2.1.2 有理数的减法【六大题型过关练】 同步重难点题型分类专练 2024-2025学年人教版（ 2024）七年级数学上册

2.1.2 有理数的减法（六大题型过关练） 【知识考点 有理数的减法】 【解题必备知识】 1.有理数减法的定义及运算法则 1）定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做有理数的减法。 （1）减法是加法的逆运算； （2）有理数的减法可以转化为有理数的加法运算； （3）两个有理数相减，差是一个有理数。 2）运算法则 （1）文字语言表达：减去一个数，等于加这个数的相反数。 （2）符号语言表达： 2.有理数加减的混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法进行运算；在转化过程时特别注意符号的改变； 2）将加减法统一成加法运算，可以省略算式中的括号和加号； 3）将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算； 4）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数的减法运算 【题型2】 有理数加减的混合运算 【题型3】 有理数加减中的简便运算 【题型4】 有理数加减运算的实际应用 【题型5】 有理数加减运算与相反数、绝对值的综合 【题型6】 有理数加减运算中的有关规律和新定义问题 【题型1】 有理数的减法运算 【例1】（2023-2024七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（2023-2024七年级·全国·假期作业）已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 【变式1-3】（2023-2024七年级上·安徽六安·阶段练习）若，，且， 求的值． 【变式1-4】（2023-2024七年级·全国·假期作业）给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，且，则． 其中正确的是 ．（填序号） 【题型2】 有理数加减的混合运算 【例2】（2023-2024七年级上·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 【变式2-1】（2023-2024七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【变式2-3】（2023-2024七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)） 【变式2-4】（2023-2024七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【题型3】 有理数加减中的简便运算 【例3】（2023-2024七年级上·江苏苏州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（2023-2024七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【变式3-2】（2022-2023七年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式3-3】（2023-2024七年级·广东深圳·期中）再加上（   ）后，结果就是． A． B． C． D． 【变式3-4】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【题型4】 有理数加减运算的实际应用 【例4】（2023-2024七年级·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（ ） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 【变式4-1】（2022-2023七年级上·广东湛江·期中）某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周 的温差最大，周 的温差最小． 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃ 最低气温 2℃ 1℃ 0℃ ℃ 【变式4-2】（2023-2024七年级上·陕西西安·期中）“书香浸校园，文化润人生”，为了引导广大师生深入阅读，陕西省西安爱知中学初一某班同学自发组织了一个活动，建议每天读书30分钟．下表是小江同学一周的读书情况：（以30分钟为基准，当天超过30分钟记为正，少于30分钟记为负） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 0 (1)小江同学本周内读书时间最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比最少的一天多读 分钟． (2)小江同学本周实际平均每天读书多长时间？ (3)该班准备将本班同学的阅读情况换算成量化分，规定：每天阅读时间为标准时间，不得分；超过标准时间，每多1分钟得2分；未达到标准时间，每少一分钟扣1分，若小江同学总分超过70分，便可得到班级的奖励，请通过计算说明小江同学能否得到班级奖励． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·江苏徐州·阶段练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向，距离公司多少千米? (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升? (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元? 【变式4-4】（2023-2024七年级上·浙江杭州·阶段练习）某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 【题型5】 有理数加减运算与相反数、绝对值的综合 【例5】（2023-2024七年级·河北邢台·阶段练习）已知a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a，b的绝对值的和比a，b的和（   ） A．大1 B．小1 C．大2 D．小2 【变式5-1】（2023-2024七年级上·吉林长春·期中）列式计算：、、三个数的和比这三个数绝对值的和小多少？ 【变式5-2】（2023-2024六年级下·全国·假期作业）若a，b互为相反数，则 ， ． 【变式5-3】（2023-2024七年级上·浙江杭州·阶段练习）若a表示一个有理数，则式子有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时， ． 【变式5-4】（2023-2024七年级·安徽池州·期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为 ． 【题型6】 有理数加减运算中的有关规律和新定义问题 【例6】（2023-2024七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（2023-2024七年级上·湖南开福·期末）用符号表示两数中较小的一个数，用符号表示两数中较大的一个数，计算＝ ． 【变式6-2】（2023-2024七年级·山西太原·阶段练习）已知：表示不超过x的最大整数．例：，．现定义：，例：，则 ． 【变式6-3】（2023-2024七年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式6-4】（2023-2024七年级·河北邢台·阶段练习）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：___________； 第5个数：； 第6个数：___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“”连接起来． 【中考真题提前练】 1.（2023·浙江绍兴·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．3 2.（2023·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ） A． B．12 C． D．2 3.（2022·河北·中考真题）与相等的是（   ） A． B． C． D． 4.（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是（   ） A． B． C． D． 5.（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（   ） A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃ 6.（2024•湖南长沙•中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥 三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是﹣180℃、最高温度是150℃， 则它能够耐受的温差是（ ） A．﹣180℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃ 7.（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(   ) A． B． C． D． 8.（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 9.（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__ ． 10.（2024·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 有理数的减法（六大题型过关练） 【知识考点 有理数的减法】 【解题必备知识】 1.有理数减法的定义及运算法则 1）定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做有理数的减法。 （1）减法是加法的逆运算； （2）有理数的减法可以转化为有理数的加法运算； （3）两个有理数相减，差是一个有理数。 2）运算法则 （1）文字语言表达：减去一个数，等于加这个数的相反数。 （2）符号语言表达： 2.有理数加减的混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法进行运算；在转化过程时特别注意符号的改变； 2）将加减法统一成加法运算，可以省略算式中的括号和加号； 3）将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算； 4）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数的减法运算 【题型2】 有理数加减的混合运算 【题型3】 有理数加减中的简便运算 【题型4】 有理数加减运算的实际应用 【题型5】 有理数加减运算与相反数、绝对值的综合 【题型6】 有理数加减运算中的有关规律和新定义问题 【题型1】 有理数的减法运算 【例1】（2023-2024七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． 【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 【变式1-1】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)3.6； (3)； (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的减法法则计算即可； 【解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【点评】本题主要考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【变式1-2】（2023-2024七年级·全国·假期作业）已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，根据减数等于被减数减去差列式计算即可得解． 【解答】解： ． 故答案为：8． 【变式1-3】（2023-2024七年级上·安徽六安·阶段练习）若，，且， 求的值． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值，有理数的减法，先根据绝对值的结果分别求出a，b的所有的值，再根据得出，，最后代入计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 或， ， ，， ． 【变式1-4】（2023-2024七年级·全国·假期作业）给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，且，则． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可． 【解答】解：①，所以，则，①正确； ②若，所以，则，②正确； ③若，所以，则，③错误； ④若，且，所以，则，，④正确． 故答案为：①②④． 【题型2】 有理数加减的混合运算 【例2】（2023-2024七年级上·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算． （1）去括号，再计算加减即可． （2）去括号，通分，再计算加法即可． 【解答】（1） （2） 【变式2-1】（2023-2024七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【解答】解：将式子省略括号和加号后变形正确的是， 故选：A． 【变式2-2】（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 【解答】解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 【变式2-3】（2023-2024七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接运用有理数减法运算法则即可解答； （2）运用有理数加减混合运算解答即可； （3）运用有理数加法运算律简便运算即可； （4）运用有理数加减混合运算解答即可； （5）运用有理数加减混合运算解答即可. 【解答】（1）解： . （2）解： ， . （3）解： . （4）解： . （5）解： . 【点评】本题主要考查了有理数加法、有理数减法、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律等知识点，掌握运算法则及运算律是解答此题的关键. 【变式2-4】（2023-2024七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加减法法则，可得答案． 【解答】（1）解： （2） 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 【题型3】 有理数加减中的简便运算 【例3】（2023-2024七年级上·江苏苏州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再根据有理数的简便运算，即可求解； （2）先去括号，再正数与正数相加，负数与负数相加，即可求解； （3）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解； （4）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点评】本题考查了去括号，有理数的加减法，解题关键是熟练掌握去括号的方法及有理数加减法法则． 【变式3-1】（2023-2024七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． （1）用加法的交换律和结合律，把正数、负数分别结合，再计算即可； （2）按从左向右的顺序计算即可； （3）先把能凑成整数的加数结合再进行简便计算即可． （4）把后面的两个数交换位置再进行简便计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【变式3-2】（2022-2023七年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】由有理数的加减的运算法则进行判断，即可进行判断． 【解答】解：根据题意， 甲：，故甲错误； 乙：；故乙正确； 故选：D 【点评】本题考查了有理数的加减运算和运算律，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则． 【变式3-3】（2023-2024七年级·广东深圳·期中）再加上（   ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【解答】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点评】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 【变式3-4】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【题型4】 有理数加减运算的实际应用 【例4】（2023-2024七年级·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m） 时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 下列说法中正确的是（ ） A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．依次进行计算判断即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰， 故选项A不正确， ∵， ∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项B不正确， ∵， ∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，故选项C不正确， ∵， ∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项D正确， 故选：D． 【变式4-1】（2022-2023七年级上·广东湛江·期中）某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周 的温差最大，周 的温差最小． 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃ 最低气温 2℃ 1℃ 0℃ ℃ 【答案】 日 一 【分析】根据有理数的减法求得每天的温差，比较大小． 【解答】周一，周二，周三，周四，周五，周六，周日； 由，得 周日的温差最大，周一的温差最小． 故答案为：日，一． 【点评】本题考查有理数加减运算的应用；理解正负数的意义，运算法则计算是解题的关键． 【变式4-2】（2023-2024七年级上·陕西西安·期中）“书香浸校园，文化润人生”，为了引导广大师生深入阅读，陕西省西安爱知中学初一某班同学自发组织了一个活动，建议每天读书30分钟．下表是小江同学一周的读书情况：（以30分钟为基准，当天超过30分钟记为正，少于30分钟记为负） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 0 (1)小江同学本周内读书时间最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比最少的一天多读 分钟． (2)小江同学本周实际平均每天读书多长时间？ (3)该班准备将本班同学的阅读情况换算成量化分，规定：每天阅读时间为标准时间，不得分；超过标准时间，每多1分钟得2分；未达到标准时间，每少一分钟扣1分，若小江同学总分超过70分，便可得到班级的奖励，请通过计算说明小江同学能否得到班级奖励． 【答案】(1)日；五；37 (2)小江同学本周实际平均每天读书34分钟 (3)小江同学能得到班级奖励 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用； （1）根据表格中的数据得出读书时间最多的一天和最少的一天，计算出最多的一天比最少的一天多读的时间即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据得分规则进行计算即可． 解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【解答】（1）解：小江同学本周内读书时间最多的一天是星期日；最少的一天是星期五；最多的一天比最少的一天多读：（分钟）； 故答案为：日；五；37． （2）解：（分钟）， 答：小江同学本周实际平均每天读书34分钟； （3）解：， 答：小江同学能得到班级奖励． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·江苏徐州·阶段练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向，距离公司多少千米? (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升? (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元? 【答案】(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司千米 (2)若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油升 (3)在这过程中该驾驶员共收到车费元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、正负数的意义、绝对值的意义，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）计算这5个数的和，再根据符号判断方向，根据绝对值判断距离即可； （2）求出行驶的总路程，再求燃油量即可； （3）求出每送一批顾客的收费，再求和即可． 【解答】（1）解：， 接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司千米； （2）解：（升）， 若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油升； （3）解：送第批顾客收费为：（元）， 送第批顾客收费为：10（元）， 送第批顾客收费为：（元）， 送第批顾客收费为：10（元）， 送第批顾客收费为：（元）， 总共收费为：（元）， 在这过程中该驾驶员共收到车费元． 【变式4-4】（2023-2024七年级上·浙江杭州·阶段练习）某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 【答案】(1)，29， (2)①；② 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减计算的实际应用： （1）根据正负数的意义分别计算出每一天的客流量即可得到答案； （2）①根据正负数的意义即可求出9月28日的实际客流量；②用10月2日的客流量减去10月1日的客流量即可得到答案． 【解答】（1）解：9月29日实际客流量是万人次， 9月30日实际客流量是万人次， 10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， 10月3日实际客流量是万人次， 10月4日实际客流量是万人次， 10月5日实际客流量是万人次， ∴10月5日这一天的实际客流量是万人次； 该动车站客流量最多的一天是29日，这一天的实际客流量是万人次； 故答案为：，29，； （2）解：①∵9月29日实际客流量是万人次， ∴9月28日实际客流量是万人次， 故答案为：； ②∵10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， ∴10月2日比10月1日减少万人次， 故答案为：． 【题型5】 有理数加减运算与相反数、绝对值的综合 【例5】（2023-2024七年级·河北邢台·阶段练习）已知a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a，b的绝对值的和比a，b的和（   ） A．大1 B．小1 C．大2 D．小2 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值的应用能力、有理数到加减，关键是能熟练运用相反数、绝对值和有理数的加减等知识进行求解． 【解答】解：∵a的相反数是它本身，b是最大的负整数， ∴，， ∴ ， ， ∴ ． 故选：C． 【变式5-1】（2023-2024七年级上·吉林长春·期中）列式计算：、、三个数的和比这三个数绝对值的和小多少？ 【答案】18 【分析】分别求出这三个数的和和这三个数绝对值的和即可得到答案． 【解答】解：，， ， ∴、、三个数的和比这三个数绝对值的和小18． 【点评】本题主要考查了有理数的加减计算，求一个数的绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式5-2】（2023-2024六年级下·全国·假期作业）若a，b互为相反数，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算，根据相反数的性质和有理数加减法则计算即可． 【解答】解：a，b互为相反数，则， ，， 故答案为：；． 【变式5-3】（2023-2024七年级上·浙江杭州·阶段练习）若a表示一个有理数，则式子有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时， ． 【答案】 大 1 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，有理数的减法运算．根据绝对值的非负性，得出有最小值0，得出有最大值． 【解答】解：∵， ∴有最大值， 且当即时，的最大值为：． 故答案为：大；1． 【变式5-4】（2023-2024七年级·安徽池州·期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为 ． 【答案】5或1 【分析】根据有理数的概念求出，根据绝对值的性质求出的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到，将的值代入式子进行计算即可得解． 【解答】解：是最大的负整数的相反数， , , 或, 或 , , 解得, 或 , 或, 的值为5或1 故答案为：5或1 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了绝对值的性质和有理数的加减运算． 【题型6】 有理数加减运算中的有关规律和新定义问题 【例6】（2023-2024七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【解答】解：∵，， ∴ ， 故选A． 【变式6-1】（2023-2024七年级上·湖南开福·期末）用符号表示两数中较小的一个数，用符号表示两数中较大的一个数，计算＝ ． 【答案】 【分析】先分别求出和的值，再计算有理数的减法即可得． 【解答】解：由题意得： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法，理解新定义的两个符号是解题关键． 【变式6-2】（2023-2024七年级·山西太原·阶段练习）已知：表示不超过x的最大整数．例：，．现定义：，例：，则 ． 【答案】 【分析】根据定义列出计算式解答即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的大小比较，解题的关键是根据题意列出算式解答． 【变式6-3】（2023-2024七年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】规定向右为正，向左为负，构造数的和为3的方式就是不同运动方案 【解答】规定向右为正，向左为负， ∵；； ； ； ； ∴质点的不同运动方案共有5种， 故选D． 【点评】此题考查点在数轴上运动的规律，转化为“有理数的加减”，这是初一“数形”结合问题常规方法． 【变式6-4】（2023-2024七年级·河北邢台·阶段练习）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：___________； 第5个数：； 第6个数：___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)第7个数是，第8个数是，第10个数是； (3)． 【分析】（1）根据所给的式子依次计算即可得解； （2）根据所给的式子，发现括号中的运算第奇数个数是加法，第偶数个数是减法，由此规律即可求解； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较即可得解． 【解答】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解∶第7个数是， 第8个数是， 第10个数是， ∴第7个数是，第8个数是，第10个数是； （3）解：∵，， ，， ∴． 【点评】本题考查数字的变化规律以及比较两个负数的大小，通过所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． 【中考真题提前练】 1.（2023·浙江绍兴·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可． 【解答】解：， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法计算法则．减去一个数等于加上它的相反数． 2.（2023·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ） A． B．12 C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可． 【解答】解：； 故选C． 【点评】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键． 3.（2022·河北·中考真题）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分别求出各选项的值，作出选择即可． 【解答】A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键． 4.（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数减法计算即可． 【解答】解: ∵中午12时的气温是，经过6小时气温下降了， ∴当天18时的气温是． 故选B． 【点评】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题关键． 5.（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（   ） A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃ 【答案】D 【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可． 【解答】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8℃． 故选：D． 6.（2024•湖南长沙•中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥 三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是﹣180℃、最高温度是150℃， 则它能够耐受的温差是（ ） A．﹣180℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃ 【答案】D 【分析】温差即为最高温度与最低温度的差，由此计算即可． 【解答】解：由题意得，150﹣（﹣180）＝150+180＝330（°C）， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 7.（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法则计算即可． 【解答】A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8.（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 9.（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__ ． 【答案】8℃． 【分析】温差即为最高温度与最低温度的差，由此计算即可． 【解答】用最高温度减去最低温度即可得当天的日温差：6－(－2)＝6＋2＝8℃． 故答案为：8℃ 10.（2024·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【答案】（1）-2，1，-1，-4；（2）-88 【分析】（1）根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值； （2）根据原点在图中数轴上点的右边，且，可得表示，表示，表示，据此可得的值． 【详解】解：（1）若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为1， 此时，， 若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； （2）原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$