特训05 圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训05 圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系） 目录： 题型1：“有直径现直角” 题型2：“有垂径现三角形” 题型3：题型1和题型2综合 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 题型5：题型1-4综合 题型6：截长补短作垂直 题型7：构造全等三角形 题型8：构造圆内接四边形 题型9：作垂线 题型10：有切线作垂线 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 题型12：构造垂直，拆解线段 题型13：假设法作垂直需寻求位置关系中的临界值 题型14：内心有关的辅助线作法 题型1：“有直径现直角” 1．如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．    (1)如图1，若，的度数为，求的长． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 题型2：“有垂径现三角形” 2．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 题型3：题型1和题型2综合 3．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 4．如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 题型5：题型1-4综合 5．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为5，，求的长． 题型6：截长补短作垂直 6．如图，内接于，，弦与交于点E，，过点A作于点F． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，求的值． 题型7：构造全等三角形 7．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接BE． ∵四边形ABCP是的内接四边形，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？ 8．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，． (1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数； (2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：； (3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 题型8：构造圆内接四边形 9．如图，内接于，弦、相交于点，．    (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接并延长交于点，连接，沿所在直线作劣弧的轴对称图形经过点，，，求线段的长度． 题型9：作垂线 10．已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 题型10：有切线作垂线 11．已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点． (1)如图1，当点在线段中点时，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长； (3)如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值． 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 12．已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：    (1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； (2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； (3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 题型12：构造垂直，拆解线段 13．如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．    (1)若，求的度数； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 题型13：假设法作垂直需寻求位置关系中的临界值 14．如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 题型14：内心有关的辅助线作法 15．如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 16．如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系） 目录： 题型1：“有直径现直角” 题型2：“有垂径现三角形” 题型3：题型1和题型2综合 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 题型5：题型1-4综合 题型6：截长补短作垂直 题型7：构造全等三角形 题型8：构造圆内接四边形 题型9：作垂线 题型10：有切线作垂线 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 题型12：构造垂直，拆解线段 题型13：假设法作垂直需寻求位置关系中的临界值 题型14：内心有关的辅助线作法 题型1：“有直径现直角” 1．如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．    (1)如图1，若，的度数为，求的长． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 【答案】(1)1 (2) (3)1或2 【分析】（1）连接，等弧等角，得到，三线合一，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可； （2）同法（1）求出，进而求出的长，即可得解； （3）分和，两种情况进行讨论求解． 【解析】（1）解：连接，则：， ∵点是中点，的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则：， ∵为直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， 同法（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当时，如图： ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴ ，度数均为， ， ， ， ∵， ， ； 当时，，连结， ∵， ， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，为的中点， ∵， ∴， ， ∵，为的中点， 是的中位线， ， ， ． 综上：与的面积比为1或2． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，圆周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，三角形的中位线定理，综合性较强，属于中考几何常见的压轴题．熟练掌握相关定理和性质，是解题的关键． 题型2：“有垂径现三角形” 2．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)的长度不发生变化； (3) 【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得． （2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可． （3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可． 【解析】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴圆的半径为5，    ∵， ∴， ∴． （2）的长度不发生变化；．理由如下： 如图，连接，    ∵直径，，，弦，， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故的长度不发生变化；． （3）如图，连接， ∵，    ∴点H的运动轨迹是以为直径的上的， 当D、H、N三点共线时，取得最小值， 连接，交于点M， 故当H与M重合时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， 过点N作于点F， 则， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键． 题型3：题型1和题型2综合 3．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接、，可证是的垂直平分线，即可求证； （2）连接，可求，由此可求，由，即可求解； （3）连接、，设，可得，从而可求，，进而可求，可证 ，可得，可求，即可求解． 【解析】（1）证明∶如图，连接、， ， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， 点H为弧的中点， ， ， ， ， ， ， 故的度数为； （3）解：如图，连接、， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，线段平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性质，能根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 4．如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意求得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （3）根据题意证明出，利用勾股定理得到是等边三角形，再利用含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【解析】（1）解：证明：连接， ， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （2）解：解：连接． ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：连接． ， ∵， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质和判定，等边三角形性质及判定，含角的直角三角形三边关系． 题型5：题型1-4综合 5．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)与相切，证明见解析 (3) 【分析】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质“切线垂直于过圆心的直经或（半径）”和判定，三角形中位线的性质“三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半”和判定，解题的关键是做出对应辅助线； （1）连接，根据弧与弧相等，得出，根据是的直径，得出，证出，即可求证； （2）连接，根据，得出，证出是的中位线，得出，根据，证出，由等量代换得出，根据平行线性质得出，即可证明与相切； （3）连接，根据弧与弧相等证出，根据，得出，结合（2）得出，证出是的中位线，得出， 设长为x，则，表示出，，，根据是的直径，得出，在中，运用勾股定理解出x，得出，，在中，运用勾股定理解出； 【解析】（1）证明：连接， ∵弧与弧相等； ∴， ∵是的直径； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）与相切， 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O是的中点， 是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （3） 解：连接， ∵弧与弧相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 设长为x，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴在中，， 即， 解得或（舍）， ，， 在中，， 解得． 题型6：截长补短作垂直 6．如图，内接于，，弦与交于点E，，过点A作于点F． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由判断出，再判断出，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于，先判断，再判断出，进而判断出，得出，再判断出，判断出，即可得出结论； （3）过点作交的延长线于，由，判断出，设，则，得出，根据勾股定理得，，即可得出结论． 【解析】（1）解：；理由： （2）证明：过点C作交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ， 即；    （3）过点作交的延长线于， 由（2）知，， 设则 根据勾股定理得， 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆中弧、弦、圆心角之间关系，全等三角形的判定和性质，常见全等三角形判定方法：“”，三角形的面积公式，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 题型7：构造全等三角形 7．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接BE． ∵四边形ABCP是的内接四边形，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？ 【答案】感知：45；探究：见解析；应用： 【分析】感知：根据圆周角定理即可得出答案； 探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论； 【解析】感知：解：∵，， ∴， 故答案为：45； 探究：证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； 应用：解：如图③， 延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 8．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，． (1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数； (2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：； (3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，16 【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质推知，，易得的度数； （2）如图2，连接，，，利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：；根据等腰的性质知：；结合的内角和定理得到：，即； （3）设，．如图3，延长至点，使，连接，作于点E．构造全等三角形：，则该全等三角形的对应边相等，，由勾股定理知，，代入化简即可得到该结论． 【解析】（1）解：如图1， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图3，延长至点，使，连接，作于点E． 设，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵于点E． ∴． ∵， ∴． 化简得， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、圆周角、弧、弦间的关系、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要熟练以上各部分内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 题型8：构造圆内接四边形 9．如图，内接于，弦、相交于点，．    (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接并延长交于点，连接，沿所在直线作劣弧的轴对称图形经过点，，，求线段的长度． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）根据可得，再由同弧所对的圆周角相等可得，即可得到，进而可得证． （2）过点作，并延长交于，连接，，，即可证得，，进而得到，即可得证． （3）连接，设交于点，连接，根据折叠以及垂径定理可得四边形是菱形，进而得出，勾股定理求得半径，根据得出，进而得出，勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的圆周角， ∴为的直径． （2）解：过点作，并延长交于，连接，，，如下图所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理在和中可得：， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图所示，连接，设交于点，连接，    ∵劣弧的轴对称图形经过点， ∴， ∵是直径， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，在中，， 即， 解得：，    ∵菱形，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行弦问题，弦与弧的关系，勾股定理，圆内接四边形性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型9：作垂线 10．已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【答案】(1)①证明过程见详解；② (2)的最大值为104． 【分析】 （1）①根据等腰三角形性质证，再用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据顶角为的等腰三角形可证，角度相减即可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理用和去表示，根据已知数据整理得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大即可求解． 【解析】（1）①证明：， ， ∵A、F、E、C四点在上， 、为弧所对圆周角， ， ， 即． ②解：由①可知， , ， ， ； （2）过A点作的垂线，垂足为P， ， 则，， ， 即， 在中，， 即当最大时，最大， 即当过圆心O时为直径最大， 的半径为3， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．利用勾股定理把转化为是解决此题的关键． 题型10：有切线作垂线 11．已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点． (1)如图1，当点在线段中点时，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长； (3)如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，，； 【分析】（）利用勾股定理和线段中点的性质即可求解； （）连接，由得是的直径，则，再根据点为中点证明，再通过角平分线性质和等面积法求出，最后由勾股定理即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况讨论即可； 此题考查了圆周角定理，勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴在中，有勾股定理得：， ∵点是线段中点， ∴， 在中，有勾股定理得：， （2）解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 由（）得：， 设，则 ∵， ∴，解得：，即， 在中，有勾股定理得：； （3）解：分三种情况， 当时，连接，过作于点，由（）得：， ∴， ∴， 由（）得：，即， ∴ 设，则， ∴在中，由勾股定理得：，即，解得：， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， ∴； 如图，当时，连接，过作于点，由（）得：， ∴， 在和中 ∵， ∴ ∴， 在中，有勾股定理得：； 综上可知：或或． 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 12．已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：    (1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； (2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； (3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长； （2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标； （3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得，在中，得出，在中求得，继而根据即可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而垂径定理即可求解． 【解析】（1）如图，连接，    ∵边恰好与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴中，,， ∴， ∴, 故答案为：； （2）如图，连接，设线段交于点，过点作于，    ∵边与相切于点， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴中，, ∴， （3）解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接，    ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴, 在中，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴； ②当点在点下方时，如图， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， 过点作， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即点重合， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 题型12：构造垂直，拆解线段 13．如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．    (1)若，求的度数； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题； （2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题； ②作，证明四边形为矩形，再根据线段的和差即可解决问题． 【解析】（1）如图，连接，    ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 设，则， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，作于点M，于点N，    由①得：， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴由勾股定理得，， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 题型13：假设法作垂直需寻求位置关系中的临界值 14．如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）①；（3） 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考(I)的方法，得出到直线的距离与的关系，然后根据到直线的距离随线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【解析】（1）解：连接，在中，设，则． 在中，， ∴，即．解得． （2）（I）解：过点分别作，连接，    ∵过圆心，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 设，则， 在中， 在中， ∴，即． 解得， ∴，即． （II）过点分别作，连接，如图：    由（I）知：， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵到的距离， 类比平面直角坐标系内的几何意义， ∴的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过作，交于，交于，过作于，作于，连接，过作于，如图：    由（II）知，， 四边形是矩形， 小与相交且与相离， 即 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． 题型14：内心有关的辅助线作法 15．如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 【答案】(1)8 (2) (3)见详解 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，三角形内角和定理． （1）在直角中，直接用勾股定理即可求出； （2）由是的内心，，，易得，故，所以； （3）连接，则，由点是的内心，易得是等腰直角三角形，则，然后利用三角形外角性质证得即可． 【解析】（1）解：∵是直径， ∴ ∴ ，， 解得： ∵ ∴； （2）∵是的内心 ∴设， ∵， ∴ 即 ∴ ∴； （3）如图，连接，则 点是的内心 ∴平分 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 , , ∴． 16．如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）证明是直径，再证明，可得结论； （2）连接，证明，可得结论； （3）如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．证明四边形是正方形，再证明，推出，因为与内切于点，，，推出，，，可得． 【解析】（1）证明：如图1中，   ， ， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2中，连接．   是的内心， ，， ，，， ， ； （3）解：如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．   ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 与内切于点，，， ，，， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$