2025届高三数学一轮复习滚动周测试卷（三角函数+解三角形+集合+不等式+函数的性质+立体几何）

高三数学周测（三） （范围：三角函数+解三角形+集合+不等式+函数的性质+立体几何） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．满足集合的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 3．已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 5．若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（    ） A．当时，在定义域上单调递增 B．当时，的值域为R C．当时，的单调递增区间为 D．当时，的值域为 10．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）   A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若为偶函数，则 ． 13．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 14．已知函数满足，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，（其中）． (1)求函数的值域； (2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间． 16．（15分）设函数是R上的增函数，对任意，都有. (1)求； (2)求证：是奇函数； (3)若，求实数x的取值范围. 17．（15分）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)已知，求的面积． 18．（17分）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 19．（17分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点． (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学周测（三） （范围：三角函数+解三角形+集合+不等式+函数的性质+立体几何） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，,所以.故选：C. 2．满足集合的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【详解】因为集合Ü，则集合可以为，，，，，，共7个，故选：B 3．已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由已知得；当与共线时，可得，解得． 当与的夹角为钝角时，可得且与不共线， 则且，解得且． 因此，当时，若，则，， 此时，与的夹角为，不是钝角，则充分性不成立； 当与的夹角为钝角时，有且，可知成立，则必要性成立． 综上， “”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B． 4．当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【详解】由，或， 由，或， 所以不等式的解是或，故选：A 5．若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于D，取，则，故D错误； 对于C，因为，则，又，所以，故C正确. 故选：C. 6．若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得，则对任意实数恒成立，整理得对任意实数恒成立， ，解得.故选：C. 7．在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或，可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形．故选：D． 8．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（    ） A．当时，在定义域上单调递增 B．当时，的值域为R C．当时，的单调递增区间为 D．当时，的值域为 【详解】当时，，定义域为． ∵在上单调递增，故A错误； 又当时，，当时，，∴的值域为R，故D正确； 当时，，其图象如图所示：    由图象知：的单调递增区间为,值域为，故 B，C正确．故选：BCD 10．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，，当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若为偶函数，则 ． 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故，此时， 所以，又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 13．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【详解】因为，由（）.令可得. 因为在上有且仅有3个零点，所以， 故的取值范围是：.故答案为： 14．已知函数满足，则 . 【详解】由①，得②， 由①②得，则，令，则， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，（其中）． (1)求函数的值域； (2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间． 【详解】（1）由题意得 ， 由于 ，得 ， 可知函数的值域为． （2）当时，， 由函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为， 可知与x轴的两个相邻交点间的距离为， 故的最小正周期为，即的最小正周期为， 又由，得 ，即得， 于是有 ， 再由 ， 解得 ， 所以的单调增区间为 . 16．（15分）设函数是R上的增函数，对任意，都有. (1)求； (2)求证：是奇函数； (3)若，求实数x的取值范围. 【详解】（1）对任意，， 因为函数的定义域为R，令，可得. （2）在中，令，则， 且的定义域为，所以是奇函数； （3）奇函数是上的增函数， 由，得，即， 即有，解得． 所以实数的取值范围为． 17．（15分）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)已知，求的面积． 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2），因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 18．（17分）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 所以，所以，故， 所以，所以函数在上单调递增． （2）由（1）可知函数在上单调递增， 因为的定义域和值域都是， 所以， 所以为关于的方程的两个不相等的正实数根， 化简方程可得，则，， 又因为，所以解得，所以的取值范围为． 19．（17分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点． (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，，则， 所以. （2）由（1）知，， ，， 又，得， ，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内． （3）由（2）可得， 设平面的法向量，由，得， 令，则，，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第8页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$