专题6　一元一次不等式组 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题6　一元一次不等式组 【知识梳理】 1．一元一次不等式组的有关概念 (1)由几个含______________________所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组． (2)组成不等式组的各个不等式的解的_________就是不等式组的解． 2．解一元一次不等式组的一般步骤 (1)求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解． (2)利用_________确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解． 3．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(已知a<b)： (1)的解集是_________，即“小小取小”． (2)的解集是_________，即“大大取大”． (3)的解集是_________，即“大小小大中间找”． (4)的解集是_________，即“大大小小取不了”． 【例题探究】 【例1】　已知关于x的不等式组的解集为3≤x<5，则的值为(　　) A．－2 B．－ C．－4 D．－ 【思路点拨】　先求出不等式组的解集，再根据解集为3≤x<5，可得到关于a，b的方程组，即可解答本题． 【例2】　若关于x的一元一次不等式组的解是x>3，则m的取值范围是(　　) A．m>4 B．m≥4 C．m<4 D．m≤4 【思路点拨】　先求出每个不等式的解，再在数轴上画出这两个解，使得它们的公共部分是x>3，然后根据数轴列出不等式，即可求得m的取值范围． 【例3】　若关于x的不等式组只有四个整数解，则a的取值范围是(　　) A．－5≤a<－ B．－5≤a≤－ C．－5<a≤－ D．－5<a<－ 【思路点拨】　先求出不等式组的解集，再利用已知条件求出参数a的取值范围． 【例4】　已知方程组的解x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围． (2)在(1)的条件下，若不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1，求整数a的值． 【思路点拨】　(1)先解方程组求出x，y，再根据x为非正数，y为负数列出不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围；(2)根据不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1，可得出a的取值范围，进而求得整数a的值． 【例5】　定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数． 例如，[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4. (1)如果[a]＝－2，那么a的取值范围是________． (2)如果＝3，求满足条件的所有正整数x. 【思路点拨】　(1)根据符号[a]的含义，直接写出a的取值范围即可；(2)根据题意得出3≤＜4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解． 【例6】　解下列不等式： (1). (2)<0. (3)(3x－6)(2x＋1)>0. 【思路点拨】　第(1)小题中的不等式不是一元一次不等式，因此不能用解一元一次不等式的方法来解．但由绝对值的知识：|x|<a(a>0)可知，－a<x<a，将其转化为若|x|>a(a>0)，则x>a或x<－a. 【例7】　已知x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，x，y，z为非负数，求M＝5x＋4y＋2z的取值范围． 【思路点拨】　通过解方程组求出y，z关于x的关系式，可得M关于x的关系式，再由x，y，z为非负数，列不等式组求出x的取值范围，进而求出M的取值范围． 【答案解析】 【知识梳理】 1．一元一次不等式组的有关概念 (1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组． (2)组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解． 2．解一元一次不等式组的一般步骤 (1)求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解． (2)利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解． 3．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(已知a<b)： (1)的解集是x<a，即“小小取小”． (2)的解集是x>b，即“大大取大”． (3)的解集是a<x<b，即“大小小大中间找”． (4)的解集是空集，即“大大小小取不了”． 【例题探究】 【例1】　已知关于x的不等式组的解集为3≤x<5，则的值为(　　) A．－2 B．－ C．－4 D．－ 【解题过程】　不等式组 由①，得x≥a＋b. 由②，得x<. ∴不等式组的解为a＋b≤x<. ∵关于x的不等式组的解集为3≤x<5， ∴解得 ∴＝－2. 故选A. 【方法归纳】　此类问题通常先求出不等式组的解，再与已知的不等式组的解进行比较，列出方程组进行求解． 【例2】　若关于x的一元一次不等式组的解是x>3，则m的取值范围是(　　) A．m>4 B．m≥4 C．m<4 D．m≤4 【解题过程】　 解不等式①，得x>3. 解不等式②，得x>m－1. ∵关于x的一元一次不等式组的解是x>3， ∴m－1≤3，解得m≤4. 故选D. 【方法归纳】　这类问题通常可将各个不等式的解在数轴上表示出来，利用数形结合的思想来求解，写取值范围时要注意端点的情况． 【例3】　若关于x的不等式组只有四个整数解，则a的取值范围是(　　) A．－5≤a<－ B．－5≤a≤－ C．－5<a≤－ D．－5<a<－ 【解题过程】　解原不等式组，得2－3a<x<21．由题设条件可知，2－3a<x<21包含着四个整数解，这四个整数解应为17，18，19，20．这时，2－3a应满足16≤2－3a<17，解得－5<a≤－．故选C. 【方法归纳】　利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题．其基本思路为先求出关于x的一元一次不等式组的解集，再确定此解集包含着四个整数解，由这些整数解可推断字母a的取值范围． 【例4】　已知方程组的解x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围． (2)在(1)的条件下，若不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1，求整数a的值． 【解题过程】　解：(1) 由①＋②，得2x＝－6＋2a. 解得x＝a－3. 由①－②，得2y＝－8－4a. 解得y＝－2a－4. ∵x为非正数，y为负数，∴ ∴a的取值范围是－2＜a≤3. (2)将不等式2ax＋x＜2a＋1化简为(2a＋1)x<2a＋1. ∵2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1，∴2a＋1＜0，∴a＜－. 又∵－2＜a≤3，∴－2＜a＜－. ∴整数a的值为－1. 【方法归纳】　本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式(组)的解法．正确求得方程组的解是解题的关键． 【例5】　定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数． 例如，[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4. (1)如果[a]＝－2，那么a的取值范围是________． (2)如果＝3，求满足条件的所有正整数x. 【解题过程】　(1)∵[a]＝－2，∴a的取值范围是－2≤a＜－1. (2)根据题意，得3≤＜4．解得5≤x＜7. ∴满足条件的所有正整数x为5，6. 【方法归纳】　解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论或揭示了什么数学规律或暗示了什么新的解题方法，然后将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，解决题目中提出的问题﹒ 【例6】　解下列不等式： (1). (2)<0. (3)(3x－6)(2x＋1)>0. 【解题过程】　解：(1)∵， ∴由绝对值的定义知，原不等式组可转化为－4≤≤4．∴ 解不等式①，去分母，得3x－1≥－8. 移项，得3x≥－8＋1. 合并同类项，得3x≥－7. 系数化为1，得x≥－. 解不等式②，去分母，得3x－1≤8. 移项，得3x≤8＋1. 合并同类项，得3x≤9. 系数化为1，得x≤3． ∴∴原不等式的解集为－≤x≤3. (2)∵<0，∴3x－6与2x＋1异号， 即或 解不等式组得∴此不等式组无解． 解不等式组得，∴此不等式组的解集为－<x<2. ∴原不等式的解集为－<x<2. (3)∵(3x－6)(2x＋1)>0，∴3x－6与2x＋1同号， 即或 解不等式组得∴此不等式组的解集为x>2． 解不等式组得∴此不等式组的解集为x<－． ∴原不等式的解集为x>2或x<－. 【方法归纳】　ab>0(或>0)与ab<0(或<0)这两类不等式都可以转化为不等式组的形式来进行分类讨论．这类问题一般可转化成如下情况： (1)ab>0(或>0)，∴a，b同号，即或再分别解不等式组； (2)ab<0(或<0)，∴a，b异号，即或再分别解不等式组． 【例7】　已知x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，x，y，z为非负数，求M＝5x＋4y＋2z的取值范围． 【解题过程】　解： 由①＋②，得4x＋2y＝80，∴y＝40－2x．③ 把③代入①，得z＝x－10. ∴M＝5x＋4(40－2x)＋2(x－10)＝－x＋140. ∵x，y，z为非负数，∴解得10≤x≤20. ∴120≤M≤130. 【方法归纳】　本题综合了方程组、不等式组的丰富知识．解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示M，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求出M的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$