特训06 圆 压轴题（十大题型，江苏精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训06 圆 压轴题（十大题型，江苏精选） 目录： 题型1：面积问题 题型2：动态问题—扫过面积 题型3：动点问题—最值问题 题型4：动点问题—取值范围问题 题型5：动点问题—确定几何关系 题型6：情景探究题—逐步深化 题型7：情景探究题—拓展应用 题型8：定值问题 题型9：新定义题 题型10：圆在平面直角坐标系的应用 题型1：面积问题 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．  (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 题型2：动态问题—扫过面积 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使． (1)连接，直接写出的最大值为_____； (2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足． ①若点C的横坐标为4，求线段的长； ②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___． 题型3：动点问题—最值问题 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目∶ 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连结，作等边（A，B，C 为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路∶在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点P的坐标． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 题型4：动点问题—取值范围问题 6．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程为常数且． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)若方程的两根为、且、都为整数，，求整数的值； (3)在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于C、D．点在平面内运动． ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 题型5：动点问题—确定几何关系 7．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，为的直径，点A在上半圆上，点B在上，连接并延长交于点E，连接交于点F，交于点H，交于点G，交于点I，且． (1)若，求的度数； (2)在（1）的基础上，，则线段的长为_______； (3)若点A只能在上半圆上运动（不包括C，D两点），点B在上运动，试确定与的数量关系，并说明理由． 题型6：情景探究题—逐步深化 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．      【原题再现】 （1）如图，在四边形中，，经过点三点作，点在上吗？试说明理由．    小晨解答如下： 如图1，过三点作，连接． 中， 请你帮他完成后面的解答： 【深入探究】 （2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接，得到图2，当时，他发现平分．他的发现正确吗？试说明理由； （3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论． 【应用实践】 （4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，内接四边形中，为的直径，，作点关于的对称点，连接，若，，请直接写出的长为 ． 题型7：情景探究题—拓展应用 11．（23-24九年级上·江苏南通·期中）【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离．    【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程；    【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值；    【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值．    12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 【初步运用】 （1）如图1，四边形中，，求的度数． 请完成思路分析：如图2 ，由知在以为圆心以为半径的圆上，由∠BAC=80° ，可得 ；（本题直接填写答案，不用写出解答过程） 【方法迁移】 （2）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （3）①如图，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ． ②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求的长． 题型8：定值问题 13．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知内接于． (1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：； (3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 题型9：新定义题 14．（23-24九年级上·江苏常州·期中）小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．    (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．    (3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．    题型10：圆在平面直角坐标系的应用 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，过点A、B的与y轴交于C、D两点（点C在点D上方），连接，点E为中点．    (1)连接，求证：； (2)若的半径为2，的平方和等于24，求的长度； (3)连接，若，点P在内部，且，则B点坐标为______． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：    (1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； (2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； (3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 圆 压轴题（十大题型，江苏精选） 目录： 题型1：面积问题 题型2：动态问题—扫过面积 题型3：动点问题—最值问题 题型4：动点问题—取值范围问题 题型5：动点问题—确定几何关系 题型6：情景探究题—逐步深化 题型7：情景探究题—拓展应用 题型8：定值问题 题型9：新定义题 题型10：圆在平面直角坐标系的应用 题型1：面积问题 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 【答案】(1)16 (2)①；② 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可； ②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：连接，   四边形是正方形， ， 解得：， 正方形的边长为4， 正方形的面积为16． （2）解：①连接，，   四边形是正方形，且其面积为16， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得（舍） ， ． ②连接，，，   ，且， ，， 又， ， 共线， ， ． 题型2：动态问题—扫过面积 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使． (1)连接，直接写出的最大值为_____； (2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足． ①若点C的横坐标为4，求线段的长； ②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接，求出，再由，点C是该半圆周上一动点，得出当点C与点A重合时，，此时取得最大值，即可得出结论； （2）①连接，过点C作轴于点G，则，得，再求出，得，，，然后由圆周角定理得，则，，进而证，即可解决问题； ②结合为直径，，易得是的垂直平分线，，如图，点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，列式即可作答． 【解析】（1）解：如图1，连接， ∵点， ∴， ，， ∵，点C是该半圆周上一动点， ∴当点C与点A重合时，，如图， 此时取得最大值； （2）解：①如图，连接，过点C作轴于点G， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C的横坐标为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得： 即线段的长为； ②依题意，如图3： 因为为直径， 所以， 因为， 所以是的垂直平分线， 则， 故点D在以点A为圆心，为半径的半圆上，点C在以点O为圆心，为半径的半圆上， 所以点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，涉及圆周角定理，线段最值，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，面积差等知识内容，难度较大，综合性较强，要求学生有较强的作图能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型3：动点问题—最值问题 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 【答案】（1）50，130；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据圆周角定理即可求出，根据圆内接四边形即可求出； （2）分在优弧上和在劣弧上两种情况分类讨论即可求解； （3）作线段的垂直平分线，以为直径作圆，交垂直平分线于点，以点为圆心，以为半径作圆，则（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）先证明，得到，，根据（3）问点P的运动轨迹是，，连接CO，证明，进而得到，，根据勾股定理求出，根据，可得，即可求出的最小值为． 【解析】解：（1）， ． 故答案为：50，130； （2）当在优弧上时，； 当在劣弧上时，； 故答案为：或 （3）如图（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形． 证明：∵为的直径， ∴， 在中，∵点C在上， 由（2）得， ∴（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）解：如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是， ∴． 连接CO， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，综合性强，难度较大，解题时要熟知相关知识，注意在解决每一步时都要应用上一步结论进行解题． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目∶ 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连结，作等边（A，B，C 为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路∶在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点P的坐标． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 【答案】（1），理由见解析（2）3（3）最大值为，（4）的最小值为最大值为 【分析】（1）结论：．只要证明即可； （2）利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）连接，将绕着点P顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当N在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；过P作轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； （4）以为边作等边三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点D在以为直径的上运动，由图可知，当点D在上方，时，的值最大；欲求的最小值，只要求出的最小值即可． 【解析】解：（1）（1）如图中，结论：， 理由：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵的半径为1，点． ∴ 在中，， ∴当E、O、A共线， ∴的最大值为3， ∴的最大值为3． 故答案为3． （3）如图，连接， ∵将绕着点P顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形， ∴， ∵A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴线段长的最大值=线段长的最大值， ∴当N在线段的延长线时，线段取得最大值（如图2中） 最大值， ∵， ∴最大值为； 如图，过P作轴于E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边作等边三角形，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可， 当M、D、O共线时，最小， 如图： ∵，O是中点，是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 如图，以为边作等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可， ∵定值，， ∴点D在以为直径的半圆上运动， 由图可知，当点D在上方，时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为． 综上，的最小值为最大值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】(1)4或5秒 (2)存在， (3)①4；② 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题． 【解析】（1）解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 整理得：， 解得， 即或5秒时，的面积为20． （2）解：如图，连接， 经过点， ， ∵， ， ， 解得或（舍去）， 当时，⊙P经过点． （3）解：①如图，设与相切于点，连接，则， ， ∵为半径，且， ∴，，， ， ， ， ， 时，与相切．     ②由①得：，， 如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴,，, ∴, ∴， ∴, ∴， 即线段的最大值为。 故答案为： 【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题． 题型4：动点问题—取值范围问题 6．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程为常数且． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)若方程的两根为、且、都为整数，，求整数的值； (3)在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于C、D．点在平面内运动． ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或②或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，及其根的整数性，点与圆的位置，锐角三角形的特征． （1）证明一元二次方程根的判别式大于等于零即可． （2）因式分解法求得方程的两个根，根据根的整数性，分类讨论计算即可． （3）①根据确定，得到，，从而得到，，根据点在上，则，计算即可． ②分点P在上，内，外，外部时，再分在的左侧和，之间，在的右侧和，之间求解即可． 【解析】（1）∵方程一元二次方程为常数且，， ∴， ∴方程一定有两个实数根． （2）∵方程一元二次方程为常数且， ∴， 解得． ∵方程的两根为、且、都为整数，，k为整数， ∴，且， 当时，都不满足， 故． （3）①∵， ∴的两个根为， ∴，， ∴， ∴，，的半径为3， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， 解得， 故或． ②当点P在上时，根据①得或，为直径，此时 ，三角形都是直角三角形； 当点P在内时，连接，延长交于点N，连接，，则, ，是钝角，此时三角形是钝角三角形，不符合题意； 当点P在外部时，作于点A，于点B， 此时，三角形都是直角三角形；根据，， 此时或； 当点P在的左侧和的右侧时，显然此时，此时的三角形是钝角三角形； 当点P在，之间和，之间是符合题意的锐角三角形， 故a的取值范围是或． 题型5：动点问题—确定几何关系 7．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，为的直径，点A在上半圆上，点B在上，连接并延长交于点E，连接交于点F，交于点H，交于点G，交于点I，且． (1)若，求的度数； (2)在（1）的基础上，，则线段的长为_______； (3)若点A只能在上半圆上运动（不包括C，D两点），点B在上运动，试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或，理由见解析． 【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而由圆周角定理推出，根据直径所对的圆周角是直角得到，由此求出即可得到答案； （2）先根据同弧所对的圆周角定理得到，则，再根据等边对等角得到，则，由垂径定理得到，，则，由此可证明是等边三角形，得到，解得到，则，再求出，，得到，由此证明是等边三角形，即可得到； （3）分如图，当点B在优弧上时，如图，当点B在劣弧上时，两种情况讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （3）解：或，理由如下： 如图，当点B在优弧上时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点B在劣弧上时，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，同弧或等弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 题型6：情景探究题—逐步深化 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 【答案】（1）3，；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解； （2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题； （3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题； 【解析】解；（1）作于点F， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：3，； （2）如图，结论：． 理由：作于，连接，． 平分，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ． （3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线． ， 正方形的边长为， 由（2）可知：， ， 由切线长定理可知：， ， 设内切圆的半径为， 则 解得， 即， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 【答案】（1）；；（2），详见解析；（3）． 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是90°，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解； （2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到； （3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解． 【解析】（1）∵平分， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E，则，， 则有， ∴，即点D到直线的距离为，    故答案为：；； （2），理由如下： 如图②，连接，作交的延长线于点N，    ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，      ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．      【原题再现】 （1）如图，在四边形中，，经过点三点作，点在上吗？试说明理由．    小晨解答如下： 如图1，过三点作，连接． 中， 请你帮他完成后面的解答： 【深入探究】 （2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接，得到图2，当时，他发现平分．他的发现正确吗？试说明理由； （3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论． 【应用实践】 （4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，内接四边形中，为的直径，，作点关于的对称点，连接，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）根据圆周角定理即可证明结论成立； （3）延长至，使，连接．根据证明，得，根据勾股定理得，进而可证结论成立； （4）由轴对称的性质可得，，证明，可得．证明，可证，过点Q作交的延长线于点E，证明得，然后根据勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：如图1，过三点作，连接．    中，， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∴点在上 （2）正确． 中， 中， 平分． （3）如图2，延长至，使，连接．    四边形是内接四边形 又 （4）延长至点Q，使，连接，，    ∵点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴． 由（3）的结论可知，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴． 过点Q作交的延长线于点E， ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型7：情景探究题—拓展应用 11．（23-24九年级上·江苏南通·期中）【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离．    【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程；    【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值；    【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值．    【答案】【初步探究】见解析；【直接运用】长度的最小值为；【构造运用】线段的最小值为． 【分析】初步探究：本题考查连点间线短距离最短，根据两点间线短距离最短结合半径相等即可得到答案； 直接运用：本题考查圆外一点与圆上点最小距离问题，连接圆心与圆外点交圆于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 构造运用：先证明得到定角，即可得到点P的路径是一段以为直径的弧，结合最短距离问题及勾股定理即可得到答案； 【解析】初步探究： 证明：∵，，， ∴； 直接运用： 解：取的中点E，连接，交半圆于，在半圆上任取P1，连接，，可见，，即是的最小值．      在中，，，， ∴， ∵， ∴； 即长度的最小值为． 构造运用： 解：如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴； 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为Q，连接交弧于点P，此时的长度最小， 在中，， ∴． 答：线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆外一点到圆上点最小距离问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是找到最小距离点及定直角得到动点在圆上． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 【初步运用】 （1）如图1，四边形中，，求的度数． 请完成思路分析：如图2 ，由知在以为圆心以为半径的圆上，由∠BAC=80° ，可得 ；（本题直接填写答案，不用写出解答过程） 【方法迁移】 （2）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （3）①如图，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ． ②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）由圆周角定理可得答案； （2）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （3）①在上截取一点使得，连接，以为直径作圆，过点作交于，过点作交于，延长交于，由矩形的性质结合勾股定理即可得出答案；②作的外接圆，过圆心作于，于，连接，，则四边形是矩形，由圆周角定理及勾股定理进行计算即可得出答案． 【解析】解：（1）， 三点都在以为圆心，以长为半径的圆上， ， ， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， ； （3）①如图所示，在上截取一点使得，连接，以为直径作圆，过点作交于，过点作交于，延长交于，当与圆相切时， ∵四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图所示，作的外接圆，过圆心作于，于，连接，，则四边形是矩形， ， ， ， 在直角中， ∴， ，为圆心， ∴， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解此题的关键． 题型8：定值问题 13．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知内接于． (1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：； (3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的值是定值，定值为2． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）过点C作直径，连接，利用等角的余角相等求得，推出，再根据垂径定理证明是的中位线，据此即可证明； （3）在上截取，证明，推出，由等腰三角形的性质求得，推出，据此即可求解． 【解析】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点C作直径，连接，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （3）解：的值是定值，定值为2， 在上截取，连接，，，，    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型9：新定义题 14．（23-24九年级上·江苏常州·期中）小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． (1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．    (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．    (3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．    【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得． （2）如图，在上截取＝，连接、、、，由是的中点，得，进而证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得证； （3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得． 【解析】（1）如图，连接，，      ∵是劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取＝，连接、、、，      ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵＝， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴由（）得， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为∶． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形得性质，勾股定理，弧、弦、弦心距之间得关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型10：圆在平面直角坐标系的应用 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，过点A、B的与y轴交于C、D两点（点C在点D上方），连接，点E为中点．    (1)连接，求证：； (2)若的半径为2，的平方和等于24，求的长度； (3)连接，若，点P在内部，且，则B点坐标为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接并延长，交于点F，利用直角三角形的斜边上的中线的性质，对顶角的性质，圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； （2）连接，过点P作于点M，于点N，利用垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理解答即可得出结论； （3）连接，连接并延长交于点F，利用垂径定理，等腰直角三角形的性质得到的延长线经过点O，利用（1）的结论，圆周角定理，对顶角的性质和三角形的内角和定理得到为等腰直角三角形，再利用全等三角形的判定与性质求得，利用等腰直角三角形的性质得到的长度，则结论可得． 【解析】（1）连接并延长，交于点F，如图，    ∵点E为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过点P作于点M，于点N，如图，    则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴ ， ∵的平方和等于24， ∴， ∴； （3）连接，连接并延长交于点F，如图，    ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴的延长线经过点O，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 由（1）知：， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：    (1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； (2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； (3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长； （2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标； （3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得，在中，得出，在中求得，继而根据即可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而垂径定理即可求解． 【解析】（1）如图，连接，    ∵边恰好与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴中，,， ∴， ∴, 故答案为：； （2）如图，连接，设线段交于点，过点作于，    ∵边与相切于点， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴中，, ∴， （3）解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接，    ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴, 在中，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴； ②当点在点下方时，如图， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， 过点作， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即点重合， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$