特训04 圆 解答题（含基础+重点+压轴）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训04 圆 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，，若，求的半径．    2．如图，与相交于点．求的长．      3．如图，是的直径，弦交于点，求的长．    4．如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若求的长． 5．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 6．已知，如图，．求证：． 7．如图，在中，，，求的度数． 8．如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 9．如图，是的直径，点在上，是的中点，求的度数．    10．如图，已知是的直径，弦． (1)求证：弧弧； (2)若弧AC的度数为，求的度数． 11．如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 12．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 13．如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．    14．如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 15．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． (1)若，，求的半径． (2)若，求的度数． 17．如图，在中，． (1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 18．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 19．如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 20．如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．    21．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 22．如图，在平面直角坐标系中，有三点．    (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)圆心M的坐标为_______； (3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 23．如图，已知以的直角边为直径作交斜边于点，连接并延长交的延长线于点，连接，点为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 24．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 25．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°． (1)求弧BC的长度； (2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π） 26．如图，是的直径，是的弦，且．    (1)求证：直线为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 27．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC． (1)求∠B的度数； (2)若AB＝3，求的长． 28．如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)写出与的位置关系_________； (2)求证：是切线； (3)若，，求的半径． 29．已知，等腰中， ． (1)如图1，当的三个顶点都在上时，求的度数； (2)如图2，当 的两个顶点 B，C在上时，分别交于点 D，E，求证： ． 30．如图①，四边形内接于，的半径为3，，，连接． (1)的大小为__________度； (2)如图②，延长至点E，使，连接．求证：； (3)直接写出的最大值． 31．已知四边形内接于⊙O，对角线是⊙O的直径． (1)如图1，连接、，若，求证：平分； (2)如图2，E为⊙O内一点，满足，．若，，求弦的长． 32．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求圆的半径． 33．如图，在半径为5的半圆中，是它的直径，点是半圆上异于点，过点作且，点是半径的中点，的延长线交于点，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若，半圆内（包含边界）存在点，使，求的取值范围． 34．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接． (1)若，求的半径； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 35．如图，内接于，为的中点，在上，连接． (1)如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由． 36．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．    (1)如图1，求证：平分； (2)在上取点E，使得； ①如图2，E为下方上一点，连接，若，求半径； ②如图3，E为上一点，且，若半径为2，则的长为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 圆 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，，若，求的半径．    【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，过点分别作于点于点，由矩形的判定及性质得到，再根据垂径定理，得为的中点，为的中点，连接，在中，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【解析】解：过点分别作于点于点，连接，如图所示：     由垂径定理，得为的中点，为的中点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ∴在中，由勾股定理可得． 2．如图，与相交于点．求的长．      【答案】． 【分析】过点作于点，由勾股定理求出的长，根据等面积法即可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后通过垂径定理即可求解． 【解析】解：过点作于点，      ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∵为圆心， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键是熟练掌握以上知识的灵活运用． 3．如图，是的直径，弦交于点，求的长．    【答案】 【分析】作于，连接，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以． 【解析】解：作于，连接，如图，    ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质． 4．如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】解：连接，如图， ∵， ∴， 设， 则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵是直径， ∴， ∵是的中位线， ∴， 在中，． 5．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【解析】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 6．已知，如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦心距四者之间的关系，熟知四者之间的的关系是解题的关键．依据弦与相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解． 【解析】证明：， ， ， 即， ． 7．如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即C为的中点． 9．如图，是的直径，点在上，是的中点，求的度数．    【答案】 【分析】连接，由，可得出，再由D是的中点，可得出的度数． 【解析】解：连接，    ∵是的直径，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质等知识点，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 10．如图，已知是的直径，弦． (1)求证：弧弧； (2)若弧AC的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据圆心角与弧的关系即可得证； （2）求出，求出，再求出答案即可． 【解析】（1）证明：连接， ， ， ， ，， ， ； （2）解：的度数是， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，掌握弧的度数等于所对圆心角的度数是解题的关键． 11．如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】或 【分析】本题考查圆周角定理，首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是：； ∵弦所对的优弧的度数为：， ∴弦所对的圆周角的度数是：； 综上，可得弦所对的圆周角的度数是或． 12．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）等边对等角，求出的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而得到，再根据角的和差关系即可得出结果； （2）连接，圆周角定理，得到，三线合一，得到即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴． 13．如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．连结，可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：如图，连结，    ∵边为的直径， ∴． ， ∵点E是的中点， ∴． ∴， ， ∴． 14．如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； （2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径． 【解析】（1）证明：连接，如图， ， 而， ， ， ， ；    （2），， ， 为的直径． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 15．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线可知，再根据圆周角定理可得； （2）根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据勾股定理，即可求解． 【解析】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 16．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． (1)若，，求的半径． (2)若，求的度数． 【答案】(1)的半径为10； (2)． 【分析】（1）设，利用勾股定理构建方程求解； （2）证明，可得结论． 【解析】（1）解：设， ∵，是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 17．如图，在中，． (1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆即可求解； （2）连接，勾股定理求得，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，从而得出是等腰直角三角形，勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆，为所作； （2）连接，如图， ，，， ， ， 为的直径， ， 平分， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了作垂线，画圆，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 18．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【解析】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 19．如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定．由题意易得，，，进而根据角的等量关系可进行求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切． 20．如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】连接，根据等边三角形和等腰三角形的性质证明，推出，进而可得结论． 【解析】证明：连接． 是等边三角形， ． 又， ， ． ， ， 又是的半径， 是的切线．    【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质、圆的切线的判定和平行线的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 21．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，则可得出答案； （2）求出，则可得出答案． 【解析】（1）解：，， ， ； （2）证明：，， ， ， 又∵点D在上， 是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法． 22．如图，在平面直角坐标系中，有三点．    (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)圆心M的坐标为_______； (3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)相切，理由见详解 【分析】本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点M． （2）根据图形即可得出点M的坐标． （3）连接，利用勾股定理判定，则直线为的切线． 【解析】（1）解：如图，点M即为所求． （2）解：由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． （3）解：直线与相切． 理由：连接， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线． 23．如图，已知以的直角边为直径作交斜边于点，连接并延长交的延长线于点，连接，点为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，可根据三角形中位线的性质可判断，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得，进而知，然后根据垂径定理可得，，再通过可知，因此可证是的切线； （）根据题意先由勾股定理求出，设，则，由勾股定理得，即，求出，最后再由勾股定理求出即可． 【解析】（1）证明: 连接， 则由题意为的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂径定理知，所在直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）∵的半径为，，， ∴为直角三角形，，， 由勾股定理得：， ∴， 由（）知，为直角三角形，且， 设，则， ∴由勾股定理得，即， 解得：， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， 在中，． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，中位线定理，熟练掌握知识点的应用质是解题的关键． 24．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等，得出，根据等边对等角，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （2）根据勾股定理，得出，进而得出，设圆的半径为，则，，再根据勾股定理，即可求出的半径． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵交的延长线于点， ∴点，在圆上， ∴，且是圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∵中，， ∴在中，， ∴，即，且点在圆上， ∴是的切线． （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，设圆的半径为， ∴，且， ∴，即，解得，， 故的半径为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合运用，涉及等边对等角、对顶角相等、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键． 25．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°． (1)求弧BC的长度； (2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接OB，OC．根据∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根据⊙O的直径为2，可得OB＝OC＝1，即利用弧长公式即可求解答案； （2）根据∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根据OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面积和扇形OBC的面积，再根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解． 【解析】（1）如图，连接OB，OC． ∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∵⊙O的直径为2， ∴OB＝OC＝1， ∴； （2）∵∠BOC＝90°， ∴△BOC是直角三角形， ∵⊙O的直径为2， ∴OB＝OC＝1， ∴△BOC的面积为， ∵， 即S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出∠BOC＝90°是解答本题的关键． 26．如图，是的直径，是的弦，且．    (1)求证：直线为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接，由，可得，从而求得，可证得直线为的切线； （2）先求和扇形的面积，进而可求出图中阴影部分的面积． 【解析】（1）证明：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴直线为的切线； （2）解：由（1）可知， 在中，∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直，学会用分割法求阴影部分面积是解题的关键． 27．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC． (1)求∠B的度数； (2)若AB＝3，求的长． 【答案】(1)54° (2) 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB ，利用∠B=∠OCB即可求出∠B； （2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长． 【解析】（1）连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠CAD＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°； （2）连接OE， ∵⊙O的直径AB＝3， ∴OA＝1．5， ∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE和掌握弧长公式是解题的关键． 28．如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)写出与的位置关系_________； (2)求证：是切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的半径长为． 【分析】（1）由，是的直径，得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，由，得，则垂直平分，所以，即可证明是的切线； （3）由，证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，则的半径长为． 【解析】（1）解：交的延长线于点，是的直径， ， ， 故答案为：； （2）证明：连接， 平分交于点， ， ， 垂直平分， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （3）解：， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 29．已知，等腰中， ． (1)如图1，当的三个顶点都在上时，求的度数； (2)如图2，当 的两个顶点 B，C在上时，分别交于点 D，E，求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识． （1）利用等边对等角得到，则，利用圆周角定理即可得到答案； （2）连接，证明，即可得到结论． 【解析】（1）解：等腰中， ． ∴， ∴， ∴， （2）证明：连接， ∵等腰中， ． ∴， ∵， ∴， ∴ 30．如图①，四边形内接于，的半径为3，，，连接． (1)的大小为__________度； (2)如图②，延长至点E，使，连接．求证：； (3)直接写出的最大值． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质及含30度角的直角三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，即可求解； （2）根据圆内接四边形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点A作于点F，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质确定，，得出，确定当为直径时，取得最大值，原式取得最大值即可． 【解析】（1）解：∵， ， 故答案为：30； （2）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵ ； （3）如图，过点A作于点F， ， ， ， ， ∵在直角三角形中， ， ， 即， ， ， 此时， 当为直径时，取得最大值，即， ∴的最大值为． 31．已知四边形内接于⊙O，对角线是⊙O的直径． (1)如图1，连接、，若，求证：平分； (2)如图2，E为⊙O内一点，满足，．若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由垂径定理证出，则可得出结论． （2）延长交于M，延长交于N，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即平分． （2）延长交于M，延长交于N， ∵，， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 32．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，角平分线定义，等边对等角，直角三角形的性质，勾股定理是求线段长的常用方法． 对于（1），连接，根据角平分线的定义和等边对等角得出，再根据得出，可得结论； 对于（2），设半径为r，则，再根据勾股定理可得答案． 【解析】（1）连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）设的半径为r，可知， 在中，， 即， 解得． 所以的半径是3． 33．如图，在半径为5的半圆中，是它的直径，点是半圆上异于点，过点作且，点是半径的中点，的延长线交于点，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若，半圆内（包含边界）存在点，使，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据可得，由得出，通过等量代换可证得； （2）连接，首先证，得出，再证明四边形是平行四边形，根据勾股定理得判定定理可证明，证明，进而证明是的切线； （3）首先证明是等边三角形，再确定点的运动轨迹，进而确定，，利用菱形的性质和勾股定理求线段的长度即可求解． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， 平分； （2）证明：连接，如图所示： ．， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （3）解：由（1）可知， 设，则， ， ， ， 在中，，即，解得， ， 是等边三角形， 由（2）可知， ， ， 的运动轨迹是以的长为直径，以的中点为圆心的圆， 在半圆内（包含边界）， ，， 四边形是菱形， ， ， 连接，，如图所示： ．是等边三角形， ， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及平行线的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，综合性比较强，解题的关键是理解题意，整合条件，灵活运用所学相关几何知识求解． 34．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接． (1)若，求的半径； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，且k的值为2 【分析】（1）由圆周角定理可知，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，证明得，再证明，进而可证是的切线； （3）过点C作于点G，则，根据证明得，再根据证明得，进而可求出． 【解析】（1）∵为的直径， ∴， ∵， 在中，由勾股定理可得： ∴， ， 故的半径长为； （2）如图，连接 为的直径， ， ， ， 平分， ， ， ， 是⊙O的半径， 是⊙O的切线； （3）存在，且k的值为2； 过点C作于点G， ， 在与中， ， ， ， 平分， ． ∴， ． 在与中， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 35．如图，内接于，为的中点，在上，连接． (1)如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）（）连接、， 利用圆的有关性质, 线段垂直平分线的判定与性质解答即可； （）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （）在上截取，连接、，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）证明：连接、， ∵为优弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴、都在的垂直平分线上， ∴是垂直平分线，即； （）证明：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，         ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：，理由， 在上截取，连接、． ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加的辅助线，熟练掌握以上知识的应用． 36．如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．    (1)如图1，求证：平分； (2)在上取点E，使得； ①如图2，E为下方上一点，连接，若，求半径； ②如图3，E为上一点，且，若半径为2，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①3；② 【分析】（1）连接，一方面由为直径，得；另一方面由切线性质得，从而；由及，得，从而，结论成立； （2）①延长交于点G，由已知可得，由角平分线性质定理得，从而可证明，得；再证明，得，则由求得直径，进而求得半径； ②连接，由得；由①知；由，可得，则；设，则；由平角可求得，从而求得，进而得，由勾股定理即可求得． 【解析】（1）证明：如图，连接， 为直径， ； 与相切， ， ； ，， ，， ， ， 平分；    （2）解：①如图，延长交于点G， 由（1）知，平分， ； ， ， ， 即； ， ， ， 即； 平分，， ， ， ； ； ， ， ； ， ， ， 故半径为3；    ②如图，连接， ， ； 由①知； ，， ， ； 设， 则； ， 即， ； 在中，，则， ； 在中，由勾股定理得．    故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合，考查了直径对的圆周角是直角，切线的性质，同弧对的圆周角相等，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，含30度直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多，灵活运用它们是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$