专题13.5 等边三角形【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题13.5 等边三角形【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 2 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 4 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 8 【题型4 证明等边三角形】 13 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 19 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】 30 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】 39 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】 45 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 50 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 57 知识点：等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作的垂直平分线，证明的垂直平分线必过C、D两点，然后证明，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：作的垂直平分线， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∴的垂直平分线必过C、D两点，， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：30． 【变式1-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识．先求出，再根据“等边三角形三线合一”得到也是等边的角平分线，即可求出，从而求出． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边的中线， ∴也是等边的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 【变式1-2】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得，由垂线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理结合等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得 ，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（    ）      A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点恰好落在上时，，由等边三角形的性质可得，证明，可得，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点恰好落在上时，，    是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式2-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系． 根据折叠可得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长． 【详解】解：将沿直线折叠，点落在点处， 所以，， 则阴影部分图形的周长为： ． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 【详解】解：过P作交于F， ∵，是等边三角形， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 【例3】（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】12 【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE， ∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°， ∴∠ECB=∠DCA， ∴△ECB≌△DCA（SAS）， ∴BE=AD， ∵DE=CD=6，BD=8， ∴8-6<BE<8+6， ∴2<BE<14， ∴2<AD<14． ∴则的最大值与最小值的差为12． 故答案为：12 【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质可得垂直平分，得出，进而得出，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，由是边的中点，得出，进而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 是等边三角形，是中线， 垂直平分， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 是边的中点， ， ， 的最小值为， 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解． 【详解】解：连接PC， ∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线， ∴BP=CP， ∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE， ∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点， ∴的最大值=6÷2=3． 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，点是边上的中点，点在BC上的一个动点，连接，在的下方作等边三角形，连接，则最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为边作等边三角形，连接，由题意易得，，进而可得，则有，然后可得点是在所在直线上运动，所以的最小值为时，最后问题可求解． 【详解】如图，为边作等边三角形，连接， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵是公共角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴点在所在直线上运动， ∴当时，取的最小值， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键． 【题型4 证明等边三角形】 【例4】（23-24八年级·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（23-24八年级·重庆丰都·期末）如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式4-2】（23-24八年级·广东广州·阶段练习）在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足（2）的结论吗？请用图说明理由． 【答案】(1)2 (2)等边三角形，证明见详解 (3)满足，理由见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与等边三角形的判定等等： （1）证明，得到，然后求即可； （2）根据（1）可得：，即可得出为等边三角形； （3）过作于，证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ； （2）解：是等边三角形．证明如下： ， ， ， 是等边三角形． （3）解：还满足（2）的结论，理由如下： 过作于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是等边三角形． 【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，与相交于点E，． (1)填空：与的位置关系为__________，与的数量关系为__________； (2)过点作交的延长线于点，且． ①求证：是等边三角形； ②若点，分别是线段，线段上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②点的位置见解析，． 【分析】（1）与的位置关系为：；与的数量关系为：．根据等角对等边得到，证明，得到，继而得到垂直平分，即可得出结论； （2）①如图，设，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而得到，，，可得，，即可得证； ②如图，延长至点，使，则点与点关于直线轴对称，过点作于点，交于点，连接，则，此时的值最小，最后在中，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：与的位置关系为：；与的数量关系为：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 故答案为：；； （2）①证明：如图，设， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②解：如图，延长至点，使， ∵， ∴点与点关于直线轴对称，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴，此时的值最小， 由①知，，即， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∴当的值最小时，点的位置如图所示，与的数量关系是． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定，角的直角三角形，垂线段最短等知识点．掌握等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，角的直角三角形是解题的关键． 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 【例5】（23-24八年级·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1)如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； (2)如图2，若点E是的中点，求证：； (3)如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点C作轴，证明，得到，即可得到C点坐标； （2）延长至F点，使得，连接，证明，得到，证出，求出，再证明，推出，即可得到 （3）在的延长线上截取，连接，过点C作，证得是等边三角形，得到，证明，推出，求出，得到由（1）得，进而得到，由此求出B点坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵点A为，点B为， ∴， ∴， ∴C点坐标为； （2）证明：延长至F点，使得，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：在的延长线上截取，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，    ∴， ∵， ∴ 由（1）得， ∴， ∵A点坐标为， ∴，   ∴， ∴B点坐标为 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定和性质定理进行推理论证是解题的关键． 【变式5-1】（23-24八年级·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】通过正方形和等边三角形的性质和直角三角形的性质，依次求得第2个正方形、第3个正方形、第 4个正方形的边长，再总结规律求得第2021个正方形的边长． 【详解】解：∵正方形（称为第1个正方形）的边长为1， ∴C1D1＝1， ∵C1A2B2为等边三角形， ∵∠B2A2C1＝60°， ∵A2B2⊥x轴， ∴∠C1A2D1＝30°， ∴， 同理得， ， … 由上可知第n个正方形的边长为：， ∴第2021个正方形的边长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形以及直角三角形的性质是解答此题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，A点坐标为，点B在y轴上且位于A点上方，以为边向的右侧作等边，连接，并延长交x轴于点E． (1)求证：； (2)判断是否平分请说明理由； (3)在y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)平分，理由见解析 (3)存在， 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证出即可； （2）由（1）知，根据，求出，即可得出结论； （3），求出，得出，分四种情况进行讨论即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解： 平分，理由如下： 由（）知， ∴， 又∵， ∴， ∴平分； （3）存在，理由如下： ∵点坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上， ∴， ∴， ②当时，为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上， ∴， ∴， ③当时，为等腰三角形，x轴是的垂直平分线， ∴， ∴； ④当时，如图所示： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述：在y轴上存在点Q，使得为等腰三角形，，． 【变式5-3】（23-24八年级·天津和平·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，在轴上，顶点的坐标为，的平分线交轴于点．    (1)如图①，求点坐标； (2)如图②，为轴上一点，以为边，在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点．求的长； (3)如图③，在（1）的条件下，为轴正半轴上点上方的任意一点，在右上方作交延长线于点，求证：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，，中，根据角所对的直角边是斜边的一半，得到，求出的值即可得到答案； （2）证明，根据全等三角形的判定和性质进行求解； （3）在上截取，连接，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：等边， ，， ，， ， ， ， 中， ， ， ， ， ， ；    （2）解：等边， ，， 等边， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， 中， ， ， ， ， ， ， ；    （3）在上截取，连接，    证：已证， 中，， ， ， ， ， 为等边， ，，， ， ，， ， ， ， ， 为垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】 【例6】（23-24八年级·广西贺州·期末）如图，等边边长为3，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点A折叠，使点B与C重合，得折痕交于F，然后展开；再过点D折叠，折痕交于点E，使点A落在折痕所在的直线上，记为点P，两折痕与交于点O． (1)求证：； (2)点D在运动过程中，始终是等边三角形吗？请说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质和直角三角形的性质． （1）根据轴对称的性质证明，，即可证明； （2）由，推出，即可证明为等边三角形； （3）分或两种情况，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，与关于直线成轴对称， ， 又与关于直线成轴对称， ， ∴， ∴； （2）解：点D在运动过程中，始终是等边三角形，理由如下： 为等边三角形， ． 由（1）可知，， ， ， 为等边三角形； （3）解：始终为等边三角形， ， ∴分或两种情况， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②当时， 同理可得， 即． 综上所述，当是直角三角形时，或． 【变式6-1】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点为射线上一动点，连接，作，交射线于点，点是线段，垂直平分线的交点． （1）当点在边上时，______． （2）①当点，重合时，作，交的垂直平分线于点，则______． ②当点在线段上，或的延长线上时，的度数是否为定值？若是，请写出这个数，并选择点在线段上时，通过计算进行说明；若不是，请说明理由． （3）如图2，把等边三角形沿着折叠，得到，且点落在点处，连接．当时，证明平分，并在内确定一点，使点到三边的距离相等（不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】（1）30°；（2）①90°；②，理由见详解；（3）见详解 【分析】（1））由题意可得如图，由题意易得，，进而可得，，然后问题可求解； （2）①由题意可作如图，由（1）得，，进而可得，然后问题可求解； ②连接OA、OE、OP，由题意易得，则有，设，进而可得，然后问题可求解； （3）由题意易得，进而可得，然后可得，则问题可证，由题意可得点T为内角角平分线的交点． 【详解】解：（1）由题意可得如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵点是线段，垂直平分线的交点， ∴， ∴△是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 故答案为30°； （2）①由题意可作如图所示： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵垂直平分PE， ∴， ∴， ∴， 故答案为90°； ②的度数是定值，为90°，理由如下： 连接OA、OE、OP，如图所示： ∵点是线段，垂直平分线的交点， ∴， ∴， 设， ∴， 在△中，由三角形内角和定理可得：， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）证明：∵等边三角形沿着折叠，得到， ∴， ∴AC与BD互相垂直且平分， ∴AC平分∠DAB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 若要在内确定一点，使点到三边的距离相等，则可知点是内角的角平分线的交点，如图所示： 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质定理与判定及轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质、角平分线的性质定理与判定及轴对称的性质是解题的关键． 【变式6-2】（23-24八年级·广东中山·期末）已知△ABC中，∠B= 60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ABE沿DE折叠，点A对应点为F点. (1)如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形； (2)如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小； (3)如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长. 【答案】（1）见解析（2）40°（3）3 【分析】（1）根据DE∥BC，∠B=60°得到∠ADE=∠B=60°，根据折叠的性质得到∠FDE=∠ADE=60°，从而得到△BDF 是等边三角形 （2）根据CF=EF ，设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x，根据折叠得到∠A=∠DFE=2x ，再由（1）同理可得到△BDC 是等边三角形，再利用△ABC内角和即可列出方程求解 （3）同（1）可得△BDG 是等边三角形，根据BF⊥AB 得到∠BFD=30°，得BD=DF，再根据折叠的性质得到DF=AD，故BD=AD=AB=×9=3，即可求出BG的长. 【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∠B=60° ∴∠ADE=∠B=60° ∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF ∴∠FDE=∠ADE=60° ∴∠BDF=180°-60°-60°=60°    在△BDF 中，∠B=∠BDF=60° ∴△BDF 是等边三角形. （2）解：∵CF=EF ∴设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x ∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF ∴∠A=∠DFE=2x 同（1）可得△BDC 是等边三角形 ∴∠BCD=60° 在△ABC 中，∠A+∠B+∠BCA=180° ∴2x＋60°＋（60°＋x）=180° 解得：x=20° ∴∠A=2x=40°. （3）解：同（1）可得△BDG 是等边三角形 ∴∠BDG=60°，BG=BD ∵BF⊥AB ∴∠DBF=90° ∴∠BFD=90°－60°=30° ∴BD=DF   又∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF ∴DF=AD ∴BD=AD=AB=×9=3 ∴BG=3. 【点睛】此题主要考查等边三角形与折叠的综合，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、折叠的性质定理. 【变式6-3】（23-24八年级·河南省直辖县级单位·期末）在学习完等腰三角形之后，某兴趣小组开展了如下数学活动：如图，正方形纸片，①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下，小组成员得到了如下结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形和四边形全等．正确的个数是（    ）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质可得，因为是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可得，又根据折叠的性质可知，故，可得是正三角形，可得，从而计算出，，得到，等量代换可得，再说明四边形和四边形四条边相等，四个角相等，即可证明全等． 【详解】解：在正方形中， ，， 由折叠可知：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， 是正三角形，故③正确； ∴， ∴，故④正确； ，故①正确； ∴ ∵， ∴，故②正确； 由折叠可知：， ∵，，， 又，，， ∴四边形和四边形全等，故⑤正确； ∴正确的有5个， 故选D． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，全等图形的判定，掌握正三角形的判定方法是正确解答的关键． 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】 【例7】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在等边中，，将含角的三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边与的边，分别交于点E，F，且始终与垂直，连接． (1)是什么三角形？请说明理由． (2)如图1，若，求的长． (3)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和、等边三角形的判定及性质、含30度的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和和等边三角形的性质即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质及含30度的直角三角形的性质以及线段的和差即可得出答案； （3）根据平行线的性质和等边三角形的性质易证为等边三角形，再根据等边三角形的性质和线段的和差得出，然后根据（2）中的，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）是直角三角形． 理由：∵，∴． ∵，∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是直角三角形， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． （3）∵． ∴，． ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形． ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 由（2）知，，， ∴， ∴． 【变式7-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，点C表示的刻度分别为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级·安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，，，．将三角板中角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边，相交于点，，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些性质． （1）由，，得到，再根据三角形的内角和求出和，即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2） ，，， ， 是等边三角形， ， ， ． 【变式7-3】（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图①，已知，平分．将直角三角板如图放置，使直角顶点在上，角的顶点在上，斜边与交于点（与不重合），连接． (1)如图②，若，求证：为等边三角形． (2)如图③，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件可求，由角平分线的定义可得，可得，根据三角形内角的定义可知，可得，推出，可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形； （2）在上取点使得，易证为等边三角形，推出，，可得，根据证明，得出，根据等量关系可得． 【详解】（1）设与交于点， ∵角的顶点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴为等边三角形 （2）在上取点使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】 【例8】（23-24八年级·山东枣庄·开学考试）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发， (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形 【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形； （2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可， 本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； 由题意得，当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形； （2）解；∵运动时间为， ∴， ∴， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2所示，当时， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形． 【变式8-1】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s．当点第一次到达点时，、同时停止运动．点、运动（    ）后，可得到等边． A．3 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】设点、运动秒时，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形． 【详解】解：设点、运动秒时，得到等边三角形， 如图所示，则，， ， ， 是等边三角形， ，即， 解得， 点、运动4秒时，得到等边三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，根据题意分析出时得到等边三角形是解题的关键． 【变式8-2】（23-24八年级·广东江门·期中）已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为或时，是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）求出，得出要使是等边三角形，则有，由题意表示出，，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）求出，由题意表示出，，由是直角三角形结合含角的直角三角形的性质得出或，分情况列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：∵在中，，， ， ∴要使是等边三角形，则有， 由题意得：，，则， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时对应的值为； （3）解：当为或时，是直角三角形，理由如下： ∵在中，，， ， 由题意得：，，则， 是直角三角形， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得：， 综上所述，当为或时，是直角三角形． 【变式8-3】（23-24八年级·广东湛江·期末）如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．      (1)当__________时，； (2)请添加一个条件：__________，使得为等边三角形； (3)在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：； 【答案】(1)30 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识 （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用等边三角形的判定解答； （3）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； 【详解】（1）解：当时， ， ； 故答案为：30； （2）解：添加一个条件， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：； （3）解：如图1中，    与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ， 故． 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 【例9】（23-24八年级·广东广州·期末）如图1，是等边三角形，D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F， ①求的度数； ②探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②，理由见解析 【分析】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）设，由等边三角形的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）①设， 证明，可得，再结合等腰三角形的性质与内角和定理可得答案；②在上截取，连接，再证明，可得，再结合轴对称的性质可得结论． 【详解】（1）解：设，为等边三角形， ∴， ∵点C关于的对称点为点E， ∴， ∴， ∵平分，则， ∴， ∴， ∴； （2）①设， 由（1）可知； ∵C，E关于对称，则， ∵为等边三角形，则 ∴ ∴， ∴； ②，理由如下， 在上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又E和C关于对称， ∴， ∴． 【变式9-1】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定其倍比关系 【答案】B 【分析】连接、，由等边三角形的性质及角平分线的定义可得，，由垂直平分线的性质可得，，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，，可证是等边三角形，再根据等边三角形的定义即可得证． 【详解】解：连接、， ∵是等边三角形， ∴， ∵是是角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵、分别是、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、垂直平分线的性质及角平分线的定义，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定证得是等边三角形是解题的关键． 【变式9-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，垂直平分，则；又由翻折知，，；从而得是等边三角形，则得；再证明得，即可得两角的关系． 【详解】解：由第一次翻折知，垂直平分， ； 又由第二次翻折知，，； ， 是等边三角形， ， ，； 点的对应点为点H， ； ， ， ， ． 故答案为：相等． 【变式9-3】（23-24八年级·重庆綦江·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF. （1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，过点D作，DG交BC于点G，求证：CF=EG； （2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求证：CD=CE+CF； （3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）FC=DC+EC，证明见解析. 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证出△DCG是等边三角形，得出DC＝DG，由△DEF是等边三角形得出DF＝DE，然后根据角的关系得出∠EDG＝∠FDC，进而得出△EDG≌△FDC，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点D作，DG交BC于点G．同（1）的证明思路可得△EDG≌△FDC．根据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论； （3）过点D作，DG交BC于点G．类似于（1）（2）的证明思路可得△EDG≌△FDC．根据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． ∵， ∴∠DGC＝∠B． ∴∠DGC＝∠DCG＝60°． ∴△DGC是等边三角形． ∴DC＝DG，∠CDG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60° ∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF， ∴∠EDG＝∠FDC， ∴△EDG≌△FDC． ∴FC＝EG． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． 如图2，过点D作，DG交BC于点G． ∴∠DGC＝∠B＝60°． ∴∠DGC＝∠DCG＝60° ∴△DGC是等边三角形． ∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE， ∴∠EDG＝∠FDC． ∴△EDG≌△FDC．   ∴EG＝FC．   ∵CG＝CE＋EG， ∴CG＝CE＋FC． ∴CD＝CE＋FC． （3）解：如图3，猜想DC、EC、FC之间的等量关系是FC＝DC＋EC． 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． 过点D作，DG交BC于点G． ∴∠DGC＝∠B． ∴∠DGC＝∠DCG＝60° ∴△DGC是等边三角形． ∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°． ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE， ∴∠EDG＝∠FDC． ∴△EDG≌△FDC． ∴EG＝FC． ∵EG＝EC＋CG， ∴FC＝EC＋DC． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 【例10】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（　　）    A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，故结论①正确；③先证明，即可判断出，故结论③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，故结论②正确；④由图像可知：当变短时，则变长，这时变短，则变长，可知不一定等于，故结论④错误．⑤，故结论⑤正确；即可得出结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故结论③正确； 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论②正确． ∵， ∴， ∴， ∴故结论⑤正确． ∵为线段上一动点（不与、重合）， 即：， 由图形可知：当变短时，则变长，这时变短，则变长， ∴不一定等于，故结论④错误． 综上所述，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式10-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案；③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， ∴△AFG三个内角都不相等， ∴△AFG不是等腰三角形，故②错误； 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∠ADF=∠BAH，DA=AB， ∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正确； ∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°， ∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°， ∴AH=2EH， ∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA） ∴DF=AH， ∴DF=AH=2EH=2，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用． 【变式10-2】（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等边中，，为内一点，且，为外一点，且，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】连接，证得出①；再证，得出，进而即可逐一判断． 【详解】解：连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 由此得出①③正确． ， ， ，， 设， ， ， ， 在中三角的和为， ， ， ，这时是边上的中垂线，即结论不一定成立，是错误的． 边上的高是， ，结论正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【变式10-3】（23-24八年级·重庆璧山·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键． 分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案． 【详解】证明：①∵等边和等边， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， 则，故②正确； ③作于N，于F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ④在上截取，连接． 由②知， ∴， 由③知：平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， 故，故④正确； 正确的有①②③④． 故答案为：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.5 等边三角形【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 1 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 2 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 3 【题型4 证明等边三角形】 4 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 6 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】 8 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】 9 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】 11 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 12 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 14 知识点：等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【变式1-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（    ）      A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【变式2-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ． 【变式2-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 【例3】（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是 ． 【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，点是边上的中点，点在BC上的一个动点，连接，在的下方作等边三角形，连接，则最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型4 证明等边三角形】 【例4】（23-24八年级·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【变式4-1】（23-24八年级·重庆丰都·期末）如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【变式4-2】（23-24八年级·广东广州·阶段练习）在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足（2）的结论吗？请用图说明理由． 【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，与相交于点E，． (1)填空：与的位置关系为__________，与的数量关系为__________； (2)过点作交的延长线于点，且． ①求证：是等边三角形； ②若点，分别是线段，线段上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并求出与之间的数量关系． 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 【例5】（23-24八年级·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1)如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； (2)如图2，若点E是的中点，求证：； (3)如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 【变式5-1】（23-24八年级·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为 ． 【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，A点坐标为，点B在y轴上且位于A点上方，以为边向的右侧作等边，连接，并延长交x轴于点E． (1)求证：； (2)判断是否平分请说明理由； (3)在y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（23-24八年级·天津和平·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，在轴上，顶点的坐标为，的平分线交轴于点．    (1)如图①，求点坐标； (2)如图②，为轴上一点，以为边，在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点．求的长； (3)如图③，在（1）的条件下，为轴正半轴上点上方的任意一点，在右上方作交延长线于点，求证：是定值． 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】 【例6】（23-24八年级·广西贺州·期末）如图，等边边长为3，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点A折叠，使点B与C重合，得折痕交于F，然后展开；再过点D折叠，折痕交于点E，使点A落在折痕所在的直线上，记为点P，两折痕与交于点O． (1)求证：； (2)点D在运动过程中，始终是等边三角形吗？请说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，求的长． 【变式6-1】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点为射线上一动点，连接，作，交射线于点，点是线段，垂直平分线的交点． （1）当点在边上时，______． （2）①当点，重合时，作，交的垂直平分线于点，则______． ②当点在线段上，或的延长线上时，的度数是否为定值？若是，请写出这个数，并选择点在线段上时，通过计算进行说明；若不是，请说明理由． （3）如图2，把等边三角形沿着折叠，得到，且点落在点处，连接．当时，证明平分，并在内确定一点，使点到三边的距离相等（不写作法，只保留作图痕迹）． 【变式6-2】（23-24八年级·广东中山·期末）已知△ABC中，∠B= 60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ABE沿DE折叠，点A对应点为F点. (1)如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形； (2)如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小； (3)如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长. 【变式6-3】（23-24八年级·河南省直辖县级单位·期末）在学习完等腰三角形之后，某兴趣小组开展了如下数学活动：如图，正方形纸片，①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下，小组成员得到了如下结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形和四边形全等．正确的个数是（    ）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】 【例7】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在等边中，，将含角的三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边与的边，分别交于点E，F，且始终与垂直，连接． (1)是什么三角形？请说明理由． (2)如图1，若，求的长． (3)如图2，当时，求的长． 【变式7-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，点C表示的刻度分别为，则的周长为 ． 【变式7-2】（23-24八年级·安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，，，．将三角板中角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边，相交于点，，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 【变式7-3】（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图①，已知，平分．将直角三角板如图放置，使直角顶点在上，角的顶点在上，斜边与交于点（与不重合），连接． (1)如图②，若，求证：为等边三角形． (2)如图③，求证：． 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】 【例8】（23-24八年级·山东枣庄·开学考试）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发， (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【变式8-1】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s．当点第一次到达点时，、同时停止运动．点、运动（    ）后，可得到等边． A．3 B．4 C．5 D．不能确定 【变式8-2】（23-24八年级·广东江门·期中）已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【变式8-3】（23-24八年级·广东湛江·期末）如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结．      (1)当__________时，； (2)请添加一个条件：__________，使得为等边三角形； (3)在（2）的条件下，当为等边三角形时，求证：； 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 【例9】（23-24八年级·广东广州·期末）如图1，是等边三角形，D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F， ①求的度数； ②探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【变式9-1】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定其倍比关系 【变式9-2】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是 ． 【变式9-3】（23-24八年级·重庆綦江·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF. （1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，过点D作，DG交BC于点G，求证：CF=EG； （2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求证：CD=CE+CF； （3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由. 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 【例10】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（　　）    A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【变式10-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式10-2】（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等边中，，为内一点，且，为外一点，且，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式10-3】（23-24八年级·重庆璧山·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$