2 第9节 函数模型及其应用(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第9节　函数模型及其应用　　　► 对应学生用书P53 [课标要求]　1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及一元一次函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．　2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 　 性质　　　 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 y轴平行 随x的增大逐渐表现为与 x轴平行 随n值 变化而 各有不同 值的比较 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax [提醒]　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　 ) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(　　) (5)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　 2．(北师大版必修一·P136例2改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　 ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝logx 解析：选B.由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合． 3．(人教A版必修一·P70例8改编)某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y＝若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元． 解析：若x＝1 300，则y＝5%(1 300－800)＝25＜30，因此x＞1 300.由10%(x－1 300)＋25＝30，得x＝1 350(元). 答案：1 350 4．(人教B版必修一·P130例5改编)某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是__________． 解析：日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－2＋350＋， ∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506. 答案：506 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用函数的图象刻画实际问题的变化过程 1．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　 ) 解析：选D.依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 2．(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　 ) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 解析：选D.对于A选项，当T＝220，P＝1 026时，lg P＝lg 1 026>lg 103＝3，根据题图可知，二氧化碳处于固态，故A错误； 对于B选项，当T＝270，P＝128时，lg P＝lg 128∈(2，3)，根据题图可知，二氧化碳处于液态，故B错误； 对于C选项，当T＝300，P＝9 987时，lg P＝lg 9 987<lg 104＝4，且lg P接近于4，根据题图可知，二氧化碳处于固态，故C错误； 对于D选项，当T＝360，P＝729时，lg P＝lg 729∈(2，3)，根据题图可知，二氧化碳处于超临界状态，故D正确． 3．(2023·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　 ) A．y＝mx2＋n(x＞0) B．y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C．y＝max＋n(m＞0，a＞1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1) 解析：选B.由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1. 4．(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是(　　 ) A．a＝3 B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 解析：选ACD.将点M的坐标代入y＝kt，可得k＝4，将点M的坐标代入y＝可得＝4，解得a＝3，所以y＝A正确；当0＜t≤1时，由y＝4t≥可得t≥，此时≤t≤1；当t＞1时，由y＝≥可得t≤6，此时1＜t≤6.故不等式y≥的解为≤t≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－＝5小时，B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为4×＝0.5(微克)，故C正确． 【思维升华】　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考点2　已知函数模型解实际问题 [例1] (1)(2023·山东济南模拟)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L＝32.44＋20lg D＋20lg F，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗(亦称衰减)，单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18 dB，则传输距离增加了约(参考数据：lg 2≈0.3，lg 4≈0.6)(　　 ) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：选C.设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，则L′＝L＋18，F′＝2F，18＝L′－L＝20lg D′＋20lg F′－20lg D－20lg F＝20lg ＋20lg ，则20lg ＝18－20lg 2≈12，即lg ≈0.6≈lg 4，从而D′≈4D，即传输距离增加了约3倍． (2)某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为_________元． 解析：因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值． 答案：150 (3)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位：亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是________．(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年，1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x) 解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，所以P′(t)＝2×1.1t ln 1.1，所以P′(10)＝2×1.110ln 1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，即GDP增长的速度大约是0.52. 答案：0.52 【思维升华】　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 跟踪训练1 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　 ) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. (2)为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为(　　 ) A．1.28 B．1.26 C．1.24 D．1.22 解析：选B.设“玉衡”与“北极星”的亮度分别为E1，E2，星等分别为m1，m2，则由题意得1.77－2.02＝2.5(lg E2－lg E1)，可得lg ＝0.1，∴＝100.1≈1＋2.3×0.1＋2.7×0.12＝1.257≈1.26. (3)某品牌汽车的月产量y(万辆)与月份x(3＜x≤12且x∈N)满足函数关系式y＝a·＋b，现已知该品牌汽车今年4月、5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆. 解析：依题意有解得于是得y＝－2·＋2，当x＝7时，y＝－2×＋2＝1.875，所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆． 答案：1.875 考点3　构建函数模型解实际问题 　二次函数、分段函数模型 [例2] (2024·湖南永州摸底)A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度． (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？ 解：(1)由题意知x的取值范围为[10，90]. (2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000， ∴y＝x2－500x＋25 000(10≤x≤90). (3)y＝x2－500x＋25 000＝＋， ∴x＝时，ymin＝. ∴核电站建在距A城 km处，供电总费用最少． 　指数、对数函数模型 [例3] 牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3 000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解析：设经过x个周期后细菌含量超标，即3 000×2x＞2 000 000，即2x＞，所以x＞log2＝＝≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用． 答案：188 【思维升华】　构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 跟踪训练2 (1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　 ) A．[4，8] B. [6，10] C．[4%，8%] D．[6%，10%] 解析：选A.根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]. (2)一种药在病人血液中的量不少于1 500 mg才有效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2 500 mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过(　　)h向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1 h) A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 解析：选A.设应在病人注射这种药x h后再向病人的血液补充这种药， 则500≤2 500×(1－20%)x≤1 500，整理可得0.2≤0.8x≤0.6， ∴log0.80.6≤x≤log0.80.2， ∵log0.80.6＝＝＝≈2.3，log0.80.2＝＝≈7.2， ∴2.3≤x≤7.2，即应在用药2.3 h后再向病人的血液补充这种药． 学科网（北京）股份有限公司 $$