【每周一卷】2024-2025学年苏科版九年级数学第一周周测卷

第一周周测卷 测试范围：1.1—1.4 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣3x＝0 2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 3．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（　　） A．120（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝120 C．100（1+x）2＝120 D．120（1+x）2＝100 4．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 5．若关于x的一元二次方程x2﹣bx+3＝0有一个根是3，则b的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．一元二次方程x2+4x﹣7＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝4 B．（x+2）2＝4 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝11 7．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 　时，是关于x的一元二次方程． 10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　 　． 11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 　 　． 12．重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　． 13．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　 　． 14．已知M＝x2+x，N＝3x﹣2，则M，N的大小关系是M 　 　N（填“＞”、“＜”或“＝”）． 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 16．若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 　 　． 17．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　 　． 18．已知a≠b，且a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，那么　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（12分）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4＝0； （2）2x2﹣3x﹣2＝0（公式法）； （3）x2﹣4x﹣2＝0（配方法）； （4）3（x+2）＝2x（x+2）． 20．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21．（6分）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为5：1的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为x米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时x的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出x的值；若不可能，请说明理由． 22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 23．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 25．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”． （1）方程①x2﹣6x+8＝0，②x2﹣x﹣2＝0中，是“倍根方程”的序号 　 　； （2）若一元二次方程x2+9x+c＝0是“倍根方程”，求出c的值； （3）若（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”，求代数式的值． 26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一周周测卷 测试范围：1.1—1.4 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣3x＝0 【分析】根据一元二次方程的定义即可解答． 【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1， ∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0． ∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＜0，方程有两个相等的实数根；当Δ＝0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 3．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（　　） A．120（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝120 C．100（1+x）2＝120 D．120（1+x）2＝100 【分析】易得第一次降价后的价格为：120×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为：120×（1﹣x）×（1﹣x），那么相应的等量关系为：原价×（1﹣降低的百分率）2＝第二次降价后的价格，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵某种商品原价是120元，平均每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后的价格为：120×（1﹣x）， ∴第二次降价后的价格为：120×（1﹣x）×（1﹣x）＝120×（1﹣x）2， ∴可列方程为：120（1﹣x）2＝100， 故选：A． 【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键． 4．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣bx+3＝0有一个根是3，则b的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】把x＝3代入一元二次方程得到9﹣3b+3＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣bx+3＝0得9﹣3b+3＝0， 解得b＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．一元二次方程x2+4x﹣7＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝4 B．（x+2）2＝4 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝11 【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可． 【解答】解：x2+4x﹣7＝0， x2+4x＝7， x2+4x+4＝7+4， （x+2）2＝11， 故选：D． 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键． 7．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2． 8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0或x0 ∴2ax0+b或2ax0+b ∴ 故④正确． ⑤令y＝ax2+bx+c，则存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　﹣2　时，是关于x的一元二次方程． 【分析】据一元二次方程的定义列式代数计算，即可作答． 【解答】解：∵（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程． ∴2﹣m≠0，|m|＝2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程． 10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　﹣1　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得关于m的方程，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值． 【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1， 而m﹣1≠0， 所以m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义． 11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 　m＞1　． 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． 【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0， 解得：m＞1． 故答案为：m＞1． 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根． 12．重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　1500（1+x）2＝1800　． 【分析】根据今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，列一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意，得1500（1+x）2＝1800， 故答案为：1500（1+x）2＝1800． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 13．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　5　． 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，将代数式变形为（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β），整体代入即可． 【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1， ∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5． 方法二：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴α2﹣2α﹣1＝0，∴α2＝2α+1 ∴α2+2β＝2α+1+2β＝2（α+β）+1＝2×2+1＝5 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 14．已知M＝x2+x，N＝3x﹣2，则M，N的大小关系是M 　＞　N（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用求差法比较大小即可． 【解答】解：M﹣N＝x2+x﹣（3x﹣2） ＝x2﹣2x+2 ＝（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴M﹣N＞0， ∴M＞N． 故答案为：＞． 【点评】本题考查整式的加减，配方法的应用，非负数的性质：偶次方等知识，解题的关键是学会利用求差法比较大小． 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k且k≠0　． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0， 解得k且k≠0． 即实数k的取值范围是k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 16．若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 　7　． 【分析】根据根与系数的关系，即可得出α+β、αβ的值，整体代入此题得解． 【解答】解：∵a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根， ∴α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α﹣αβ+β ＝α+β﹣αβ ＝2+5 ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 17．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　24或8　． 【分析】由x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x＝6时，是等腰三角形；与x＝10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【解答】解：∵x2﹣16x+60＝0， ∴（x﹣6）（x﹣10）＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高， ∴BD＝4，AD2， ∴S△ABCBC•AD8×28； 当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， S△ABCBC•AC8×6＝24． ∴该三角形的面积是：24或8． 故答案为：24或8． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 18．已知a≠b，且a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，那么　1　． 【分析】本题关键是由已知a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，得a、b是方程x2﹣13x+1＝0的两根，从而得两根关系式，将分式化简，把两根关系式代入即可． 【解答】解：由题意得a，b是x2﹣13x+1＝0的两根，那么a+b＝13，ab＝1． ∴原式1． 【点评】解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（12分）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4＝0； （2）2x2﹣3x﹣2＝0（公式法）； （3）x2﹣4x﹣2＝0（配方法）； （4）3（x+2）＝2x（x+2）． 【分析】（1）先移项，再开方，即可得出方程的解； （2）先准确找到方程的a，b，c，求出Δ，代入公式即可得解； （3）先把方程移项，再配方，直接开平方即可； （4）先提公因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可 【解答】解：（1）x2﹣4＝0， x2＝4， x＝±2， 即x1＝2，x2＝﹣2； （2）2x2﹣3x﹣2＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣2）＝25， ∴x， 解得：x1，x2＝2； （3）x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝6， （x﹣2）2＝6， x﹣2 解得：x1＝2，x2＝2； （4）3（x+2）＝2x（x+2） （3﹣2x）（x+2）＝0， 3﹣2x＝0，x+2＝0， 解得：x1，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 20．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【解答】解：（1）设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2， 解得：x，a， 即a，方程的另一个根为； （2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 21．（6分）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为5：1的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为x米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时x的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出x的值；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出养牛场的长为6x米，宽为（48﹣6x）米，根据矩形养殖场的总面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的长度为15米，即可确定结论； （2）假设有可能达到180平方米，根据矩形养殖场的总面积为180平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的长度为15米，即可确定结论． 【解答】解：（1）∵较小长方形的宽为x米，中间再用栅栏把它分成两个面积为5：1的长方形， ∴养牛场的长为6x米，宽为（48﹣6x）米， 根据题意得：6x•（48﹣6x）＝144， 整理得：x2﹣8x+12＝0， 解得：x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，6x＝6×2＝12＜15，符合题意； 当x＝6时，6x＝6×6＝36＞15，不符合题意，舍去． 答：此时x的值为2； （2）养牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 假设有可能达到180平方米，根据题意得：6x•（48﹣6x）＝180， 整理得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，6x＝6×3＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝5时，6x＝6×5＝30＞15，不符合题意，舍去． ∴养牛场的总面积不可能达到180平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断； （2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可； 【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， 无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 整理，得 2﹣k＝0． 解得 k＝2， 此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0． 解此方程，得 x1＝1，x2＝3． 所以方程的另一根为x＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 23．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000， 整理，得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 25．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”． （1）方程①x2﹣6x+8＝0，②x2﹣x﹣2＝0中，是“倍根方程”的序号 　①　； （2）若一元二次方程x2+9x+c＝0是“倍根方程”，求出c的值； （3）若（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”，求代数式的值． 【分析】（1）求出x2﹣6x+8＝0的根为x1＝2，x2＝4，可知x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”；求出x2﹣x﹣2＝0的根为x1＝2，x2＝﹣1，知x2﹣x﹣2＝0不是“倍根方程”； （2）设x2+9x+c＝0的两个根为k和2k，可得，即可解得c的值为18； （3）求出x1＝2，x2，可得1或4，即a＝b或b＝4a，分别代入求值即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0的根为x1＝2，x2＝4， ∴x2＝2x1， ∴x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”； x2﹣x﹣2＝0的根为x1＝2，x2＝﹣1， ∴x1≠2x2， ∴x2﹣x﹣2＝0不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程x2+9x+c＝0是“倍根方程”，设x2+9x+c＝0的两个根为k和2k， ∴， 解得c＝18； 经检验，c＝18符合题意， ∴c的值为18； （3）由（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）得x1＝2，x2， ∵（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”， ∴1或4，即a＝b或b＝4a， 当b＝a时，； 当b＝4a时，； ∴代数式的值为或． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． 26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得； （2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102， ∴，； ∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm； （2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当时，PB＝16﹣3y， ∴，即， 解得y＝4； ②当时，BP＝3y﹣16，QC＝2y， 则， 解得（舍去）； ③时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y， 则， 解得y＝18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2． 【点评】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$