精品解析：山东省实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

山东省实验中学2023~2024学年第一学期月考 高二数学试题 2023.10 说明：说明：本试卷满分120分，分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间90分钟． 第I卷（共60分） 一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆的一般方程为，则圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 6. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线，，则下列命题正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的倾斜角不可能为 D. 若直线与直线平行，则两平行线间的距离是 10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ） A. B. C. D. 12. 图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ） A. 当时，四面体的体积为定值 B. 当时，存在，使得平面 C. 对于任意，，总有 D. 当时，在侧面内总存在一点P，使得 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 三、填空题（本题包括4小题，共20分） 13. 点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______． 14. 已知向量5，，1，，若平面ABC，则x的值是______． 15. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________. 16. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 四、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤） 17. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）． 18. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆心为C的圆的一般方程； （2）已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 19. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值. 20. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面⊥平面； （2）若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2023~2024学年第一学期月考 高二数学试题 2023.10 说明：说明：本试卷满分120分，分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间90分钟． 第I卷（共60分） 一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据空间对称关系得到答案 【详解】关于 轴对称，则值不变，和的值变为原来的相反数， 故所求的点的坐标为 故选：A. 【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的空间想象能力. 2. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 3. 在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为判断函数图像，根据一次函数的斜率大于0，可以排除B，D，再看的取值符号相同，即可得到本题答案. 【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确. 故选：C 4. 已知圆的一般方程为，则圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】化圆的一般方程为标准方程即可得解. 【详解】由可得圆的标准方程：， 故圆的半径为3. 故选：C 5. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】，即，解得或. 故选：C. 6. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C 【点睛】 7. 如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【详解】 取的中点为，连接 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面 因为， 所以 如图建立空间直角坐标系，则 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 故选：A 8. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1，则， ，因动点P在线段上，则令， 即有点，，，， 因此点P到直线的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：C 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线，，则下列命题正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的倾斜角不可能为 D. 若直线与直线平行，则两平行线间的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】将写成斜截式，可判断选项AB，由的形式可知斜率一定存在，如果直线与直线平行，先求出，再根据平行线间距离公式可判断. 【详解】将写成斜截式，可得截距为，斜率为，倾斜角为， 的斜率一定存在，所以倾斜角不可能为， 故答案为：ACD 10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 11. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 12. 图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ） A. 当时，四面体的体积为定值 B. 当时，存在，使得平面 C. 对于任意，，总有 D. 当时，在侧面内总存在一点P，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，由三棱锥的体积计算判断A；取点，借助面面平行推理判断B；利用线线角、线面角的意义判断C；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断D作答. 【详解】对于A，当时，为的中点，的面积为定值，点到平面的距离为定值2， 因此四面体的体积为定值，A正确； 对于B，当时，F为的中点，取的中点，令，取的中点，连接， 显然平面，平面，则平面， 而，同理平面，又平面， 因此平面平面，又平面，所以平面，B正确； 对于C，过作交于，连接，由平面，得平面， 而平面，有，显然是与平面所成的角，即， 由，得是与所成的角，即，所以，C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，当时，，点在侧面内， 设，， 则，于是始终为锐角，D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 三、填空题（本题包括4小题，共20分） 13. 点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由点M到x轴距离等于10可知其纵坐标，设点M的坐标，根据两点间的距离列式求解即可. 【详解】因为点M到x轴距离等于10可知其纵坐标为，又点M到N,距离也为10，且N在第二象限，可知M的纵坐标为10，设为， 由两点间距离公式：，解得：或2， 所以点M的坐标为：或. 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的坐标特征与两点间距离公式，由题意设点的坐标列式求解即可，注意计算的准确性及多种情况求解. 14. 已知向量5，，1，，若平面ABC，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由平面，可得存在事实，使得，利用向量相等的性质列方程即可得结果． 【详解】平面， 存在事实，使得， ，解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了线面平行的坐标表示，以及向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查利用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 15. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简直线为，得出直线过定点， 根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】把直线化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由，且，所以直线与不垂直， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的取值范围为 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 16. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤） 17. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】（1）4x－3y－3＝0 （2）30 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案； （2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，求得，可得直线和的交点为P（－3，－5）． 由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为， 即4x－3y－3＝0． 【小问2详解】 由题知：设直线m的斜率为k，则直线m的方程为， 故，，且，且，求得， 故、． 故△OAB的面积为． 18. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆心为C的圆的一般方程； （2）已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【小问1详解】 ∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 19. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 证明：取和 的中点和，连接和， 在正四棱柱中，可得为正三角形，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则 取，可得，所以， 因为，即，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取和 的中点和，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，，结合，即可得证； （2）由平面的法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由平面，得到平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，求得直线与平面夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面的法向量为，且， 设直线与平面所成的角为， 可得， 又因为，所以到平面的距离为. 【小问3详解】 由为正三角形，且为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面， 所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量， 又由，可得， 设直线与平面夹角为， 可得， 则，即直线与平面夹角的余弦值为. 20. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面⊥平面； （2）若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小． 【答案】（1）在直三棱柱中，， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面⊥平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，连接，如图， 则中点为M，且， ∵平面平面且交线为，平面， ∴平面， 所以直线与平面所成的角为， 又，则 以B为原点，分别为x，y，z轴正方向建立坐标系， 则， 设平面的法向量为 ，令，则，故， 设平面的法向量为， ，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， ∴，又，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $