精品解析：山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二二部上学期开学测试数学试题

2024-2025学年度第一学期二部高二开学测试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模长公式可得，由复数的共轭概念以及复数的除法运算即可求解. 【详解】由得,所以， 故选：D 2. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法法则以及向量数量积坐标表示计算即得结果. 【详解】因为，， 所以 故选：B 【点睛】本题考查向量加法、向量数量积坐标运算，考查基本求解能力，属基础题. 3. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD＝2DC，如果，那么（ ） A. x，y B. x，y C. x，y D. x，y 【答案】A 【解析】 【分析】利用，将表示出来，再运用平面向量的线性运算即可求解 【详解】解：∵BD＝2DC， ∴； ∵， ∴； ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量的数乘与线性运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题． 4. 在中，内角的对边分别为.若，则角为（ ） A. B. 150 C. 120 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理的逆用，结合角度范围，即可求得. 【详解】将代入中得. 由，得， 故选：. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属简单题. 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 32 C. 12 D. 62 【答案】C 【解析】 【分析】 结合斜二测法的画法原理求出，，再结合面积公式求解即可. 【详解】由斜二测画法特点得， 为直角三角形， ， 故选：C. 【点睛】本题考查由直观图求平面图的面积，属于容易题. 6. 如图，是圆的直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直和直接性质可判断，，，然后证明平面PAC可判断. 【详解】因为平面，平面，平面，平面 所以 所以为直角三角形， 又因为是圆的直径，所以，为直角三角形 因为，平面PAC，平面PAC 所以平面PAC 又平面PAC， 所以，为直角三角形 综上，四面体的四个面都是直角三角形. 故选：D 7. 正三棱锥中，直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正三棱锥的几何特征及线线角的求法即可得解.。 【详解】 如上图所示，取的中点, 连结， , 为的中点， . 同理可得， 是平面内的相交直线， 平面， 平面， ， 即直线与所成的角的大小为 故选:B 8. 甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　) A. 0.9 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式进行求解即可 【详解】设事件A、B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为： 代入求值得：. 故选D． 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的概率公式，考查了数学阅读理解能力，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是（ ） A. OM平面PCD B. OM平面PDA C. OM平面PBA D. OM平面PBC 【答案】AB 【解析】 【分析】通过直线与平面平行的判定定理，即可判断AB；由线面的位置关系可判断CD. 【详解】矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点，在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM//PD，平面，平面，平面，故正确； 平面，平面，平面，故B正确； 因为MPB，平面，平面，所以OM与平面，平面相交，故CD错误； 故选：AB. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD 11. 青少年是国家的未来和民族的希望，党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身．近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶．某学校共有2 000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为 B. 样本的分位数为 C. 样本的平均值为66 D. 该校男生中低于的学生大约为300人 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数的概念判断A的真假；求出样本分位数，判断B的真假；根据频率分布直方图求样本平均值，可判断C的真假；根据样本求低于的频率，估计总体中低于的人数判断D的真假. 【详解】对A：因为所占的频率最高，可用估计样本众数，故A正确； 对B：因为所占的频率为：，所占频率为，所以样本的分位数为：，故B正确； 对C：样本平均数为：，故C错误； 对D：根据频率分布直方图，体重低于的学生的频率为：，所以估计该校男生中体重低于的学生的人数为：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】因为向量，， 若与的夹角是锐角，等价于且不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③是两条异面直线，若，，，，则. 上面的命题中，真命题的序号是________.（写出所有真命题的序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】由空间中平面平行的性质定理，面面平行的判定定理，逐一分析可得结论． 【详解】若，，，则与平行或异面，故①错误； ，，，但与不一定相交，不一定成立，故②错误； ，是两条异面直线，若，，，， 则过的平面与平面相交于直线，有，过的平面与平面相交于直线， 有，，异面，，一定相交，，，，， 如图所示，由面面平行的判定可知，故③正确. 故答案为：③. 14. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积. 【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为， 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得， 由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处， 因此，所以球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知向量满足. （1）若 ，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示法求解； （2）根据向量垂直，由数量积为0求解. 【小问1详解】 ，，设 ， 又 ， 或 . 【小问2详解】 ， ， 即 ， ， ， 即向量 与向量 夹角的余弦值为 . 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，即， 显然，所以，又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，所以， 解得， 所以. 17. 如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接交于，连接，因为为、的中点， 所以为的中位线； 所以，而平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角定义确定和平面所成的角，解三角形求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又由，而，平面， 故平面； 故即为和平面所成的角. 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 所以和平面所成角的正弦值为. 18. 某校在“全民健身日”举行了投篮活动，每名参赛者投篮10次．投中一次得1分，没投中得0分．活动结束后统计50名参赛者的平均得分为8分，方差为20．后经核实有两名参赛者的分数统计错误，把一个9分错记为7分，一个8分错记为10分，求实际得分的方差． 【答案】19.92 【解析】 【分析】设除这2名记错分的另外48名参赛者的分数分别为，根据方差公式求出，再代入公式计算可得. 【详解】依题意平均数不发生变化，设除这2名记错分的另外48名参赛者的分数分别为， 因为， 所以， 则实际得分的方差为 ． 19. 某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示. （1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率． 【答案】（1）男30人，女45人（2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可； （2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为人， 女生优秀人数为人； （2）因为样本容量与总体中的个体数的比是， 所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人． 设两名男生为，，三名女生为， ． 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为： ，，，，，，，，，共10个， 记事件：“选取的2人中至少有一名男生”， 则事件包含的基本事件有： ，，，，，，共7个． 所以． 【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期二部高二开学测试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. D. 30 3. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD＝2DC，如果，那么（ ） A. x，y B. x，y C. x，y D. x，y 4. 在中，内角的对边分别为.若，则角为（ ） A. B. 150 C. 120 D. 90 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 32 C. 12 D. 62 6. 如图，是圆的直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 正三棱锥中，直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　) A. 0.9 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是（ ） A. OM平面PCD B. OM平面PDA C. OM平面PBA D. OM平面PBC 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 青少年是国家的未来和民族的希望，党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身．近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶．某学校共有2 000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为 B. 样本的分位数为 C. 样本的平均值为66 D. 该校男生中低于的学生大约为300人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 13. 已知是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③是两条异面直线，若，，，，则. 上面的命题中，真命题的序号是________.（写出所有真命题的序号） 14. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知向量满足. （1）若 ，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 17. 如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正弦值. 18. 某校在“全民健身日”举行了投篮活动，每名参赛者投篮10次．投中一次得1分，没投中得0分．活动结束后统计50名参赛者的平均得分为8分，方差为20．后经核实有两名参赛者的分数统计错误，把一个9分错记为7分，一个8分错记为10分，求实际得分的方差． 19. 某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示. （1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $