精品解析：重庆市铜梁二中2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题

2023年秋高一入学自测卷·数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂运算分别计算判断各个选项即可. 【详解】,A选项正确; ,B选项正确; ,C选项错误; ,D选项正确. 故选:C. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中式子列出关于的不等式组，可得的取值范围. 【详解】解：根据题意，得，解得且. 故选：D. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及计算，考查基础的知识及计算，属于基础题. 3. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 1或-1 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再列式计算并验证作答. 【详解】因，则，而集合，， 则有或，解得：或， 当时，，，符合题意，当时，，不符合题意，则， 解得：，显然不符合题意， 所以实数a的值为-1. 故选：D 4. 命题：，的否定形式为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合” 【详解】由题意，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故为，. 故选：D 5. 多项式因式分解的结果是（　　）. A.   B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案. 【详解】 故选：D. 6. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由显然成立，通过举反例得出，故由充分不必要条件的定义可知答案. 【详解】由题意可知，反之不成立， 例如令，即， 则是的充分不必要条件， 故选：A. 7. 一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ） A. 有两个正根 B. 有一正根一负根且正根的绝对值大 C. 有两个负根 D. 有一正根一负根且负根的绝对值大 【答案】B 【解析】 【分析】 根据判别式大于及韦达定理得有一正一负两根排除Ａ，Ｃ，由两根之和为负得Ｂ正确 【详解】由，可知，所以方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个根为，，则，，由得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ 由和可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，考查韦达定理的应用，是基础题 8. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【详解】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 故选：C. 9. 甲､乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理解出值，则得到不等式，解出即可. 【详解】根据韦达定理得，则，则原不等式为， 解得，即解集为， 故选：B. 10. 已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】由题意化简得到，分和，两种情况讨论，分别求得一次函数的解析式，结合直线方程的特征，即可求解. 【详解】由，可得， 分两种情况讨论： 当时，可得，此时一次函数为， 可得直线过第一、二、三象限； 当时，即，可得，此时一次函数为， 可得直线过第二、四象限， 综上所述，该直线必经过第二象限． 故选：B. 11. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F是边BC上的点，且.连接AC，DF交于点G，连接AE，BG，有以下两个结论：①；②GB平分.对于结论①和②，下列判断正确的是（ ） A. ①和②都对 B. ①和②都不对 C. ①不对，②对 D. ①对，②不对 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合三角形全等可得、和，则，根据等量代换即可求得进而判定①结论；分析可知只有当时，BG平分，故则可判定②． 【详解】对于①：因为四边形ABCD是正方形，则，， 在和中，可知，则， 所以， 在和中，可知，则， 所以， 在和中，可知，则， 所以， 可得， 所以，故①结论正确； 对于②：假设GB平分，则， 因为不能确定，所以不能确定BG平分，故②结论不正确； 故选：D． 12. 函数和的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果时，那么. 其中正确的是（ ）. A. ①④ B. ① C. ①② D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数和的图象，逐项判定，即可求解. 【详解】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ， 所以，若，可得，所以①正确； 当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ， 所以，若，可得，所以②错误； 由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误； 当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ， 所以，若时，可得，所以④正确. 故选；A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. “”是“”的______条件（填“充分”或“必要”）． 【答案】充分 【解析】 【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由可得，，则“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 14. 已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据立方和公式，结合配方法，利用韦达定理，可得答案. 【详解】由，则，由，则， 利用配方法，可得，由，解得， 故答案为：（答案不唯一）. 15. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的图象用表示，再代入不等式求解即得. 【详解】由题图知，1和2是方程的两个根，且，则， 即，因此不等式为，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 16. 存在使不等式成立，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）计算: ； （2）化简: . 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）通过指数运算公式及绝对值的定义即可计算； （2）通过分式运算法则即可运算. 【详解】（1）原式; （2）原式, . 18. 如图，以边长为4的正方形的中心为原点，构建一个平面直角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）． （1）（i）请用列表的方法，表示出点的坐标的所有可能的结果； （ii）求点在正方形中（含正方形内部和边界）的概率． （2）试将正方形平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点在正方形中的概率为？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（i）答案见解析；（ii） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（i）用列表法写出点的坐标的所有可能的结果即可；（ii）由古典概型计算即可得答案； （2）要使点在正方形中的概率为，则需有且只有12个点落在正方形中（含正方形内部和边界），由此即可写出答案. 【小问1详解】 （i）设，则点坐标的所有可能结果如下表所示． （ii）由（i）知构成的点的坐标共有36种情况，其中在正方形中的有，，，这4种情况． ∴点在正方形中的概率为． 【小问2详解】 ∵点在正方形中的概率为， ∴只能将正方形向上或向右平移整数个单位长度，且使点P在正方形中的情况有12种， ∴满足要求的平移方式有两种，一种是将正方形先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度（先向右再向上亦可）；另一种是将正方形先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度（先向右再向上亦可）． 19. 已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2． （1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值； （2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0． 【答案】（1）a＝﹣1，b＝2 （2） 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根， 所以，解得a＝﹣1，b＝2； 【小问2详解】 当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0， 即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以， 当即时，解集为； 当即时，解集为或； 当即时，解集为或. 20. 如图1，点A，B，D，C在同一条直线上，B是AC的中点，点D在BC上，，，于点D，，以AB为直径，在直线AC的上方作半圆O. （1）求点O到CE的距离； （2）如图2，将半圆O与直径AB绕点B顺时针旋转得到半圆与直径（点为点A的对应点）. ①当半圆与DE相切，切点记为P时，求扇形的面积； ②当点恰好落在的边上时，求的值. 【答案】（1）； （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）过点作于，利用相似三角形性质计算即得. （2）①利用圆的切线性质及扇形面积公式计算即得；②按点在上，分别解直角三角形即可. 【小问1详解】 过点作于，在中，， 由，得， 则，， 所以点O到CE的距离为. 【小问2详解】 ①过点作于，由半圆切于点，得， 则四边形为矩形，，，于是， ，所以扇形的面积. ②当点恰好落在上时，， 因此； 当点恰好落在上时，过作于，设， 由，得，则，，， 又，于是，而，解得， 因此，， 所以的值为或. 21. 已知是一元二次方程的两个实数根. （1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值. 【小问1详解】 假设存在实数，使得成立， 一元二次方程的两个实数根， ，(不要忽略判别式的要求)， 由韦达定理得， ， 但， 不存在实数，使得成立. 【小问2详解】 ， 要使其值是整数，只需要能被整除， 故，即， ， . 22. （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由解集端点求出参数，即可进一步解不等式； （2）原命题等价于在恒成立，即. （3）对方程参变分离，则原命题等价于，有解，求等式右侧值域即可得范围. 【详解】（1）若不等式的解集为，即1，2是方程的两个根，则，即， 由得，即得，得或， 即不等式的解集为. （2）解：不等式在恒成立，即在恒成立， 故，解得，故的取值范围为. （3）解：由，得，即， 若方程在有解，等价为有解， ，，即，即，则， 即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年秋高一入学自测卷·数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 1或-1 B. 1 C. 0 D. -1 4. 命题：，的否定形式为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 多项式因式分解的结果是（　　）. A.   B. C. D. 6. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ） A. 有两个正根 B. 有一正根一负根且正根的绝对值大 C. 有两个负根 D. 有一正根一负根且负根的绝对值大 8. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 甲､乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 11. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F是边BC上的点，且.连接AC，DF交于点G，连接AE，BG，有以下两个结论：①；②GB平分.对于结论①和②，下列判断正确的是（ ） A. ①和②都对 B. ①和②都不对 C. ①不对，②对 D. ①对，②不对 12. 函数和的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果时，那么. 其中正确的是（ ）. A. ①④ B. ① C. ①② D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. “”是“”的______条件（填“充分”或“必要”）． 14. 已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是______. 15. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________. 16. 存在使不等式成立，则的取值范围是_____ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）计算: ； （2）化简: . 18. 如图，以边长为4的正方形的中心为原点，构建一个平面直角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）． （1）（i）请用列表的方法，表示出点的坐标的所有可能的结果； （ii）求点在正方形中（含正方形内部和边界）的概率． （2）试将正方形平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点在正方形中的概率为？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由． 19. 已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2． （1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值； （2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0． 20. 如图1，点A，B，D，C在同一条直线上，B是AC的中点，点D在BC上，，，于点D，，以AB为直径，在直线AC的上方作半圆O. （1）求点O到CE的距离； （2）如图2，将半圆O与直径AB绕点B顺时针旋转得到半圆与直径（点为点A的对应点）. ①当半圆与DE相切，切点记为P时，求扇形的面积； ②当点恰好落在的边上时，求的值. 21. 已知是一元二次方程的两个实数根. （1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数的整数值. 22. （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程在有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $