3 培优拓展（5）函数中的构造问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

培优拓展(五) 函数中的构造问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型突破 题型一　导数型构造函数 　利用f(x)与x构造 [例1] (2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 解析：选B.因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数， 令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)， 由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减， 又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减， 因为20.6>1，0<ln 2<1，log2＝－3<0， 所以log2<0<ln 2<1<20.6， 又a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g， 所以c>b>a. 【思维升华】　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. [对点练1]　(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　 ) A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(－∞，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：选D.令g(x)＝且x≠0，则g′(x)＝， 又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)， 即当x>0时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减， 则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)<0等价于g(x)＝<＝g(1)， 所以x∈(－1，0)∪(0，1). 　利用f(x)与ex构造 [例2] (2024·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为(　　 ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C． D．(－∞，1) 解析：选A.构造函数F(x)＝， 则F′(x)＝＝，因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，故F(x)＝在R上单调递减，f(x)＋1>2 023ex可变形为>2 023，又f(0)＝2 022，所以F(0)＝＝2 023， 所以F(x)>F(0)，解得x<0. 【思维升华】　(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. [对点练2]　(2024·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 解析：设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)在R上单调递增． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). 答案：(3，＋∞) 　利用f(x)与sin x，cos x构造 [例3] 已知偶函数f(x)的定义域为(－，)，其导函数为f′(x)，当0<x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x<0成立，则关于x的不等式f(x)<2fcos x的解集为(　　 ) A．∪ B． C． D． 解析：选A.因为偶函数f(x)的定义域为， 所以设g(x)＝， 则g(－x)＝＝＝g(x)， 即g(x)也是偶函数． 当0<x<时， 根据题意g′(x)＝<0， 则g(x)在上单调递减，且为偶函数， 则g(x)在上单调递增． 所以f(x)<2fcosx⇔<⇔g(x)<g， 所以 解得x∈∪. 【思维升华】　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝，F′(x)＝； F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝，F′(x)＝. [对点练3]　已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sinx＋f(x)cos x<0，若a＝f，b＝－f，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接) 解析：设φ(x)＝f(x)·sin x， 则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x， 所以x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0， 即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(x)为奇函数，故φ(x)为偶函数， 所以φ＝φ>φ， 即f·sin >f·sin ， 即－f>f， 即f<－f，故a<b. 答案：a<b 题型二　同构法构造函数 [例4] (1)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　 ) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 解析：选B.由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b， ∴2a＋log2a<22b＋log22b， 即f(a)<f(2b)，∴a<2b. (2)(2024·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－a ln x成立，则a的最小值为________． 解析：∵xa＝eln xa＝ea ln x，∴不等式即为ex－x≤ea ln x－a ln x， ∵a>0且x>1，∴a ln x>0， 设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增， ∴x≤a ln x，即a≥， 即存在x∈(1，＋∞)，使a≥， ∴a≥， 设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x∈(1，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e. 故a的最小值为e. 答案：e 【思维升华】　指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数． [对点练4]　(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　 ) A．sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos α<sin β D．sin α>cos β 解析：选CD.∵α＋β－>sin β－cos α， ∴β－sin β>－α－sin ， 令f(x)＝x－sin x，x∈，f′(x)＝1－cos x>0， ∴f(x)在上单调递增，∴β>－α， ∵α，β均为锐角， ∴cos β<cos ，sin β>sin ， ∴cos β<sin α，sin β>cos α. (2)(2024·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<b ln b，则(　　 ) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 解析：选B.由已知aea<b ln b， 则ea ln ea<b ln b. 设f(x)＝x ln x，则f(ea)<f(b). 因为a>0，则b ln b>0，则b>1. 当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以ea<b.　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$