4 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式► 对应学生用书P85 [课标要求]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.　2.借助单位圆及三角函数的定义推导出诱导公式. 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z). 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 [思考]　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．如何理解这里的“奇”“偶”和“变”与“不变”？ 提示：“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) (5)若cos (nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(人教A版必修一·P192例3改编)已知sin (＋α)＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C.sin ＝cos α＝. 3．(北师大版必修二·P148练习T1(2)改编)若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析：选C.由已知得，sin α＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2. 4．(湘教版必修一·P164例8改编)若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　) A．－ B．－ C． D．2 解析：选B.因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝， 即sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝， 即1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－. 5．(人教B版必修三·P30例4(2))cos ＝___________. 解析：cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 答案：－ 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　同角三角函数基本关系及应用 　“知一求二”问题 [例1] (1) (2024·广东惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.因为tan α＝＝2，且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，所以sinα＝－，cos α＝－，所以cos α－sin α＝－－(－)＝. (2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________． 解析：∵cos α＝－＜0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角， 则sin α＝＝＝， ∴tanα＝＝＝－， 此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0. ②若α是第三象限角，则sin α＝－＝－＝－， ∴tanα＝＝＝， 此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0. 答案：0 【思维升华】　利用同角基本关系式“知一求二”的方法(其中α≠kπ＋，k∈Z) 　sin α±cos α与sin αcos α的转化 [例2] (2024·广东潮州模拟)已知<x<π，sin x＋cos x＝，则sin x－cos x＝___________. 解析：由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝，得2sin x cos x＝－，所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝，因为<x<π，所以sin x>cos x，故sin x－cos x＝. 答案： 【思维升华】　“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用 sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题时已知一个可求另外两个． 　关于sin α、cos α的齐次式求值 [例3] 已知＝－1，则＝________；sin2α＋sinαcos α＋2＝________． 解析：由已知得tan α＝， 所以＝＝－， sin2α＋sinαcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝. 答案：－　 [变式] 本例中，若已知＝－，则tan α＝__________． 解析：由＝－，得＝－，解得tan α＝. 答案： 【思维升华】　常见的弦化切的结构形式 (1)sin α，cos α的一次齐次分式，解决此类问题时，用分子分母同时除以cos α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解． (2)sin α，cos α的二次齐次式(如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos2α”，然后用分子分母同时除以cos2α将其转化为关于tan α的式子，进而求解． 跟踪训练1 (1)(2024·青岛调研)若sin θ＋cos θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由sinθ＋cos θ＝，平方得1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝， ∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝. (2)(2023·湖北九师联盟质检)若tan(α－π)＝2，则＝(　　) A．－ B．－3 C． D．3 解析：选A.由题意得tan α＝2， 则＝＝＝＝＝－. (3)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________． 解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1， 所以cos2α＝，由α为第二象限角，易知cosα<0，所以cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－. 答案：－ 考点2　诱导公式的应用 [例4] 　(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin (3π－x)＝－sin x B．sin ＝－cos C．cos ＝sin 3x D．cos ＝－sin 2x 解析：选D.sin (3π－x)＝sin (π－x)＝sin x， sin ＝sin ＝cos ， cos ＝cos ＝－sin 3x， cos ＝－sin 2x. (2)已知sin ＝，且0<x<，则sin －cos 的值为________． 解析：∵0<x<，∴<－x<， ∴cos ＝＝. ∴sin＝sin ＝cos (－x)＝， cos ＝cos ＝－cos (－x)＝－. ∴sin －cos ＝. 答案： 【思维升华】　诱导公式的应用思路与技巧 1．求值思路：负角化正角，大角化小角，角中含有加减(k∈Z)时，用公式去掉(k∈Z). 2．化简思路：统一角、统一名、同角名少为终了． 3．应用技巧：①常用互余的角：＋α与－α，－α与＋α，＋α与－α等． ②常用互补的角：＋α与－α，－α与＋α，＋α与－α等． 跟踪训练2 (1)sin 495°＝(　　) A．1 B．－ C． D． 解析：选D.sin 495°＝sin (360°＋135°)＝sin 135°＝sin (180°－45°)＝sin 45°＝. (2)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B.原式＝＝＝－·＝－1. 考点3　同角关系式和诱导公式的综合应用 [例5] (1)(2024·辽宁葫芦岛模拟)若＝，则tan θ＝(　　) A． B．－ C．－3 D．3 解析：选C.因为＝＝，所以＝，解得tan θ＝－3. (2)已知cos 167°＝m，则tan 193°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.tan 193°＝tan (360°－167°)＝－tan 167°＝－＝－，因为cos 167°＝m，所以sin 167°＝，所以tan 193°＝－. 【思维升华】　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． 跟踪训练3 (1)(2024·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由已知得消去sin β，得tan α＝3， ∴cos α＝sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，∴sinα>0，则sin α＝. (2)(2024·衡水模拟)已知sin ＋cos (π－α)＝sin α，则2sin2α－sinαcos α等于(　　) A． B． C． D．2 解析：选D.由诱导公式可得，sin α＝sin ＋cos (π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2. 故2sin2α－sinαcos α＝＝＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$