精品解析：湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

颐华高级中学2023级高一入学考试试卷 数学 满分：100分 时量：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是正方形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 2. 已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为（ ） A 13 B. 5 C. 11 D. 14 3. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 如图，为圆的直径，为圆上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，绕点逆时针旋转得到,点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ） A. 25° B. 30° C. 45° D. 50° 6. 如图是二次函数图象一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法不正确的是（ ） A B. C. D. 若，是抛物线上两点， 7. 如图所示，在边长为正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，.作交边于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分. 9. 下列是假命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，则 10. 在数轴上和有理数，，对应的点的位置如图示，下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天睡眠时间，制定如下统计表. 睡眠时间/h 6 7 8 9 人数 10 20 15 5 下列关于学生每天睡眠时间的统计量说法中正确的是（ ） A. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 B. 中位数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 C. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度 D. 方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 12. 如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 因式分解：=_______． 14. 若关于一次方程组的解满足，则m的取值范围______． 15. 如图，在中，，，，以为直径作半圆，交边于点，点为圆心，连接，则图中阴影部分的面积是_________. 16. 如图，以为支点，木棍所受的重力为.根据杠杆原理，在处需一竖直向上的拉力才能保持木棍不动，若向上的拉力与重力大小之比为3:7，，则的长为______. 四、解答题：共6小题，17题6分，18、19各8分，20、21、22各10分共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 先简化，再求值：，其中，. 18. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点处测得塔帽的仰角为45°，在点的正下方20米的点处测得塔帽的仰角为62°，请你依据相关数据计算塔帽离地高度（长）.（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，） 19. 随着神舟十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个B款火箭模型比一个A款贵15元，用1 600元购入的A款火箭模型与2 200元购入的B款火箭模型数量相同． （1）这两款火箭模型的进货单价各是多少元？ （2）已知商场准备购进这两款火箭模型共100个，后将这批火箭模型以A款每个70元，B款每个90元的价格出售．求可获得的总利润y(元)与其中A款火箭模型的数量x(个)之间的关系式． 20. 问题提出： （1）如图1，，，是上两点，，是上两点，则______（填“，或”）. （2）问题解决：现有一块三角形板材（），是上一点，王师傅接到任务需要在这块板材上裁出一个，使得的面积是面积的一半，且在的一边上.王师傅思量了一会儿，将板材放置在切割垫上，将点与切割垫上坐标系的原点重合，与轴重合，如图2所示，发现点，，的坐标分别为，，.之后王师傅直接在上快速确定了点的位置. ①求王师傅确定的点的坐标. ②这个任务派发给另一位李师傅的时候，李师傅确定的符合条件的点在边上，请找出李师傅认为的符合条件的点的坐标. 21. 如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，. （1）若，求（用表示）； （2）过点作于，交于，，求（用表示）； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长. 22. 已知，动点在抛物线上. （1）若点的坐标为，求的值； （2）若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，，当时，.点在轴上，以线段为直径作，当交线段于点时，. ①求抛物线的解析式； ②若直线被所截得的弦长为定值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 颐华高级中学2023级高一入学考试试卷 数学 满分：100分 时量：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是正方形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得A错误，B正确；由矩形的性质可得C，D正确； 【详解】A:当时，它是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），不一定是正方形，故A错误； B:当时，它是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故B正确； C:当时，它是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故C正确； D:当时，它是矩形（有一个角是直角平行四边形是矩形），故D正确； 故选：A. 2. 已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为（ ） A. 13 B. 5 C. 11 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出二次函数在给定区间上的最大、最小值即可. 【详解】由整理得： 故当时，有最小值为2； 当时，有最大值为11； 故. 故选：A 3. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象与点A的坐标即可得到每个不等式的解集，根据找不等式组解集的方法即可得到不等式组的解集． 【详解】观察图象可得的解集为：， ∵直线与x轴交于点， ∴的解集为：， ∴关于x的不等式组的解集为， 故选：D． 4. 如图，为圆的直径，为圆上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作辅助线连接，由于为圆的直径，可知，于是易求，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可求. 【详解】作辅助线连接， 因为为圆的直径，所以， 因为，， 所以， 所以 故选：D 5. 如图，中，，绕点逆时针旋转得到,点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ） A. 25° B. 30° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可. 【详解】∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴旋转角度数是50°. 故选：D. 6. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 若，是抛物线上两点， 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象和一元二次函数的性质逐项判断即可. 详解】由图象可知抛物线开口向上，所以， 因为抛物线对称轴为直线，所以，，B说法正确； 因为抛物线与轴的交点在轴下方，所以，所以，A说法正确； 因为对称轴是直线，且过点， 所以图象与轴的另一个交点为，代入得， 因为，所以，C说法正确； 因为点离对称轴的距离与点离对称轴的距离相等，所以，D说法不正确 故选：D 7. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的高，即得答案. 【详解】如图1，过⊙F圆心F作于E，于G， 则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则， 小圆周长为，扇形弧长为， ∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， ∵正方形铁皮边长，， ，∴； 在图2中，， 由勾股定理得，圆锥的高， 故选：B 8. 如图，在中，，，.作交边于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，解三角形求出，，利用等面积法求出，求出答案. 【详解】过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，即， ∴，∴. 故选：A. 二、多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分. 9. 下列是假命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】举反例得到ABC错误，利用作差法计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：当，，时满足，但，错误； 对选项B：当，，时，满足，但，错误； 对选项C：当，，时满足，，但，错误； 对选项D：，所以，正确． 故选：ABC 10. 在数轴上和有理数，，对应的点的位置如图示，下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据各有理数在数轴上的位置，判断出各数的范围，结合各选项一一判断，即可得答案. 【详解】由数轴可得，， ∴，， ∴，故A正确； ∵，，， ∴，， ∴，故B正确； ∵， ∴，，， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； 故选：ABCD. 11. 某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表. 睡眠时间/h 6 7 8 9 人数 10 20 15 5 下列关于学生每天睡眠时间的统计量说法中正确的是（ ） A. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 B. 中位数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 C. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度 D. 方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 【答案】CD 【解析】 【分析】计算平均数并根据平均数的概念判断AC，根据中位数的定义计算并判断B，计算方差并根据方差的概念判断D. 【详解】A.平均数为，故选项错误； B.中位数，故选项错误； C.平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度，故选项正确； D.方差为， 它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度.故选项正确. 故选：CD 12. 如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件可判定，为等边三角形，可得出,求出的度数，即可求出的度数；对于B，由条件证明即可；对于C，在与中，由，即可；对于D，由等边三角形的面积可知. 【详解】在菱形中，， ∵，∴， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，故A选项正确； 在和中，， ∴ ∴， ∴，∴ ∵， ∴，故B选项正确； ∵为直角三角形， ∴，∴， ∴与不全等，故C选项错误； ∵，，， 根据勾股定理，得， ∴，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 因式分解：=_______． 【答案】. 【解析】 【分析】利用配凑法和完全平方和公式进行因式分解. 【详解】 故答案为：. 14. 若关于一次方程组的解满足，则m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由方程组得，再解不等式即可. 【详解】两方程相加可得， ， ， ， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，以为直径作半圆，交边于点，点为圆心，连接，则图中阴影部分的面积是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意阴影部分的面积等于，运算得解. 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：. 16. 如图，以为支点，木棍所受的重力为.根据杠杆原理，在处需一竖直向上的拉力才能保持木棍不动，若向上的拉力与重力大小之比为3:7，，则的长为______. 【答案】8cm 【解析】 【分析】根据杠杆原理可得比例式，结合题意即可求得答案. 【详解】∵，， 根据杠杆平衡原理，可得，∴， 解得（cm），∴（cm）， 故答案为：8cm. 四、解答题：共6小题，17题6分，18、19各8分，20、21、22各10分共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 先简化，再求值：，其中，. 【答案】， 【解析】 【分析】由完全平方公式和通分化简，然后代入计算即可. 【详解】原式 ， 当，时，原式. 18. 某建筑工地平衡力矩塔吊如图所示，在配重点处测得塔帽的仰角为45°，在点的正下方20米的点处测得塔帽的仰角为62°，请你依据相关数据计算塔帽离地高度（长）.（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】塔帽离地高度约为42.7米 【解析】 【分析】连接，先证四边形是矩形，再利用直角三角形边角关系得，最后利用题干列式计算求解即可. 【详解】连接，如图所示， 由题意得：，，，米， ∴，∴四边形是矩形， ∴，米， ∵，∴， 在中，，∴， 设米，则米，米， ∵，∴，解得：， ∴（米）， 答：塔帽离地高度（长）约为42.7米. 19. 随着神舟十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个B款火箭模型比一个A款贵15元，用1 600元购入的A款火箭模型与2 200元购入的B款火箭模型数量相同． （1）这两款火箭模型的进货单价各是多少元？ （2）已知商场准备购进这两款火箭模型共100个，后将这批火箭模型以A款每个70元，B款每个90元的价格出售．求可获得的总利润y(元)与其中A款火箭模型的数量x(个)之间的关系式． 【答案】（1）A款火箭模型的进价为40元，B款火箭模型的进价为55元 （2） 【解析】 【详解】（1）设一个A款火箭模型的进价为x元， 则一个B款火箭模型的进价为(x＋15)元， 则有＝，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解， 所以A款火箭模型的进价为40元，B款火箭模型的进价为55元． （2）因为A款火箭模型的数量为x个， 则B款火箭模型的数量为(100－x)个， 所以y＝(70－40)x＋(90－55)(100－x)＝3 500－5x(0≤x≤100). 20. 问题提出： （1）如图1，，，是上两点，，是上两点，则______（填“，或”）. （2）问题解决：现有一块三角形板材（），是上一点，王师傅接到任务需要在这块板材上裁出一个，使得的面积是面积的一半，且在的一边上.王师傅思量了一会儿，将板材放置在切割垫上，将点与切割垫上坐标系的原点重合，与轴重合，如图2所示，发现点，，的坐标分别为，，.之后王师傅直接在上快速确定了点的位置. ①求王师傅确定的点的坐标. ②这个任务派发给另一位李师傅的时候，李师傅确定的符合条件的点在边上，请找出李师傅认为的符合条件的点的坐标. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式计算可得； （2）①由图形的面积关系再结合三角形的面积公式可得； ②先求出直线的方程，进而设出，再过点作轴，过点作轴，然后由图形的面积关系结合三角形和梯形的面积公式计算即可； 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，，∴； 【小问2详解】 ①设 ∵的面积是面积的一半，点，，的坐标分别为，，， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴王师傅确定的点的坐标为； ②如图所示，∵， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∵在上， ∴设，过点作轴，过点作轴， 由图可得：， 由（2）得：，，， ∴， 解得，即， ∴李师傅认为符合条件的点的坐标为； 21. 如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，. （1）若，求（用表示）； （2）过点作于，交于，，求（用表示）； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，，利用同圆或等圆中同弧与等弧所对圆周角相等计算可得结论； （2）连接，由同角的余角相等可得，结合等弧所对圆周角相等可得结论； （3）由已知可证，可得，进而计算可得，利用，可求得，可得结论. 【小问1详解】 连接，如图1所示： 设，，则， ∵点为弧中点，∴， ∴，∴， ∵为直径，∴， ∴，∴， ∴， ∴，∴； 【小问2详解】 连接，如图2所示： ∵为直径，∴，即， ∵，∴，∴， ∵点为弧中点，∴， ∴，∴； 【小问3详解】 连接，如图3所示： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴，故， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，∴， ∴. 22. 已知，动点在抛物线上. （1）若点的坐标为，求的值； （2）若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，，当时，.点在轴上，以线段为直径作，当交线段于点时，. ①求抛物线的解析式； ②若直线被所截得的弦长为定值，求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将代入，整理求解即可； （2）①由已知可得直线是抛物线的对称轴，再由对称轴公式可得，然后设，由得，最后得抛物线的解析式； ②如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，，连接，，由，可得，即，为定值； 【小问1详解】 将代入，得，整理得， ∴的值为； 【小问2详解】 ①解：∵当时，，∴， ∴时，随着的增大而减小， 当时，，∴， ∴时，随着的增大而增大， ∴直线是抛物线的对称轴，∴，解得， ∴， 由题意知，在上，是直径， ∴，即轴， 设在第二象限，则， ∵，∴，即，解得，（舍去）， ∴， 由对称性可知，当在第一象限时， ∴抛物线的解析式为； ②解：如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，， 连接，，则，，，， 由勾股定理得， 即， ∴当时，即，为定值，，∴， ∴，直线被所截得的弦长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$