《专题5　不等式的基本性质、一元一次不等式》培优讲义2024-2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题5 不等式的基本性质、一元一次不等式 【知识梳理】 不等式和方程一样,也是代数中的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式. 本专题的主要知识点: 1.不等式的概念:用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接而成的_,叫做不等式.这些用来连接的符号统称不等号. 2.不等式的基本性质 性质1:不等式的传递性.a<b,b<c _. 性质2:不等式的两边都_同一个数,所得到的不等式仍成立. a>b _;_ a c<b c.(此性质是不等式移项的依据) 性质3:不等式的两边都乘(或都除以)同一个_,所得的不等式_;不等式的两边都乘(或都除以)同一个_,必须改变_,所得的不等式成立. a>b,且c>0 _,_; a>b,且c<0 _,_. 3.一元一次不等式的概念 (1)不等号两边都是整式,而且只含有_未知数,未知数的最高次数是_,这样的不等式叫做一元一次不等式. (2)能使不等式成立的未知数的值的_叫做不等式的解集,简称为_. 4.解一元一次不等式的一般步骤 去分母 _ 移项 _ 两边都除以未知数的_. 注意:①在数轴上表示解集时,必须注意空心圈与实心点表示的不同含义; ②解决与不等式相关的问题时,常用到分类讨论、数形结合等相关概念与方法. 【例题探究】 【例1】 下列不等式的变形不正确的是( ) A.若a>b,则b<a B.若a>b,则a+c>b+c C.若ac2>bc2,则a>b D.若-x>a,则x>-a 【思路点拨】 根据不等式的基本性质对选项逐个判断即可得出答案. 【例2】 解不等式:-≥-1,并把它的解集在数轴上表示出来. 【思路点拨】 一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程的解法相同.不等式中含有分母,应先在不等式两边都乘各分母的最小公倍数,从而去掉分母.去分母时,注意不要漏乘没有分母的项. 【例3】 已知关于x的不等式x<2x-3的解可以使不等式x+2(x-3)>m成立,则m的取值范围是( ) A.m≤3 B.m<3 C.m≥3 D.m<-3 【思路点拨】 先分别求出关于x的不等式x<2x-3和不等式x+2(x-3)>m的解,再根据题目的条件列出关于两个解的不等式关系,解不等式即可求得m的取值范围. 【例4】 对有理数x,y定义运算:x※y=ax+by,其中a,b是常数.如果2※(-1)=-4,3※2>1,那么a,b的取值范围是( ) A.a<-1,b>2 B.a>-1,b<2 C.a<-1,b<2 D.a>-1,b>2 【思路点拨】 先根据新定义的运算把条件2※(-1)=-4,3※2>1转化为普通的方程和不等式,分别消去a和b即可求得a,b的取值范围. 【例5】 (1)若关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>2,则实数m的值为_. (2)已知关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解是x<,试问:ax+b>0的解是什么? 【思路点拨】 先解关于x的不等式,再与题目中的解作比较,即可获得问题的解. 【例6】 已知关于x,y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足x-y=6,求m的值. (2)若方程组的解满足x<-y,求m的取值范围. 【思路点拨】 把方程组变形,分别求出x-y和x+y的表达式,再整体代入即可解答. 【例7】 三边均不相等的 ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长. 【思路点拨】 求三角形的高,可以将它和三角形的面积联系起来,利用三角形的等积变形找到等量关系,再根据三角形的三边关系将高线夹逼. 【答案解析】 【知识梳理】 不等式和方程一样,也是代数中的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式. 本专题的主要知识点: 1.不等式的概念:用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式.这些用来连接的符号统称不等号. 2.不等式的基本性质 性质1:不等式的传递性.a<b,b<c a<c. 性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立. a>b a c>b c;a<b a c<b c.(此性质是不等式移项的依据) 性质3:不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须改变不等号的方向,所得的不等式成立. a>b,且c>0 ac>bc,>; a>b,且c<0 ac<bc,<. 3.一元一次不等式的概念 (1)不等号两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式. (2)能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称为不等式的解. 4.解一元一次不等式的一般步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 两边都除以未知数的系数. 注意:①在数轴上表示解集时,必须注意空心圈与实心点表示的不同含义;②解决与不等式相关的问题时,常用到分类讨论、数形结合等相关概念与方法. 【例题探究】 【例1】 下列不等式的变形不正确的是( ) A.若a>b,则b<a B.若a>b,则a+c>b+c C.若ac2>bc2,则a>b D.若-x>a,则x>-a 【解题过程】 选项A,若a>b,则b<a,正确; 选项B,若a>b,则a+c>b+c,正确; 选项C,若ac2>bc2,则a>b,正确; 选项D,若-x>a,则x<-a,不正确. 故选D. 【方法归纳】 本题考查不等式的基本性质.运用不等式的性质时应注意:在不等式的两边都乘(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向. 【例2】 解不等式:-≥-1,并把它的解集在数轴上表示出来. 【解题过程】 解:去分母,得3(2x-1)-4(x-2)≥2(4x+3)-12. 去括号,得6x-3-4x+8≥8x+6-12. 移项、合并同类项,得-6x≥-11. 系数化为1,得x≤. 在数轴上表示解集如图. 【方法归纳】 (1)分数线兼有括号的作用,分母去掉后应将分子添上括号,同时,用分母去乘不等式各项时,不要漏乘不含分母的项;(2)不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变;(3)在数轴上表示不等式的解集,当解集是x<a或x>a时,不包括数轴上a这一点,则这一点用圆圈表示;当解集是x≤a或x≥a时,包括数轴上a这一点,则这一点用黑圆点表示. 【例3】 已知关于x的不等式x<2x-3的解可以使不等式x+2(x-3)>m成立,则m的取值范围是( ) A.m≤3 B.m<3 C.m≥3 D.m<-3 【解题过程】 解不等式x<2x-3,可得x>3. 解关于x的不等式x+2(x-3)>m,可得x>. ∵关于x的不等式x<2x-3的解可以使不等式x+2(x-3)>m成立, ∴≤3,m≤3. 故选A. 【方法归纳】 本题考查解一元一次不等式的知识,找出两个不等式解之间的不等关系是解答本题的关键.解题时要注意数形结合思想的运用. 【例4】 对有理数x,y定义运算:x※y=ax+by,其中a,b是常数.如果2※(-1)=-4,3※2>1,那么a,b的取值范围是( ) A.a<-1,b>2 B.a>-1,b<2 C.a<-1,b<2 D.a>-1,b>2 【解题过程】 根据题意,得2a-b=-4①,3a+2b>1②, 由①,得b=2a+4,代入②,得3a+2(2a+4)>1, 解得a>-1. 由①,得a=,代入②,得3 +2b>1, 解得b>2. ∴a>-1,b>2. 故选D. 【方法归纳】 本题考查了解一元一次不等式,正确理解新定义运算是解题的关键. 【例5】 (1)若关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>2,则实数m的值为_. (2)已知关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解是x<,试问:ax+b>0的解是什么? 【解题过程】 (1)解关于x的不等式,得x>,再由解集为x>2可得到关于m的方程=2,解得m=3. (2)解:∵(2a-b)x+a-5b>0,∴(2a-b)x>5b-a. 又∵x<,∴2a-b<0,∴x<,∴=,∴b=a. ∵2a-b=<0,∴a<0. ∴ax+b>0为ax+a>0,即x<-. 【方法归纳】 本题考查方程与不等式的结合,要求学生有代数意识.只要平时注意积累解题方法,一定能顺利而轻松地解决. 【例6】 已知关于x,y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足x-y=6,求m的值. (2)若方程组的解满足x<-y,求m的取值范围. 【解题过程】 解:(1) ①+②,得8x-8y=4m+8,即x-y=m+1. ∵x-y=6, ∴m+1=6, ∴m=10. (2)②-①,得2x+2y=8-4m,即x+y=4-2m. ∵x<-y, ∴x+y<0, ∴4-2m<0, ∴m>2. 【方法归纳】 本题的常规方法是先求出方程组的解然后把解代入即可求解,但不如用整体思想解答来得巧妙. 【例7】 三边均不相等的 ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长. 【解题过程】 解:方法1:设长度为4和12的高所对应的边为a,b,又设第三边及其边上的高分别为c,h, 则4a=12b=ch. ∴a∶b=3∶1=3h∶h,b∶c=h∶12. ∴a∶b∶c=3h∶h∶12. 可设三边长分别为3hk,hk,12k(k为正整数). ∵3hk>hk, ∴3hk+hk>12k,hk+12k>3hk.∴3<h<6. 又∵h是整数,∴h=4(舍去)或5. ∴h=5. 方法2:设长度为4和12的高分别是边a,b上的,边c上的高为h, ABC的面积为S, 则a=,b=,c=. 由-<<+, 得3<h<6,故h=5(舍去4). 【方法归纳】 用不等式的知识解决有关几何的问题,首先要把几何问题代数化,形成有关等式或不等式,再综合运用有关等式或不等式的知识,结合问题目标,寻求解题思路. 学科网(北京)股份有限公司 $$