又，， 点在的角平分线上． 24．如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)与有什么样的位置关系？并证明． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)垂直平分，证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答； （2）由，代入计算即可． 【详解】（1）解：垂直平分，证明如下： 是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， 垂直平分； （2）解：， ， ， ． 25．如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 26．（1）如下图，利用网络线作图： ①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； ②在射线AP上找一点Q，使QB=QC． （2）如下图，求作一点P，使PM=PN，并且使点Ｐ到∠BAC的两边距离相等．（要求：尺规作业图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【分析】（1）①取格点D，则AD平分∠BAC，作射线AD交BC于点P，即可；②取BC的中点O，过点O作OQ⊥BC于点O，即可； （2）分别作∠ABC的平分线，线段MN的垂直平分线交于点P，即可求解． 【详解】解：（1）①如图，取格点D，作射线AD交BC于点P，则点P即为所求； 理由：根据题意得：AD平分∠BAC， ∴点P到AB和AC的距离相等； ②如图，取BC的中点O，过点O作OQ⊥BC于点O，则点Q即为所求； 理由：根据题意得：点O为BC的中点，且OQ⊥BC， ∴OQ为BC的垂直平分线， ∴CQ=BQ； （2）如图，分别作∠ABC的平分线，线段MN的垂直平分线交于点P，则点P即为所求， ∵BP平分∠ABC， ∴点P到∠BAC的两边距离相等， ∵PE垂直平分MN， ∴PM=PN． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 学科网（北京）股份有限公司 $$