3 培优拓展（7）泰勒公式(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优拓展(七) 泰勒公式 泰勒公式是高等数学中的重点,也是一个难点,它贯穿于高等数学的始终,泰勒公式的 重点就在于使用一个n次多项式p.(x),去逼近一个已知的函数/f(x),而且这种逼近有很好的 性质:p.(x)与fx)在x点具有相同的直到阶n的导数,所以泰勒公式能很好的集中体现高等 数学中的“逼近”这一思想精髓 1. 泰勒公式 定理1若函数/(x)在包含x。的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,)上 具有(n十1)阶导数,则对闭区间[a,引]上任意一点x,成立下式: fx)-fx。)+f(xo)(x-x)+f”0)2!(x-x)2+.+f(n)(0)n!(x-x)+R(x. 其中,x)表示fx)在xx。处的n阶导数,等号后的多项式称为函数/fx)在x.处的泰 勒展开式,剩余的R(x)是泰勒公式的余项,是(x一xo)严的高阶无穷小量 2. 常见函数的泰勒展开式 (1)ex=1+xl!+x22!+x33!+...+xnn!+xn+1(n十1)! *,其中(0<ì); ②)ln(1+x)=x-x22+x33-..+(-1-lxnn+R,其中R=(-1yxn+1(n+1)(11+6 )_; (3)sinx=x-x33!+x55!-.+(-1-lx2k-1(2k-1)!+R,其中R=(-1)x2k+ 1 (2k十)!cosh; (4)c osx=1-x22!+x44!-..+(-1-1x2k-2(2k-2)!+R,其中R=(-1)k (2h)!cosh; (5)11-x-1+x+x+.+x*+o(x); (6(1+x)a=1+ax+a(a-1)2!x2+.+a(a-I)(a-n+1)n!+o(); (7)tanx-x+x33+215x5+..+o(x2^-1); (8)1+x-1+72x-182+1163+..+o) 由泰勒公式,我们得到如下常用的不等式: e1+x,e1+x+12x(x>0),sinxx-16x3(x=0) cosx>1-12r②,lnxx-1,-1>x. tanxx+13x3(x=0),1+x<1+12x,ln(1+x)x [典例] 已知函数/(x)-nI+xI一x (1)求曲线y一/(x)在点(0,f0))处的切线方程 (2)求证:当xE(0,1)时,fx)2(x+x33); (3)设实数k使得/fx)x十x33)对xE(0,1)恒成立,求k的最大值 解:(1)f{x)=ln1+xl-x→ff()-l1+x+11-x,利用导数几何意义得切线斜率k-f(0 一2,又/f(0)-0,由点斜式得切线方程为y-2x (2)由泰勒公式有ln(1+x)=x-x22+x33-x44+...+(-1-lxnn十..x(-1,1). 将x换成一x,得到 ln(1-x)=-x-x22-x33-x44-...-xnn-..xE(-1,1)),将两式相减,得 ln 1+x1-x=ln(1+x)-ln(1-x)=2x+23x3+25x5+..(e(-1,1)). 当xE(0,1)时,显然有ln1+x1-x2x+x33) 所以当xE(0.1)时,fx)2(x+x33) (③)由(2)知k2时fx)k(x+x33)在(0,1)上恒成立, 当k2时,令h(x)-fx)-k(x+x33). 则)-4-k+21-x2. 当${x4k-2k时,hq)}<0,h(x)<h(0)=0,即当ke2时,f(x)→k(x+x33)在(0,1)上不恒$ 成立,k的最大值为2 独家授权侵权必究、 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [对点练] (1)(2023浙江温州二模)已知a=e1,b=31.3,c=1.052,则( ) A. abc B. cba C. b>ca D. cb 解析:选D'e=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+..,xE(-,+) 当x=01时,011+01+0.012=1105 c=1052-1.1025,所以ac, 而$-(13)/(1331)=[(11D)]-11<1.1025- 所以cb (2)已知函数fx)=an(x+1)+x2 ①若a=-4,求/fx)的极值: ②若x>0,1,求证:fx)(t+1)-ex 解:①当a=-4时,fx)=-4ln(x+1)+x2 所以f()=-4x+1+2x=2(+2)(x-1)x+l(-1) 当xE(-1,1)时,f(x) 0,f(x)单调递减;当xE(1,+o)时,fx)>0.fx)单调递增 所以x-1时,fx)取得极小值,且极小值/f1)一一4ln2+1,fx)没有极大值。 ②要证:x=0,a>1时,fx)(x+1)-e,即证aln(x+1)-2x-1+e0 =1+x1!+x22!+x33!+..+xnn!+xn+I(n+1)!e{,共中(0<<1): 所以当x0时,e1+x/!+x22!. 设g(x)-ln(1+x)-(x-x22)(x0). 则g(x)-1x+1-(1-x)=x2x+1. x0时,g(x)>0,g(x)在(0,+co)单调递增,所以gx)g(0)=0 即ln(1+x)x-x22. 所以aln(x+1)-2x-1+e=ln(x+1)-2x-1+ x-x22-2x-1+1+x+x22- 即aln(x+1)-2x-1+ex>0,即/fx)(x+1)-e 独家授权侵权必究 。